ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.11.2023
Просмотров: 26
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
. Наибольшее значение 
для текущего 
равно 
.
Для непрерывных сигналов будут справедливы следующие интегральные выражения:
,
.
Таким образом, задавая вейвлет-функции, можно выполнять разложение сигнала по вейвлет-базису непрерывных или дискретных сигналов.
Рис. 13. Распределение базисных функций Хаара при анализе сигнала
Функция
может образовывать вейвлет-базис, если она удовлетворяет следующим условиям:
1. Ограниченность нормы:
.
2. Вейвлет-функция должна быть ограничена и по времени и по частоте:
и 
, при 
.
Контрпример: дельта-функция и гармоническая функция не удовлетворяют данному условию.
3. Нулевое среднее:
.
Если обобщить данное условие, то можно получить формулу
, которая определяет степень гладкости функции . Считается, что чем выше степень гладкости базисной функции, тем лучше ее аппроксимационные свойства.
В качестве примера приведем следующие известные вейвлет-функции:
, 
.
Для ВП, также как и для ДПФ существует алгоритм быстрого преобразования. Рассмотрим снова ВП Хаара. Из рис. 13 видно, что функции с малым масштабным коэффициентом
используют те же отсчеты сигнала для вычисления коэффициентов, что и функции с большим масштабным коэффициентом. При этом операция суммирования одних и тех же отсчетов повторяется неоднократно. Следовательно, для уменьшения объема вычислений целесообразно вычислять ВП с самого малого масштабного коэффициента. В результате получаем вейвлет-коэффициенты, представляющие собой средние значения 
и разности 
. Для коэффициентов повторяем данную процедуру. При этом усреднение коэффициентов 
будет соответствовать усреднению четырех отсчетов сигнала, но при этом расходуется одна операция умножения и одна операция сложения. Процесс разложения повторяется до тех пор, пока не будут вычислены все коэффициенты спектра 
.
Запишем алгоритм быстрого вейвлет-преобразования Хаара в матричном виде. Пусть дан вектор
размером 8 элементов. Матрица преобразования Хаара запишется в виде
,
В приведенных обозначениях один шаг быстрого ВП запишется как
. (21)
Повторяем операцию преобразования для коэффициентов
:
, (22)
для коэффициентов
. (23)
В результате получается набор вейвлет-коэффициентов
, по которым можно точно восстановить исходный сигнал. Для этого необходимо задать матрицу синтеза 
, 
.
Восстановленный сигнал запишется в виде
. (24)
В общем случае вместо коэффициентов
могут быть любые другие, которые описывают соответствующее ВП. При этом элементы в матрицах 
можно характеризовать как коэффициенты низко- и высокочастотных фильтров анализа и синтеза соответственно:
,
,
где
- матрица выделения низкочастотных составляющих;
- матрица выделения высокочастотных составляющих. При этом преобразование сигнала можно представить через свертку КИХ-фильтров (рис. 14).
Рис. 14. Представление ВП через набор низко- и высокочастотных фильтров
Обобщение ВП на двумерный случай приводит к разделимому преобразованию:
,
где
- низкочастотная составляющая; 
, 
, 
- высокочастотные составляющие. Таким образом, при двумерном ВП изображение разбивается на четыре компоненты: три высокочастотные, представляющие мелкие детали, и одна низкочастотная, представляющая собой уменьшенную и сглаженную копию исходного изображения. В соответствии с алгоритмом БВП второй шаг ВП запишется в виде
В результате получаем представление изображения на разных уровнях масштаба , 
, и т.д. Операции преобразования сигнала можно рекуррентно выполнять, пока низкочастотная составляющая не будет представлена одним отсчетом.
Расчет ортогональных вейвлет-фильтров
Рассмотрим матричный способ расчета вейвлет-фильтров для преобразования сигнала. Допустим, что низко- и высокочастотные коэффициенты фильтров ортогональны друг другу. В этом случае можно записать
,
. (25)
где
– коэффициенты низкочастотного фильтра; 
– высокочастотного. Запишем матрицу преобразования 
размером 8х8 элементов, при длине вейвлет-фильтров 
:
.
В соответствии с третьим условием базисных вейвлет-функций потребуем наличия 2-х нулевых моментов:
Для того чтобы преобразование было обратимым, необходимо выполнение условия
, где 
– единичная матрица. В результате получаем еще два уравнения:
Решение полученной системы уравнений даст коэффициенты низкочастотного фильтра:
Коэффициенты высокочастотного фильтра находятся из уравнения (25).
Вычисленные ортогональные вейвлеты получили название вейвлетов Добеши. Другим видом ВП является биортогональное преобразование. В этом случае базисные функции анализа не ортогональны друг другу. При этом удается получить вейвлет-фильтры с большим числом нулевых моментов.
для текущего равно .Для непрерывных сигналов будут справедливы следующие интегральные выражения:
, .Таким образом, задавая вейвлет-функции, можно выполнять разложение сигнала по вейвлет-базису непрерывных или дискретных сигналов.
Рис. 13. Распределение базисных функций Хаара при анализе сигнала
Функция
может образовывать вейвлет-базис, если она удовлетворяет следующим условиям:1. Ограниченность нормы:
.2. Вейвлет-функция должна быть ограничена и по времени и по частоте:
и , при .Контрпример: дельта-функция и гармоническая функция не удовлетворяют данному условию.
3. Нулевое среднее:
.Если обобщить данное условие, то можно получить формулу
, которая определяет степень гладкости функции . Считается, что чем выше степень гладкости базисной функции, тем лучше ее аппроксимационные свойства.
В качестве примера приведем следующие известные вейвлет-функции:
, .Для ВП, также как и для ДПФ существует алгоритм быстрого преобразования. Рассмотрим снова ВП Хаара. Из рис. 13 видно, что функции с малым масштабным коэффициентом
используют те же отсчеты сигнала для вычисления коэффициентов, что и функции с большим масштабным коэффициентом. При этом операция суммирования одних и тех же отсчетов повторяется неоднократно. Следовательно, для уменьшения объема вычислений целесообразно вычислять ВП с самого малого масштабного коэффициента. В результате получаем вейвлет-коэффициенты, представляющие собой средние значения и разности . Для коэффициентов повторяем данную процедуру. При этом усреднение коэффициентов будет соответствовать усреднению четырех отсчетов сигнала, но при этом расходуется одна операция умножения и одна операция сложения. Процесс разложения повторяется до тех пор, пока не будут вычислены все коэффициенты спектра .Запишем алгоритм быстрого вейвлет-преобразования Хаара в матричном виде. Пусть дан вектор
размером 8 элементов. Матрица преобразования Хаара запишется в виде ,В приведенных обозначениях один шаг быстрого ВП запишется как
. (21)Повторяем операцию преобразования для коэффициентов
: , (22)для коэффициентов
. (23)В результате получается набор вейвлет-коэффициентов
, по которым можно точно восстановить исходный сигнал. Для этого необходимо задать матрицу синтеза , .Восстановленный сигнал запишется в виде
. (24)В общем случае вместо коэффициентов
могут быть любые другие, которые описывают соответствующее ВП. При этом элементы в матрицах можно характеризовать как коэффициенты низко- и высокочастотных фильтров анализа и синтеза соответственно: , ,где
- матрица выделения низкочастотных составляющих;
- матрица выделения высокочастотных составляющих. При этом преобразование сигнала можно представить через свертку КИХ-фильтров (рис. 14). Рис. 14. Представление ВП через набор низко- и высокочастотных фильтров
Обобщение ВП на двумерный случай приводит к разделимому преобразованию:
,где
- низкочастотная составляющая; , , - высокочастотные составляющие. Таким образом, при двумерном ВП изображение разбивается на четыре компоненты: три высокочастотные, представляющие мелкие детали, и одна низкочастотная, представляющая собой уменьшенную и сглаженную копию исходного изображения. В соответствии с алгоритмом БВП второй шаг ВП запишется в виде В результате получаем представление изображения на разных уровнях масштаба
, , и т.д. Операции преобразования сигнала можно рекуррентно выполнять, пока низкочастотная составляющая не будет представлена одним отсчетом.Расчет ортогональных вейвлет-фильтров
Рассмотрим матричный способ расчета вейвлет-фильтров для преобразования сигнала. Допустим, что низко- и высокочастотные коэффициенты фильтров ортогональны друг другу. В этом случае можно записать
,
. (25)где
– коэффициенты низкочастотного фильтра; – высокочастотного. Запишем матрицу преобразования размером 8х8 элементов, при длине вейвлет-фильтров : .В соответствии с третьим условием базисных вейвлет-функций потребуем наличия 2-х нулевых моментов:
Для того чтобы преобразование было обратимым, необходимо выполнение условия
, где – единичная матрица. В результате получаем еще два уравнения: Решение полученной системы уравнений даст коэффициенты низкочастотного фильтра:
Коэффициенты высокочастотного фильтра находятся из уравнения (25).
Вычисленные ортогональные вейвлеты получили название вейвлетов Добеши. Другим видом ВП является биортогональное преобразование. В этом случае базисные функции анализа не ортогональны друг другу. При этом удается получить вейвлет-фильтры с большим числом нулевых моментов.