Файл: Санктпетербургский.pdf

Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М.
24 ными фазами 
n то формуле (2.8) будет соответствовать дискретный спектр, аналогичный спек- тру полигармонического процесса. Единственное различие состоит в том, что, как показано на рис. 2.5, частоты компонент несоизмеримы.
Рис. 2.5 Спектр почти периодического процесса
2.1.4. Переходные непериодические процессы
Переходные процессы широко распространены, и их изучение представляет особый ин- терес в задачах создания электронной аппаратуры. К переходным относятся все непериодиче- ские процессы, не являющиеся почти периодическими процессами, описанными в подразделе
2.1.3. Другими словами, переходные процессы включают в себя все не рассмотренные ранее процессы, которые могут быть описаны подходящими функциями времени. В иллюстративной форме рассмотрим три примера переходных процессов, представленных на рис. 2.6.
Физические явления, которым соответствуют переходные процессы, весьма многочис- ленны и разнообразны. Например, процесс, изображенный на рис. 2.6, а, может описывать из- менение во времени температуры процессора компьютера относительно температуры воздуха в комнате после выключения компьютера.
Кривая на рис. 2.6, б может характеризовать свободные колебания инерционной элек- тронной системы стабилизатора сетевого электропитания после выключения компьютера.
График, на рис. 2.6в, иллюстрирует изменение во времени электрического напряжения на вы- ходе логического элемента.

Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М.
25
Рис. 2.6 Примеры переходных процессов
Важное отличие переходных процессов от периодических и почти периодических состоит в том, что их сложно представить с помощью дискретного спектра. Однако в большинстве слу- чаев получают непрерывное спектральное представление переходных процессов (рис. 2.7), ис- пользуя интеграл Фурье:



−
−
=
dt
ft
f
t
x
f
X
)
2
exp(
)
(
)
(

2.9
Спектр Фурье X(f) в общем случае является комплексной функцией, которая может быть записана в показательной форме:
)
exp(
)
(
)
(
f
f
f
X
f
X

−
=
Здесь
)
( f
X
- модуль, (f) — аргумент. Модули | X(f) | преобразования Фурье трех пере- ходных процессов, изображенных на рис. 2.6, показаны на рис. 2.7.
2.2. Классификация случайных процессов
Следуя введенным представлениям, отметим, что процессы, соответствующие слу- чайным физическим явлениям, нельзя описать точными математическими соотношениями, по- скольку результат каждого наблюдения над процессом невоспроизводим абсолютно точно

Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М.
26
Рис. 2.7 Спектры переходных процессов
Другими словами, исход любого данного наблюдения представляет собой лишь один из многих возможных результатов. Рассмотрим, например, изменение во времени напряжения на выходе генератора теплового шума. Запись этого напряжения будет иметь примерно такой вид, как показано на рис. 2.8.
Полагаем, что имеется несколько экземпляров генераторов. Принимая во внимание наличие технологических факторов, так или иначе вносящих отличия в структуру генераторов, наблюдаем незначительные отличия в выходных сигналах. И вообще записи изменения во вре- мени напряжения на выходе разных генераторов теплового шума имеют разные графические образы (рис. 2.8).
Рис. 2.8 Образы выходных сигналов

Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М.
27
Сделанные наблюдения составляют основу вывода о том, что запись напряжения на вы- ходе какого-либо генератора сигнала представляет собой лишь одну из бесконечного множе- ства возможных реализаций зависимости напряжения от времени. Такой вывод хорошо согла- суется с известными представлениями о действии множества факторов, способных исказить выходной сигнал генератора или иного электронного устройства.
Развивая эти представления, рассмотрим некоторый выходной сигнал электронного устройства, форма которого зависит от ряда случайных факторов. Функция времени, описыва- ющая случайное явление, называется выборочной функцией или при конечном интервале вре- мени — реализацией.
Множество всех выборочных функций, которые могут быть получены при регистрации данного случайного явления, называется случайным, или стохастическим, процессом. Следова- тельно, реализация, полученная в результате наблюдений над случайным физическим явлени- ем, может рассматриваться как элемент множества возможных физических реализаций случай- ного процесса.
Различают стационарные и нестационарные случайные процессы. В свою очередь ста- ционарные случайные процессы могут быть эргодическими или неэргодическими. Связь между различными классами случайных процессов показана на рис. 2.9.
Рис. 2.9 Классификация случайных процессов
2.2.1. Стационарные случайные процессы
Физическое явление при рассмотрении с позиций теории случайных процессов можно описать в любой момент времени путем осреднения величин по множеству выборочных функ- ций, представляющих данный случайный процесс. Рассмотрим, например, множество выбо- рочных функций (называемое также ансамблем), образующее случайный процесс (рис. 2.10).

Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М.
28
Среднее значение (первый момент распределения) случайного процесса в момент вре- мени t
1
может быть найдено путем суммирования мгновенных значений каждой выборочной функции ансамбля в момент t
1
и деления этой суммы на число выборочных функций.
Рис. 2.10 Ансамбль выборочных функций
Аналогичным образом корреляция между значениями случайного процесса в два раз- личных момента времени (смешанный момент, называемый автокорреляционной функцией) определяется путем осреднения по ансамблю произведений мгновенных значений процесса в моменты t
1
и t
1
+ .
Иначе говоря, среднее значение
)
(
1
t
x

и автокорреляционная функция
)
,
(
1 1

+
t
t
R
x
случайного процесса {x(t)} (фигурные скобки означают ансамбль выборочных функций) опре- деляются из соотношений:

Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М.
29

=

→
=
N
k
k
N
ч
t
x
t
N
1 1
1
)
(
)
(
1
lim

(2.10 а)

=

→
+
=
+
N
k
k
k
N
x
t
x
t
x
t
t
R
N
1 1
1 1
1
)
(
)
(
)
,
(
1
lim


(2.10 б)
Сделаем замечание о введенных обозначениях: фигурные скобки для выделенной функ- ции означают ансамбль выборочных функций. Помимо этого укажем, что в процедуре сумми- рования предполагается появление всех выборочных функций с равной вероятностью.
В общем случае, когда функции
)
(
1
t
x

и
)
,
(
1 1

+
t
t
R
x
, определяемые уравнениями
(2.10), меняются с изменением момента времени t
1
случайный процесс {x(t)} называется неста- ционарным, В частном случае независимости
)
(
1
t
x

и
)
,
(
1 1

+
t
t
R
x
от t
1 случайный процесс
{x(t)} называется слабо стационарным, или стационарным в широком смысле. Среднее значе- ние слабо стационарных процессов постоянно, а автокорреляционная функция зависит только от величины сдвига , т. е.
x
x
t


=
)
(
1
и
)
(
)
,
(
1 1


x
x
R
t
t
R
=
+
Для случайного процесса {x(t)} можно рассчитать бесконечное множество начальных и смешанных моментов более высоких порядков. Их совокупность полностью описывает плот- ности распределения процесса. Когда все начальные и смешанные моменты распределения не зависят от времени, случайный процесс {x(t)} называется строго стационарным, или стацио- нарным в узком смысле. Для многих практических приложений доказательства слабой стацио- нарности процесса вполне достаточно, чтобы оправдать справедливость предположения о стро- гой стационарности.
2.2.2. Эргодические случайные процессы
Указывая на распространенность процедуры усреднения значений случайного процесса, в частности усреднения по ансамблю функций, следует помнить о возможной потере важной для анализа информации. Чтобы несколько ослабить такую информационную потерю часто

Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М.
30 проводят осреднение по отдельным функциям ансамбля. Рассмотрим, например, k-ю выбороч- ную функцию случайного процесса, изображенного на рис. 1.10. Среднее значение
)
(


x
и ав- токорреляционная функция
)
,
( k
R
x

этой выборочной функции определяются выражениями:


→
=
T
k
T
ч
dt
t
x
T
k
0
)
(
1
)
(
lim

(2.11 а)

+
=

→
T
k
k
T
x
dt
t
x
t
x
T
k
R
0
)
(
)
(
1
)
,
(
lim


(2.11 б)
Если случайный процесс {x(t)} стационарен и не противоречит выражениям (2.11), а значения
)
(


x
и
)
,
( k
R
x

одинаковы для различных выборочных функций, то случайный про- цесс {x{t)\ называется эргодическим. Для эргодического случайного процесса среднее значение и автокорреляционная функция, а также и другие моменты, полученные осреднением по вре- мени, равны соответствующим средним по ансамблю:
x
x



=
)
(
и
)
(
)
,
(


x
x
R
k
R
=
(2.11 б)
Здесь важно указать на то, что только стационарные процессы могут обладать свойством эргодичности. Эргодические случайные процессы, очевидно, представляют важный класс слу- чайных процессов, так как все их свойства могут быть определены осреднением по времени одной выборочной функции. К счастью, на практике случайные процессы, соответствующие стационарным физическим явлениям, как правило, обладают свойством эргодичности. Именно поэтому в большинстве случаев можно правильно определить характеристики стационарного случайного процесса по одной выборочной реализации.

Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М.
31 собой функции времени, которые можно определить только осреднением мгновенных значений по ансамблю выборочных функций, формирующих процесс. На практике зачастую невозможно получить достаточно большое число реализаций, необходимое для точного определения харак- теристик осреднением по ансамблю. Это обстоятельство препятствует развитию практических методов измерения и анализа нестационарных случайных процессов.
Во многих случаях в классе нестационарных случайных процессов, соответствующих реальным физическим явлениям, можно выделить особые категории нестационарности, для которых зада- ча измерения и анализа упрощается. Например, некоторые явления случайного характера опи- сываются нестационарным случайным процессом {y(t)} каждая выборочная функция которого имеет вид:
)
(
)
(
)
(
t
x
t
A
t
y
=
Здесь x(t) — выборочная функция стационарного случайного процесса {x(t)}, A(t)—
детерминированный множитель. Иными словами, такой процесс относится к нестационарным случайным процессам, выборочные функции которых обладают общим детерминированным трендом. Если нестационарный процесс соответствует конкретной модели такого типа, то для его описания нет необходимости производить осреднение по ансамблю. Различные требуемые характеристики процесса можно оценить по одной выборке, как и для эргодических процессов.
2.2.4 Стационарные реализации
Выделяя процедуры осреднения значений случайного процесса можно получить опреде- ленные представления о стационарности. Очевидно, для стационарного процесса следует ожи- дать получение неизменных значений на установленном интервале времени. Понятие стацио- нарности можно сформулировать на отдельной выборочной функции случайного процесса и на ансамбле функций. На практике часто говорят о стационарности или нестационарности процес- са, представленного всего одной реализацией.
Здесь используется несколько отличное от приведенного ранее понятия стационарности.
Когда говорят о стационарности одной реализации, то это обычно означает, что характе- ристики, рассчитанные по коротким отрезкам времени, не меняются значимо для различных отрезков. Слово «значимо» используется здесь для обозначения того факта, что наблюдаемые изменения больше, чем можно ожидать за счет обычной выборочной статистической изменчи- вости.
Для разъяснения этого соображения рассмотрим реализацию
)
(t
x
k
, полученную по k-й выборочной функции случайного процесса {x(t)}. Определим среднее значение и автокорреля- ционную функцию осреднением по времени на коротком интервале продолжительности Т при начальном моменте t
1
: