, получаем амплитудно-фазовую частотную характеристику разомкнутой системы

. (2.8)

Если изменять частоту от до , то вектор будет меняться по величине и по фазе. Кривую, описываемую концом этого вектора в комплексной плоскости, называют амплитудно-фазовой характеристикой разомкнутой системы (годографом Найквиста).

Амплитудно-фазовая характеристика симметрична относительно вещественной оси, поэтому обычно вычерчивают только ту часть ее, которая соответствует положительным частотам, а другая ее часть при отрицательных частотах может быть найдена как зеркальное отражение предыдущей части относительно вещественной оси.

Разомкнутая система может быть устойчивой, неустойчивой и находиться на границе устойчивости.

Общая формулировка критерия Найквиста охватывает все три случая. Для устойчивости замкнутой системы автоматического управления необходимо и достаточно, чтобы разность между числами положительных и отрицательных переходов частотного годографа амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы через отрицательную действительную полуось от до была равна , где – число корней характеристического уравнения разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости.

При этом переход считается положительным, если при возрастании годограф переходит из верхней полуплоскости в нижнюю, и отрицательным, если годограф переходит из нижней полуплоскости в верхнюю.

Для систем, находящихся в разомкнутом состоянии на границе устойчивости с нулевыми корнями характеристического уравнения, число считается равным нулю, а годограф

---

берется с дополнением в бесконечности.

Если система автоматического управления в разомкнутом состоянии устойчива, т.е. , то для устойчивости замкнутой системы необходимо, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика не охватывала точку с координатами .

Таким образом, для этого наиболее часто встречающегося на практике случая получаем следующую формулировку критерия Найквиста. Если разомкнутая система автоматического управления устойчива, то замкнутая система автоматического управления будет устойчива, если амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы не охватывает точку . На рис. 2.4 годограф 1 соответствует устойчивой системе, а годограф 2 – соответствует неустойчивой системе.

Рис. 2.4. Годографы Найквиста
2.2.4. Запасы устойчивости. Логарифмический частотный критерий устойчивости
Поскольку параметры системы определяют обычно приближенно, и в процессе работы они могут изменять свою величину, то важное значение имеет оценка удаления амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы от точки . Это удаление определяет запас устойчивости, который характеризуется двумя величинами: запасом устойчивости по фазе и запасом устойчивости по амплитуде [2].

Запас устойчивости по фазе определяют как величину угла для частоты среза , при которой .

Запас устойчивости по амплитуде определяют как величину отрезка оси абсцисс

---

, заключенного между критической точкой и амплитудно-фазовой характеристикой (рис. 2.5, а).

С ростом коэффициента усиления разомкнутой системы модуль амплитудно-фазовой характеристики также растет и при некотором значении коэффициента усиления , называемого критическим коэффициентом усиления, амплитудно-фазовая характеристика пройдет через точку , т.е. система будет на границе устойчивости. При система будет неустойчива.

Запасы устойчивости обычно определяют по логарифмическим частотным характеристикам (рис. 2.5, б).

Рис. 2.5. Определение запасов устойчивости
Логарифмический частотный критерий устойчивости. Из критерия Найквиста следует, что устойчивая в разомкнутом состоянии система, будет устойчивой и в замкнутом состоянии, если сдвиг по фазе на частоте среза не достигает величины .
2.2.5. Метод D-разбиения
При исследовании устойчивости большое практическое значение имеет построение областей устойчивости в плоскости одного или нескольких параметров, влияние которых на устойчивость исследуют.

Уравнение границ областей устойчивости можно находить, пользуясь любым критерием устойчивости. Однако чаще всего на практике применяют наиболее общий метод построения областей устойчивости, который был предложен Ю.И. Неймарком и назван им методом D-разбиения [2].

Рассмотрим характеристическое уравнение замкнутой системы n-порядка

,

которое имеет n корней, расположение которых на комплексной плоскости корней p зависит от численных значений коэффициентов .

МетодомD-разбиением называют разбиение пространства параметров (или коэффициентов) на области с различным распределением корней характеристического уравнения. Области обозначаются через

---

, где – число корней уравнения в правой полуплоскости. Среди всех областей D-разбиения лишь одна является областью устойчивости.

Предположим, что требуется выяснить влияние на устойчивость какого-либо параметра линейно входящего в характеристическое уравнение. Для этого сначала характеристическое уравнение приводят к виду

, (2.9)

где – полином, не зависящий от параметра .

Границы D-разбиения определяются уравнением

,

так как границей между правой и левой полуплоскостями является мнимая ось, на которой при .

Решая уравнение относительно , найдем выражение для границы D-разбиения

. (2.10)

При этом параметр оказывается комплексным. Поскольку параметры в линейных системах являются не комплексными, а вещественными, то последнее уравнение необходимо дополнить условием

.

Для построения границы D-разбиения на комплексной плоскости достаточно построить ее для положительных значений : , а затем построенный участок дополнить зеркальным отображением построенного участка относительного действительной оси (рис. 2.6).

Рис. 2.6. D-разбиение по одному параметру

Если при изменении

---

от до в плоскости корней двигаться по мнимой оси и штриховать ее слева, то такому движению в плоскости соответствует движение по границе D-разбиения, которую также штрихуют слева по обходу при изменении от до .

Для определения области , и в частности области устойчивости , достаточно знать распределение корней, т.е. число правых и левых корней при каком-либо одном произвольном значении параметра . Переходя в плоскости от этого параметра к любому другому, по числу пересечений границы D-разбиения, направлению и числу штриховок можно определить в любой другой точке.

Претендентом на область устойчивости является область, внутрь которой направлена штриховка. Чтобы установить, является ли эта область действительно областью устойчивости, необходимо задаться каким-либо значением , лежащим в этой области. Подставив в характеристическое уравнение, нужно, используя любой критерий устойчивости, установить, все ли корни характеристического уравнения будут при этом левыми. Если при этом не все корни будут левыми, то области устойчивости нет, т.е. изменением только параметра нельзя сделать систему устойчивой.

Так как изменяемый параметр является вещественным числом, то из полученной области выделяют только отрезок устойчивости, т.е. отрезок вещественной оси, лежащий в области устойчивости, например отрезок АБ.
2.3. Задание
1. Изучить основные определения, необходимые и достаточные условия, критерии устойчивости линейных систем.

---

Смотрите также файлы

• Решение которой прикрепляете в задание решение практических задач (3 семестр).docx

• C. Акантолизис.pdf

• Теоретические аспекты формирования и развития команды проекта для создания медиапродуктов.pdf

• Английский язык в жизни судоводителя.docx

• Сочинения в конце каждого урока. Пока не все, но пополняются регулярно, заходите почаще. Как только закончу работу над всеми уроками онлайн, помещу сочинения на отдельной странице).docx