Файл: Имеет.docx

1. Схема плоской статически неопределимой рамы, размеры её элементов, значение и расположение внешних сил

Система имеет два прямолинейных (длиной l) и один дугообразный (радиус l) участка, опирается на жёсткую заделку и неподвижный шарнир. Система нагружена сосредоточенной силой P и распределённой силой q, причём P = q*l. Поперечные сечения всех участков одинаковы и равны F, моменты инерции равны J, модуль продольной упругости материала равен E.

Поэтому УР имеют вид:
^{по оси X: X}1 ^{+ X}4 <sup>= 0

по оси Y: X</sup>2 ^{+ X}5 <sup>+ P - (q*2*l) = 0

по оси Z: X</sup>3 ^{+ X}5^{*2*l – X}4^{* l – P*l – (q*2*l) *l = 0}
Система оказалась дважды внешне статически неопределима, поэтому потребуется получить два дополнительных уравнения для определения внешних неизвестных сил.

Для записи новых уравнений равновесия в форме уравнений равенства перемещений (УРП) пронумеруем все силы и соответствующие перемещения, Таким образом, возникают два вектора {P} и {Δ}, в которых на соответствующие места сразу можно поместить заданные или известные по условию задачи значения.

 ^X1 

 ^X1 

^1 

 ⁰ 

 _X

_X

_   ₀ 

 ² 

 ² 

 ²   

^ X₃ <sup>

</sup> X₃ <sup>

</sup>₃ ^{ } 0 ^

^P^  ^ X

 _ _X

^ , ^^  ^ ^  ^ 0 ^

^ 4 <sup>

</sup> 4 <sup>

</sup> 4 ^{  }

 _X

 _X

_   ₀ 

 ⁵ 

 ⁵ 

 ⁵   

 P₆ 

 P

 ₆  ₆ 

 _q  _q

_  _ 

Рис. 1.

 ⁷   

 ⁷   ⁷ 

Запись уравнений статического равновесия.
Равновесие данной системы требует записи трёх уравнений равновесия (УР) в направлении трёх осей координат, т.к. поступательное равновесие происходит вдоль глобальных осей X и Y, а вращательное равновесие вдоль перпендикулярной им оси Z. Расположение начала координат лучше выбрать так, чтобы силы (особенно неизвестные) имели минимальные плечи относительно оси Z. С этой точки зрения за начало координат выберем жёсткую заделку. Обозначим все внешние силы, действующие на конструкцию, как показано на рис. 2. и получим исходную систему (ИС).




Рис. 2. Исходная система.

Запишем для этих векторов полную систему УРП:
^δ11^X1^{+ δ}12^X2^{+ δ}13^X3^{+ δ}14^X4^{+ δ}15^X5^{+ δ}16^P6^{+ δ}17^q7 ^{= Δ}1 ^δ21^X1^{+ δ}22^X2^{+ δ}23^X3^{+ δ}24^X4^{+ δ}25^X5^{+ δ}26^P6^{+ δ}27^q7 ^{= Δ}2 ^δ31^X1^{+ δ}32^X2^{+ δ}33^X3^{+ δ}34^X4^{+ δ}35^X5^{+ δ}36^P6^{+ δ}37^q7 ^{= Δ}3 ^δ41^X1^{+ δ}42^X2^{+ δ}43^X3^{+ δ}44^X4^{+ δ}45^X5^{+ δ}46^P6^{+ δ}47^q7 ^{= Δ}4 ^δ51^X1^{+ δ}52^X2^{+ δ}53^X3^{+ δ}54^X4^{+ δ}55^X5^{+ δ}56^P6^{+ δ}57^q7 ^{= Δ}5 ^δ61^X1^{+ δ}62^X2^{+ δ}63^X3^{+ δ}64^X4^{+ δ}65^X5^{+ δ}66^P6^{+ δ}67^q7 ^{= Δ}6 ^δ71^X1^{+ δ}72^X2^{+ δ}73^X3^{+ δ}74^X4^{+ δ}75^X5^{+ δ}76^P6^{+ δ}77^q7 ^{= Δ}7 <sup>,

где δ</sup>ij ^{– коэффициенты податливостей (КП), определяющие вклад каждой силы в общее} перемещение.
ИС может быть преобразована так, чтобы данная система уравнений включала необходимые силы (коэффициенты при соответствующих силах не равны 0) и была статически определимой при вычислении податливостей. Кроме этого УР и УРП должны быть независимы с точки зрения определения значений неизвестных сил, поэтому в УРП количество неизвестных сил должно быть равно степени статической неопределимости (ССН). Поскольку такой выбор может быть сделан несколькими способами, то на первый план выступает схематическое удобство и простота вычислений, но, с другой стороны, появляется возможность проверки полученного решения с помощью любого другого набора сил.

Из общего числа УРП необходимо выбрать уравнения для тех перемещений, которые известны или заданы по условиям закреплений. В данном случае, как и в большинстве других, такими перемещениями являются нулевые. Сами уравнения для нулевых перемещений носят название канонических. Поэтому на основании ИС может быть создана эквивалентная система (ЭС) с теми же самыми нулевыми перемещениями, но сами направления перемещений приобретают податливость, т.е. связи на этих направлениях снимаются. Такой ЭС, например, может быть система, изображённая на рис. 3.

^ij


 ^NiNjdx

 EF

My_iMy_jdx EJ

Mz_i Mz _{jdx  } EJ ^x

Mx_i Mx _{jdx  } GJ ^y

Qy_i Qy_{j dx } GF ^z

Qz_i Qz _jdxGF

   l l ^y l ^z l ^x l l
^{где ζ}x^{, ζ}y^{, ζ}z ^{– коэффициенты, которые в большинстве случаев принимают значения} близкие к 1, учитывающие форму поперечного сечения и распределение соответствующих напряжений по сечению;

N, Qy, Qz,, Mx, My, Mz – внутренние силы, возникающие в поперечных сечениях от приложенной соответствующей индексу единичной нагрузки.

Рис. 3. Эквивалентная система
^{Перемещения, для которых будут записаны канонические УРП, это Δ}4 ^{и Δ}5^{. Данные} уравнений можно решить относительно неизвестных сил, если определить коэффициенты

Вычисление интегралов делает необходимым разделение конструкции на однородные по геометрических характеристикам и свойствам материала стержневые элементы, в качестве которого можно принять даже участок дуги, если поперечный размер сечения составляет менее 1/5 от радиуса дуги. Таким образом, конструкция разделяется, как показано на схемах в таблице, на три участка. Поскольку наибольший вклад в КП дают интегралы от моментов, а в данном случае возникает только один изгибающий момент, который обозначен как Mz (внутренняя система координат в каждом

сечении ориентирована так, что направление глобальных и локальных осей z совпадают), то в данном вычисление КП будет проводится по упрощённой схеме как

^{податливостей. Для определения податливостей δ}ij ^{на основе ЭС определяется}

вспомогательная система (ВС) (рис. 4), к которой следует приложить только единичную силу с соответствующим номером (второй индекс j коэффициента), чтобы вычислить перемещение в соответствующем направлении (второй индекс i коэффициента). Данное

^ij


_ Mz_iMz

 1_l EJ_z

3 2определение сразу позволяет сделать вывод, что податливости имеющие индексы неподвижных направлений тождественно равны 0.



Рис. 4. Вспомогательная система
Таким образом, система канонических УРП приобретает вид: ^δ44^X4^{+ δ}45^X5^{+ δ}46^P6^{+ δ}47^q7 ^{= Δ}4 <sup>= 0

δ</sup>54^X4^{+ δ}55^X5^{+ δ}56^P6^{+ δ}57^q7 ^{= Δ}5 ^{= 0}
По числу КП видно, что единичные силы необходимо будет прикладывать в 4, 5, 6 и 7 направлениях, т.е. потребуются четыре вспомогательные системы: 4-я, 5-я, 6-я и 7-я ВС. Результаты работы с этими ВС удобно свести ив таблицу 1.

Процедура вычисления КП предполагает определение значений внутренних сил в поперечных сечениях и интегрирование по длине всех стержневых элементов конструкции в виде

т.е. в виде трёх интегралов для каждого участка.