Файл: Санктпетербургский.pdf

Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М.
16 стики которых хорошо согласуются с характеристиками линии связи.
Канал связи - совокупность технических устройств (преобразователей) и среды распро- странения, обеспечивающих передачу сигналов на расстояние.
Каналы и системы связи, использующие искусственную среду распространения (метал- лические провода, оптическое волокно), называются проводными, а каналы и системы связи, в которых сигналы передаются через открытое пространство - радиоканалами и радиосистемами.
2 Основы математического описания процессов
2.1 Основные понятия системного подхода и анализа
Системный подход и системный анализ.
В основе методов анализа и исследования систем управления лежит принцип идеализации как мыслительный процесс создания идеальных объектов посредством изменения свойств реаль- ных предметов. Идеализированные свойства систем управления формализуются в виде ком- плекса системно-аналитических технологий, включающих философские, математические, фи- зические, химические и другие технологии, адекватные модели и методы системного анализа и принятия решений. Важными элементами исследования являются подходы, основанные на де- композиции и агрегировании. Декомпозиция – аналитический или численный метод исследова- ния на основе разделения сложного целого (систем, подсистем и т.п.) на более простые состав- ные части, используя для этого определенные критерии. В системном анализе широко исполь- зуется «триадные модели» (триады), включающие задание целей, средств и результатов. «Дере- во целей» – структурированная и построенная по иерархическому принципу ранжированная по уровням совокупность целей системы, программы, плана, в которой выделены: главная цель
(«вершина дерева»), подчиненные ей подцели первого, второго и т.д. уровней («ветви дерева»).
Аналогично можно ввести обобщенные понятия средств достижения целей. Тогда «де- рево средств» можно определить как иерархическую совокупность средств, согласованно рас- пределенных по уровням иерархической или другой структуры системы управления инноваци- онной деятельностью. При этом можно задать оператор или совокупность операторов, позво- ляющих обеспечить достижение необходимых целей. В итоге можно сформулировать «дерево результатов». Системно-аналитические технологии можно сформулировать как основные ме- тодологические приемы, которые целесообразно использовать при решении задач системного анализа. Применение методов системного анализа при принятии решений в условиях неопреде- ленности требует разработки методов и формулировки алгоритмов (схем) обработки вариант- ных экспертных оценок в соответствии с различными критериями. «Системный анализ» пред- полагает разделение проблемы на подпроблемы с последующим рассмотрением этих подпро-

Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М.
17 блем. Общая характеристика принципов системного анализа дается в виде схемы.
Следуя этим представлениям все наблюдаемые процессы, характеризующие физические явления, можно классифицировать в самом общем виде как детерминированные и недетерми- нированные. К детерминированным относятся процессы, которые могут быть описаны точны- ми математическими соотношениями. Например, твердое тело, подвешенное к неподвижной основе на упругой пружине. После растяжения пружины тело будет совершать колебательные движения. Предположим, что тело получает начальное смещение X из положения равновесия и освобождается в моменте t = 0 (рис. 2.1).
На основе фундаментальных законов механики или путем повторных наблюдений мож- но установить справедливость следующего соотношения:
t
m
k
X
t
x
cos
)
(
=
,
0

t
(2.1) где m — масса тела (предполагаемого абсолютно жестким), a k — коэффициент жесткости пружины. Масса пружины полагается равной нулю.
Формула (2.1) точно описывает положение тела в любой момент времени. Следователь- но, физический процесс, характеризующий движение тела, относится к детерминированным.
Рис. 2.1 Механическая модель колебательного процесса
На практике встречается много физических явлений, которые с высокой степенью при- ближения могут быть описаны точными математическими соотношениями. Например, движе- ние спутника по околоземной орбите, изменение потенциала на пластинах конденсатора, кото- рый разряжается через сопротивление, вибрации несбалансированного ротора или изменение температуры воды при нагревании — все эти явления носят по существу детерминированный характер. Однако можно назвать множество других физических процессов, имеющих недетер- минированный характер. Например, изменения высоты волн на взволнованной поверхности

Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М.
18 моря, колебания акустического давления, создаваемые движущимся в трубе воздушным пото- ком, или изменения напряжения на выходе генератора шума.
Все это процессы, которые нельзя описать точными математическими соотношениями.
Точное значение такого процесса в некоторый момент времени в будущем предсказать невоз- можно. Эти процессы случайны по своей природе и должны описываться не точными уравне- ниями, а при помощи осредненных статистических характеристик.
Во многих случаях трудно решить, относится ли рассматриваемый физический процесс к детерминированным или к случайным. Рассмотрение этого вопроса требует проведения ис- следований. В частности можно сказать, что исследование поведения различных систем прово- дят на основе анализа сигналов, характеризующих состояние системы в разные моменты вре- мени. Набор оценок полученных на основе анализа сигналов позволяет установить особенности функционирования системы и, и при определенных условиях, принципы строения. Так, обра- щаясь к предыдущему примеру о колебании тела на пружине, было введено условие об абсо- лютной жесткости структуры, другими словами, жесткой связи структурных элементов тела.
Если допустить, что исследуемое тело на пружине представлено резервуаром с жидкостью, то соотношение (2.1) потребуется изменить.
Можно, утверждать, что в действительности ни один физический процесс нельзя считать строго детерминированным, поскольку всегда существует возможность того, что в будущем какое-либо непредвиденное событие изменит течение процесса таким образом, что полученные данные будут носить характер совершенно иной, чем предполагалось ранее.
С другой стороны, можно полагать, что в действительности ни один физический процесс не имеет строго случайной природы, так как при условии достаточно полного знания механиз- ма изучаемого процесса его можно описать точными математическими соотношениями. Прак- тически решение о детерминированном или случайном характере процесса принимается обыч- но исходя из возможности или невозможности воспроизведения его при заданных условиях.
Если многократное повторение опыта дает одинаковые результаты (с точностью до ошибки из- мерения), то, вообще говоря-, есть основания считать процесс детерминированным. Если же повторение опыта в идентичных условиях приводит к разным исходам, то природа процесса полагается случайной.
Отметим, что приведенная здесь классификация основана на соображениях удобства по- нимания сути рассматриваемых процессов. В этом контексте полезно напомнить, что обычно физические явления рассматривают как функции времени. Такое представление значительно упрощает трактовку анализа и преобразования сигналов. Однако вместо времени может быть использована любая другая переменная.

Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М.
19

Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М.
20
t
f
X
t
x
0 2
sin
)
(

=
(2.3)
Соотношение (2.3) можно представить графически (рис. 2.3) в виде функции времени или в амплитудно-частотного образа, который часто называют частотным спектром.
С точки зрения анализа гармонические процессы представляют собой одну из простей- ших форм функций времени.
Интервал времени, в течение которого происходит одно полное колебание, или один цикл гармонического процесса, называется периодом Тр.
Число циклов в единицу времени называется частотой f
0
. Частота и период определяют- ся через соотношение:
0 1
f
T
p
=
(2.4)
Введя в рассмотрение это соотношение, отметим, что представленный на рис. 2.3 частотный спектр состоит только из одной составляющей амплитуды на данной частоте. Такой спектр называют дискретным, или линейчатым.
Рис. 2.3 Образ сигнала и спектра гармонического процесса
Можно привести много примеров физических явлений, которые с достаточным для практики приближением описываются гармоническими процессами. К их числу относятся ко-

Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М.
21 лебания напряжения на выходе генератора переменного тока.
2.1.2. Полигармонические процессы
К полигармоническим процессам относятся такие типы периодических процессов, кото- рые могут быть описаны функцией времени, точно повторяющей свои значения через одинако- вые интервалы:
)
(
)
(
p
nT
t
x
t
x

=
,
3
,
2
,
1
=
n
(2.5)
Как и в случае гармонического процесса, интервал времени, в течение которого проис- ходит одно полное колебание, называется периодом Тр. Число циклов в единицу времени назы- вают основной частотой f
1
. Очевидно, гармонический процесс есть частный случай полигармо- нического процесса при f
1
= f
0
. За некоторыми исключениями, полигармонические процессы могут быть представлены рядом Фурье.


=
+
+
=
1 1
1 0
),
2
sin
2
cos
(
2
)
(
n
n
n
t
nf
b
t
nf
a
a
t
x


(2.6) где
p
T
f
1 1
=
,

=
p
T
p
n
tdt
nf
t
x
T
a
0 1
,
2
cos
)
(
2

3
,
2
,
1
=
n

=
p
T
p
n
tdt
nf
t
x
T
b
0 1
,
2
sin
)
(
2

3
,
2
,
1
=
n
Возможен и другой способ записи ряда Фурье для полигармонического процесса:
),
2
cos(
)
(
1 1
0


−
+
=


=
t
nf
X
X
t
x
n
n

Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М.
22 где
2 0
0
a
X =
2 2
n
n
n
b
a
X
+
=
,
3
,
2
,
1
=
n
),
(
n
n
n
a
b
arctg
=

3
,
2
,
1
=
n
(2.7)
Как видно из формулы (2.7) полигармонические процессы состоят из постоянной ком- поненты Х
0
и бесконечного числа синусоидальных компонент, называемых гармониками, с ам- плитудами Х
n и начальными фазами 
n
Частоты всех гармоник кратны основной частоте f
1
На практике при анализе периодических процессов начальные фазы 
n часто не прини- маются во внимание. В этом случае формуле (1.7) соответствует дискретный спектр, показан- ный на рис. 2.4.
Иногда полигармонические процессы состоят всего из нескольких компонент. В других случаях компонента с основной частотой может отсутствовать. Предположим, например, что периодический процесс формируется в результате сложения трех синусоидальных волн с ча- стотами 60, 75 и 100 Гц. Наибольший общий делитель этих чисел равен 5 Гц, поэтому период результирующего периодического процесса Тр составляет 0,2 сек. Следовательно, при разло- жении в ряд Фурье значения Х
n будут равны нулю при всех n, кроме n = 12, n= 15 и n= 20. Фи- зические явления, которым соответствуют полигармонические процессы, встречаются гораздо чаще явлений, описываемых простой гармонической функцией.
Рис. 2.4 Спектр полигармонического процесса
В действительности, когда тот или иной процесс относят к типу гармонических, то зача- стую при этом имеют в виду только приближенное представление процесса, который на самом деле является полигармоническим. Например, при тщательном исследовании колебаний напряжения на выходе генератора переменного тока можно обнаружить небольшие колебания с

Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М.
23 частотами высших гармоник. В других случаях в периодическом физическом процессе могут присутствовать гармонические компоненты с относительно большими амплитудами.
2.1.3. Почти периодические процессы
Как указывалось в предыдущем подразделе, обычно периодический процесс можно опи- сать рядом гармонических колебаний, частоты которых соизмеримы. И обратно, процесс, обра- зованный суммированием двух или более синусоидальных волн с соизмеримыми частотами, является периодическим. Однако процесс, который формируется в результате суммирования двух или более синусоидальных волн с произвольными частотами, не будет, вообще говоря, периодическим.
Конкретнее, сумма двух или более синусоидальных волн образует периодический процесс только в том случае, если отношения всех возможных пар частот представляют собой рацио- нальные числа. Это означает, что существует некоторый основной период, удовлетворяющий формуле (2.5). Так, например, процесс, задаваемый выражением:
)
7
sin(
)
3
sin(
)
2
sin(
)
(
3 3
2 2
1 1



+
+
+
+
+
=
t
X
t
X
t
X
t
x
Это периодический процесс, поскольку 2/3, 2/7 и 3/7 — рациональные числа с основным пери- одом, равным 1. В противоположность этому, процесс:
)
50
sin(
)
3
sin(
)
2
sin(
)
(
3 3
2 2
1 1



+
+
+
+
+
=
t
X
t
X
t
X
t
x
не является периодическим, поскольку числа
50
/
2
и
50
/
3
иррациональные и основной пе- риод равен бесконечности. В этом случае процесс является почти периодическим, но соотно- шение (2.5) не удовлетворяется при любых конечных значениях Т
р


=
+
=
1
)
2
sin(
0
(
n
n
n
n
t
f
X
t
x


2.8 где не все отношения f n
/f m
представляют собой рациональные числа. Физические явления, ко- торым соответствуют почти периодические процессы, встречаются довольно часто при сумми- ровании двух или более независимых гармонических процессов. Хорошим примером почти пе- риодического процесса может служить колебания сетевого напряжения.
Важнейшее свойство почти периодических процессов таково. Если пренебречь началь-