Файл: Санктпетербургский.pdf

Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М.
32

+
=
T
t
t
k
x
dt
t
x
T
k
t
1 1
)
(
1
)
,
(
1

(2.12 а)

+
+
=
+
1 1
)
(
)
(
1
)
,
,
(
1 1
T
t
t
k
k
x
d
t
x
t
x
T
k
t
t
R



(2.12 б)
В общем случае, когда выборочные характеристики, определенные выражениями (2.12), меняются значимо, при изменении начального момента t
1
,
отдельная реализация называется нестационарной. В частном случае, когда выборочные характеристики, определенные выраже- ниями (2.12), не меняются значимо, при изменении t
1
,
реализация называется стационарной.
Примем во внимание, то обстоятельство, что реализация эргодического случайного про- цесса всегда стационарна. Следуя этому представлению, укажем на тот факт, что реализации большинства физически важных нестационарных случайных процессов не обладают свойством стационарности. Следовательно, если предположение об эргодичности оправдано, то подтвер- ждение свойства стационарности одной реализации может служить достаточным основанием для допущения стационарности и эргодичности случайного процесса, к которому принадлежит данная реализация. Столь простое и доступное на практике правило позволяет избежать созда- ния многочисленных процедур проверки о стационарности процесса, а, следовательно, сокра- тить время отыскания решения.
2.3. Основные статистические характеристики случайных процессов
Будем рассматривать множество всех случайных исходов, возможных при данном испы- тании. Предположим, что каждому исходу ω этого испытания соответствует число X . Тогда множество исходов отображается в некоторое числовое множество. Такое отображение, т.е. числовая функция X (ω ), построенная на множестве исходов эксперимента, называется слу- чайной величиной (СВ). Примерами СВ могут быть число единиц в последовательности n дво- ичных символов, значение напряжения на выходе приемника в фиксированный момент времени и т.д.
Если число n возможных исходов x
1
, x
2
,..., x
n
конечно или cчетно, то CB X называется дискретной величиной. Дискретная СВ может быть описана с помощью перечисления всех ве- роятностей p i
(i = 1,2,..., n) , с которыми СВ принимает значения x
1
,..., x
2
, т.е. p i
=P(X= x i
), i
=1,2, …..,n. Сумма этих вероятностей равна единице.

Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М.
33
Вместо набора
1
}
{
=
i
n
i
p
вероятностей свойства, характеризующих случайные величины, можно задать функцию распределения:
)
(
)
(
x
X
P
x
F

=
В этом случае имеем:
F (−∞) = 0, F (∞) =1, P(a ≤ x < b) = F (b)− F (a).
Кроме того, F(x) является неубывающей функцией. Для дискретных СВ эта функция имеет ступенчатый вид (рис. 2.11).
Для описания основных свойств случайных процессов используются четыре статистиче- ские вычислительные процедуры: а) среднее значение квадрата случайного процесса; б) плот- ность распределения; в) автокорреляционная функция; г) спектральная плотность.
Среднее-значение квадрата дает элементарное представление об интенсивности процес- са. Плотность распределения характеризует распределение вероятностей процесса в фиксиро- ванных точках.
Рис. 2. 11 Сопоставление непрерывной и дискретной функции
Автокорреляционная функция и спектральная плотность дают аналогичную информа- цию о процессе во временной и частотной областях соответственно. Расширяя эти понятия можно сказать, что формально функция спектральной плотности стационарного процесса не содержит дополнительной информации по сравнению с автокорреляционной функцией, по- скольку эти функции связаны взаимным преобразованием Фурье. Однако они дают информа- цию различного типа, а это может оказаться важным при проверке рабочих гипотез о характере процесса.

Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М.
34
2.3.1. Моменты второго порядка
Элементарное представление о суммарной интенсивности любого случайного процесса дает среднее значение квадрата, которое представляет собой просто среднее из всех значений квадрата процесса в пределах данной реализации. Среднее значение квадрата
2
x

данной ре- ализации x(t) определяется в виде:
dt
t
x
T
T
T
x
)
(
1 0
2 2
lim


→
=

(2.13)
Абсолютная величина корня квадратного из среднего значения квадрата называется
среднеквадратичным значением.
Очень часто удобно рассматривать физический процесс в виде суммы статической, т. е. не зависящей от времени, составляющей и динамической, или флуктуационной, составляющей.
Статическую составляющую можно получить, вычисляя среднее значение, которое представля- ет собой просто среднее из всех значений процесса. Среднее значение:


→
T
T
x
dt
t
x
T
0
)
(
1
lim

(2.14)
Динамическая составляющая определяется дисперсией процесса — величиной, равной просто среднему квадрату отклонений его ординат от среднего значения. Дисперсия процесса:
dt
t
x
T
x
T
x
T

−
=

→
0 2
2
]
)
(
[
1
lim


(2.15)
Положительное значение корня квадратного из дисперсии называется среднеквадратич- ным отклонением. Раскрывая скобки в подынтегральной функции (2.15), находим, что диспер- сия равна разности между средним значением квадрата и квадратом среднего значения

Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М.
35
x
x
x
2 2
2



−
=
(2.16)
2.3.2. Плотность распределения
Плотность распределения случайного процесса определяет вероятность того, что значе- ния процесса в произвольный момент времени будут заключены в определенном интервале.
Рассмотрим некоторую реализацию как функцию времени, представленную на рис. 2.12.
Рис. 2.12 Определение плотности распределения
Вероятность того, что значения x(t) попадают в интервал от х до (х + х), можно найти, вычисляя отношение
T
T
x
, где Т
х
— суммарная продолжительность нахождения процесса в ин- тервале (х, х +х) за время наблюдения Т. При стремлении Т к бесконечности это отношение все точнее описывает вероятность такого события. Это утверждение можно записать следую- щим образом:
T
T
x
x
x
t
x
x
P
T
lim
]
)
(
[

→
=

+


(2.17)
При малых х одномерная плотность распределения р(х) определяется соотношением:

Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М.
36
)
(
]
)
(
[
x
p
x
x
t
x
x
P


+


(2.18)
Более строго
]
[
1
]
)
(
[
)
(
lim lim lim
0 0
T
T
x
x
x
x
t
x
x
P
x
p
x
T
x
x

→
→

→


=


+


=
(2.19)
Плотность распределения р(х) есть всегда действительная неотрицательная функция.
Вероятность того, что мгновенное значение x(t) не превышает некоторой величины х, характеризуется функцией Р(х), которая равна интегралу от плотности распределения в преде- лах от минус бесконечности до х. Функция Р(х) называется функцией распределения, или куму-
лятивной функцией распределения.
По определению


−
=

=
x
d
p
x
t
x
P
x
P


)
(
]
)
(
[
)
(
(2.20)
Функция распределения ограничена значениями нуль и единица, так как вероятность то- го, что x(t) меньше — , очевидно, равна нулю, а вероятность того, что x(t) меньше + , равна единице отождествляется с достоверным событием. Вероятность попадания x(t) в некоторый интервал (х
1
, х
2
) составляет:

=


=
−
2 1
)
(
]
)
(
[
)
(
)
(
2 1
1 2
x
x
dx
x
p
x
t
x
x
P
x
P
x
P
(2.21)
Среднее значение функции x(t) выражается через плотность распределения следующим образом:

Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М.
37



−
=
dx
x
xp
x
)
(

(2.22) т. е. среднее значение равно взвешенной сумме всех значений x(t). Аналогично вычисляется среднее значение квадрата по выражению:



−
=
dx
x
p
x
x
)
(
2 2

(2.23)
2.3.3. Автокорреляционная функция
Автокорреляционная функция случайного процесса характеризует общую зависимость значе- ний процесса в некоторый данный момент времени от значений в другой момент. Рассмотрим реализацию x(t), приведенную на рис. 2.13. Оценку величины автокорреляционной функции, связывающей значения x(t) в моменты времени t и t + , можно получить, вычисляя произведе- ние этих ординат и усредняя величину произведения в пределах времени наблюдения Т.
Рис. 2.13 Автокорреляционная функция
Найденное среднее значение произведения приближается к точному значению автокор- реляционной функции при стремлении Т к бесконечности. Следуя этим представлениям, запи- шем выражение:

Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М.
38

+
=

→
T
T
x
dt
t
x
t
x
R
T
0
)
(
)
(
)
(
1
lim


(2.24)
Величина R
x
() — всегда действительная четная функция с максимумом в точке = 0.
Эта функция может быть как положительной, так и отрицательной. Формально это утвержде- ние записывается в виде:
)
(
)
(


x
x
R
R
=
−
(2.25)
)
(
)
0
(

x
x
R
R

(2.26)
Среднее значение функции x(t) выражается через автокорреляционную функцию и зада- ется выражением:
)
(
=
x
x
R

(2.27)
Таким образом, среднее значение функции x(t) равно положительному значению корня квадратного из автокорреляционной функции, взятой при очень большом сдвиге. Аналогично среднее значение квадрата функции задается выражением:
)
0
(
2
x
x
R
=

(2.28)
Другими словами, среднее значение квадрата равно значению автокорреляционной функции при нулевом сдвиге.

Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М.
39
2.3.4. Спектральная плотность
Спектральная плотность случайного процесса, часто называемая также автоспектром, описывает общую частотную структуру процесса через спектральную плотность среднего зна- чения квадрата его значений. Среднее значение квадрата значений реализации в интервале ча- стот от f до f+ f можно получить, подавая эту реализацию на вход полосового фильтра с уз- кой полосой пропускания и усредняя возведенную в квадрат функцию на выходе фильтра. Это осредненное значение квадрата приближается к точному его значению при стремлении Т к бес- конечности. Формализм этой процедуры можно выразить в виде:


=


→
T
T
x
dt
f
f
t
x
f
f
T
0 2
2
)
,
,
(
)
,
(
1
lim

(2.29)
Здесь x(t, f, f) — составляющие функции x(t), имеющие частоты в интервале от f до f+
f. При малых значениях f спектральную плотность G
x
(f) можно определить, пользуясь при- ближенным равенством
)
,
(
)
,
(
2
f
f
G
f
f
x
x




(2.30)
Более строго это выражение можно записать в виде:
G
x
(f) — всегда действительная, неотрицательная функция.
Важное свойство спектральной плотности заключается в ее связи с автокорреляционной функцией. В частности, для стационарного процесса эти функции связаны преобразованием
Фурье:



=


=
→
→

→

T
T
f
x
f
x
dt
f
f
t
x
f
f
f
f
f
G
T
0 2
0 0
2 0
]
)
,
,
(
[
1
)
,
(
)
(
1
lim lim lim

(2.31)

Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М.
40








d
R
d
e
R
f
G
x
f
x
x
)
/
2
cos(
)
(
4
)
(
2
)
(
0 0
/
2




−
=
=
(2.32)
Переход к последнему выражению возможен потому, что R
x
() есть четная функция ар- гумента . Среднее значение функции x(t) определяется спектральной плотностью в соответ- ствии с выражением:
2
/
1 0
0
)
(

+
−
=
df
f
G
x
x

(2.33) где индексы при интеграле -0 и 0+ означают, что нижний предел интегрирования берется слева, а верхний — справа. Иными словами, среднее значение функции x(t) входит в функцию G
x
(f) через дельта-функцию Дирака при нулевой частоте. Это среднее равно положительному значе- нию корня квадратного из площади, лежащей под дельта-функцией.
Среднее значение квадрата функции x(t) описывается зависимостью:
df
f
G
x
x
)
(
0 2


=

(2.34)
По умолчанию подразумевается, что нижний предел интегрирования берется слева с тем, чтобы учесть формулу (1.33). Следовательно, среднее значение квадрата равно общей площади под кривой спектральной плотности как функции частоты.
2.4. Совместные характеристики случайных процессов
На практике часто возникает необходимость описать некоторые общие или совместные характеристики различных процессов по двум или более реализациям случайных процессов.
Например, исследователя могут интересовать значения температуры в разных точках поверх- ности кристалла процессора. Для описания средних характеристик ординат в каждой точке можно воспользоваться статистическими функциями, рассмотренными в разделе 1.3. Однако

Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М.
41 могут потребоваться и важные дополнительные сведения о совместных функциях, которые можно найти для ординат поверхности кристалла в двух различных точках.
Для описания совместных характеристик реализаций двух случайных процессов исполь- зуют вероятностные функции трех основных типов: а) совместную плотность распределения; б) взаимную корреляционную функцию; в) взаимную спектральную плотность. Эти три функции представляют собой в сущности обобщения основных понятий, используемых для описания свойств отдельных реализаций. Они дают информацию о совместных характеристиках процес- сов в амплитудной, временной и частотной областях.