Файл: А. А. Мицель математическое и имитационное.pdf

84
На протяжении всего срока погашения регулярно выплачивается постоянная срочная уплата, часть её идёт в погашение долга, а часть - в погашение процентов за заём. Величина долга убывает после каждой выплаты.
Однако в связи с уменьшением выплат по процентам с течением времени увеличиваются суммы, идущие на погашение основного долга. Срочная уплата равна
t
t
Y
d
iD
const



, где
t
d
– сумма, которая идет на погашения основного долга в году с номером
t
,
t
iD
– проценты за кредит в году с номером
t
Периодически выплачиваемые суммы
Y
можно рассматривать как постоянную годовую ренту, член которой определяется по формуле:
1
,
n i
D
Y
a

, где
1
D
D

– размер займа.
Структура срочной уплаты, то есть та ее часть, которая идёт на погашение основного долга, и часть, которая идет на погашение процентов, имеет вид:

размер погасительного платежа в году
t
:
1 1
1
(1
)
(1
)
,
2,...,
t
t
t
t
d
Y
D i
d
i
d
i
t
n


 

 


;
1 1
1
,
1
,
/
/
n
n
n i
n i
d
Y
D i
Yv
D v
a
D
s
 



;

остаток долга на начало года
1
t

:
1
(1
)
t
t
t
t
D
D
d
D
i
Y




 
;

сумма погашенного долга на конец
t
- го года:
1 1
1 ,
0
(1
)
t
k
t
t i
k
W
d
i
d s






, где
,
t i
s
- коэффициент наращения годовой ренты, срок которой равен
t
лет.

выплаченные проценты на конец
t
- го года:
1
t
t
k
t
k
I
i
D
t Y
W


 
  
6.2. Формирование погасительного фонда по более высоким
процентам
Взятый заем может погашаться разными способами. Например, заемщик может создать специальный погасительный фонд и накапливать на нем средства, чтобы погасить заем единым платежом в конце срока займа.
Понятно, что это имеет смысл, если у заемщика есть возможность получать на деньги погасительного фонда большие проценты, чем те, под которые он взял заем.
Рассмотрим три варианта формирования погасительного фонда.
1. Основной долг погашается из фонда в конце срока разовым платежом. Сумма взносов в фонд с процентами на них должна быть равна долгу на момент его уплаты. Проценты по долгу выплачиваются не из фонда.
Пусть накопление средств в фонде производится путём регулярных ежегодных взносов, размер которых равен
R
, и на эти взносы начисляются проценты по ставке
i
. Одновременно происходит выплата процентов, начисляемых на долг по ставке
g
(проценты выплачиваются не из фонда). Т огда срочная уплата
Y
Dg
R


, где
Dg
- проценты по долгу,
R
- платежи в фонд.

85
Размер платежа ( взноса) в фонд равен:
,
n i
D
R
s

С учетом этого, срочная уплата
,
1
(
)
n i
Y
D g
s


2. Основной долг и проценты выплачиваются из фонда в конце срока.
Если условия финансового обязательства предусматривают присоединение процентов к сумме основного долга, то взносы в фонд к концу срока должны обеспечить накопление суммы
(1
)
n
D
g

В этом случае
,
(1
)
n
n i
D
g
Y
s


3. Фонд формируется таким образом, чтобы обеспечить периодическую выплату процентов по долгу (из фонда) и в конце срока возврат основного долга.
Рассмотрим процесс формирования фонда. Первая выплата в фонд в сумме
R
осуществляется в момент взятия кредита. На сумму
R
начисляются проценты за
n
лет (
n
- общий срок кредита) по сложной ставке
i
. В конце срока эта сумма будет равна
(1
)
n
R
i

. В начале второго года в фонд вносится сумма
R
и выплачиваются из фонда проценты по долгу
I
Таким образом, фактически в фонд вносится сумма
(
)
R
I

На неё будут начисляться проценты в течение
(
1
n

) лет, к концу срока получим сумму
1
(
)(1
)
n
R
I
i



. В начале третьего года вносим в фонд сумму
R
и одновременно берём из фонда сумму
I
На этот взнос
(за вычетом процентов по долгу) будут начисляться проценты в течение (
2
n

) лет. В результате к концу срока получим сумму
2
(
)(1
)
n
R
I
i



Последний взнос в фонд осуществляется в момент времени
(
1)
n

и он вместе с начисленны- ми процентами (с учетом изъятия из фонда суммы процентов по долгу) даст сумму
(
)(1
)
R
I
i


В конце срока необходимо обеспечить выплату суммы, размер которой равен
(
)
D
I

(основной долг плюс проценты по долгу за последний год).
Составим балансовое уравнение. В нем все взносы в фонд за вычетом процентов по долгу, с учётом начисления на них процентов в фонде, приравниваем к сумме долга плюс проценты за последний год. Имеем
1 2
(1
)
(
)(1
)
... (
)(1
)
(
)(1
)
n
n
R
i
R
I
i
R
I
i
R
I
i
D
I





 




  
Из этого уравнения определяем размер взносов в фонд
R
:
,
(1
)
1
n i
D
I
R
i s
i




Эта сумма и будет равна срочной уплате:
Y
R

6.3. Потребительский кредит и его погашение
При выдаче потребительского кредита сразу на всю сумму кредита начисляются простые проценты, они прибавляются к величине самого

86 кредита и сумма всех погашающих выплат должна быть равна этой величине. Существует несколько схем погашения потребительского кредита.
Погашение равными выплатами. Пусть кредит размером
D
взят на
n
лет, годовая ставка простых процентов
i
, следовательно, всего надо набрать выплат на сумму
(1
)
D
n i
 
Если в год предусмотрено (договором о кредите)
m
выплат, то одна выплата равна
(1
) /
D
n i
nm
 
Погашение по правилу 78. При этом способе основной долг
D
вы- плачивается равными долями, а процентные деньги в размере
niD
, начисленные по простой ставке, — выплатами, уменьшающимися в арифметической прогрессии, и последняя выплата равна разности этой прогрессии. Если в год предусмотрено
m
выплат (например, 12 — при ежемесячных выплатах), то самая последняя выплата равна
d
— неизвестной пока разности прогрессии, а первая —
nmd
Но сумма всех этих выплат
... 2
(1
)
2
d
nmd
d
d
nm nm
 
  

должна быть равна процентным деньгам, т.е.
(1
)
2
d
nm nm
niD

 
, откуда можно найти
(1
)
/ 2
niD
d
nm nm


и все выплаты процентных денег.
Практически делают так. Считают сумму номеров всех выплат
(1
)
(1 2 ...
)
2
nm nm
N
nm

   

и делят процентные деньги на
N
частей, т.е.
/
d
n i D N
  
; далее 1-й платеж равен
nm
таких частей, т.е.
nmd
; 2- й платеж будет на одну часть меньше
(
1)
nm
d

и т.д., последний платеж равен ровно одной части
d
. Сумма номеров месяцев в году 1+2+...+12 равна 78, отсюда и название этого правила.
6.4. Льготные кредиты
Льготный кредит выдают по льготной ставке, меньшей обычной ставки.
Фактически тем самым заемщик получает субсидию, которую рассчитывают как разницу соответствующих современных сумм.
Пусть кредит размером
D
выдан на
n
лет по льготной ставке
g
, меньшей обычной ставки
i
, и будет погашаться равными выплатами. Эти выплаты образуют годовую ренту. Обозначим размер одной выплаты
y
, тогда современная величина этой ренты равна
( , )
y a n g

Отсюда найдем:
/ ( , )
y
D a n g

А если бы выплаты шли по обычной ставке
i
, то размер ка- ждой выплаты был бы
/ ( , )
z
D a n i

Разность
/ ( , )
/ ( , )
z
y
D a n i
D a n g
 

— это ежегодные потери кредитора, а современная величина ренты этих потерь по действующей ставке
i
, т.е.


(
)
( , )
/ ( , )
/ ( , )
( , )
z
y a n i
D a n i
D a n g a n i
 



( , )
1
( , )
a n i
D
a n g







и есть субсидия кредитора заемщику. Эта субсидия называется еще абсолютным грант-элементом, а величина
( , )
1
( , )
a n i
a n g

— относительным грант-элементом. Наращенная сумма

87 абсолютного грант-элемента или, что то же самое, наращенная сумма субсидии называется общими потерями кредитора.
Пример 6.1. Пусть D=1000,n=8, i=8%, g=5%. Находим выплаты по обычной ставке из уравнения:
(8,8)
z a

= 1000. Коэффициент приведения ренты
(8,8)
a
= 5,747; отсюда
z
= 174. Выплаты по льготной ставке находим из уравнения:
(8,5)
y a

= 1000, находим:
a
(8,5)
= 6,463; отсюда
y
=155.
Следовательно, ежегодные потери кредитора равны 19. Подсчитаем относительный и абсолютный грант-элементы (последний, напоминаем, есть субсидия кредитора заемщику):
( , )
1
( , )
a n i
a n g

= 1
– 5,747/6,463=0,108; 1000

0,108=
=108. Наконец, общие потери кредитора 108

(1+0,08)
8
; величина M(8,8) =
(1+0,08)
8
= 1,851. Следовательно, общие потери кредитора равны 200.
6.5. Варианты заданий
1.
Заем был взят под
1
i
=16% годовых, выплачивать осталось ежеквартально по 500 д.е. (
R
=500 д.е.) в течение
n
=2 лет. Из-за изменения ситуации в стране процентная ставка снизилась до
2
i
=6% годовых. В банке согласились с необходимостью пересчета ежеквартальных выплат. Каков должен быть новый размер выплаты?
Расчеты провести для простой и сложной процентной ставки.
Решить аналогичную задачу, взяв данные из таблицы 6.1.
Таблица 6.1.
Вариант
R
, д.е.
1
i
, %
2
i
, %
n
, лет
1 400 17 7
2 2
450 15 5
2 3
480 14 6
3 4
490 16 7
3 5
500 16 7
2 6
510 16 5
2 7
520 15 6
2 8
550 17 8
2 9
600 15 7
3 10 640 14 4
3 2. Проверьте план погашения основного долга равными годовыми уплатами, если величина займа составляет
D
=600 д.е., а процентная ставка
i
=8%.

88
Уплаты
Годы
168.0 1
158.4 2
148.8 3
139.2 4
129.6 5
Решить аналогичную задачу, взяв данные из таблицы 6.2.
j
R
- уплата в
j
- м году.
Таблица 6.2.
Вариант
D
, д.е.
i
, %
1
R
, д.е.
2
R
, д.е.
3
R
, д.е.
4
R
, д.е.
5
R
, д.е.
1 500 7
135 128 121 114 107 2
500 10 150 140 130 120 110 3
600 11 186 172.8 159.6 146.4 133.2 4
700 9
203 190.4 177.8 165.2 152.6 5
700 7
189 179.2 169.4 159.6 149.8 6
800 10 240 224 208 192 176 7
800 8
224 211.2 198.4 185.6 172.8 8
900 8
252 237.6 223.2 208.8 194.4 9
900 6
234 223.2 212.4 201.6 190.8 10 1000 10 300 280 260 240 220 3. В городе есть банк, выплачивающий 8% годовых. Как вы объясните, почему автомагазин продает автомобили в кредит под 6% годовых?
4.
На покупку дачного домика взят потребительский кредит
D
=40 000 руб. на
n
=
8 лет под
i
=
8% годовых. Его нужно погашать равными ежеквартальными выплатами. Найти размер этой выплаты: а) если кредит взят под простые проценты; б) если кредит взят под сложные проценты. Найти сумму, которую может получить банк, если поступающие платежи будет размещать в другом банке под те же
i
=
8% годовых: а) если кредит взят под простые проценты; б) если кредит взят под сложные проценты.
Решить аналогичную задачу, взяв данные из таблицы 6.3.
Таблица 6.3.
Вариант
D
, тыс. руб.
i
, %
n
, лет.
1 30 7
6 2
30 9
5

89 3
35 7
7 4
35 8
8 5
40 7
7 6
40 9
9 7
45 8
8 8
45 6
6 9
50 7
7 10 50 8
8 5.
Магазин продает телевизоры в рассрочку на 1 год. Сразу же к цене телевизора
D
=$400 добавляют
i
= 10% и всю эту сумму надо погасить в течение года, причем стоимость телевизора гасится равномерно, а надбавка — по правилу 78. Найти ежемесячные выплаты.
Решить аналогичную задачу, взяв данные из таблицы 6.4.
Таблица 6.4.
Вариант
D
, $
i
, %
1 200 11 2
250 10 3
300 9
4 350 8
5 400 8
6 450 10 7
500 9
8 550 8
9 600 9
10 650 10 6.
Кредит
D
=
$500 банк дает под
i
=
6% годовых, которые сразу же высчитывает. Проанализируйте предыдущую задачу: может быть, лучше взять в банке кредит в $500? При какой величине кредита оба варианта будут эквивалентны.
Решить аналогичную задачу, взяв данные из таблицы 6.5.

90
Таблица 6.5.
Вариант
D
, $
i
, %
1 300 8
2 300 6
3 400 8
4 400 6
5 500 8
6 500 5
7 600 7
8 600 6
9 700 6
10 700 5
7.
Заем
D
=
$5000 взят на
n
=
8 лет под
i
=
8% годовых. Погашаться будет равными ежегодными выплатами основного долга. Найдите ежегодные выплаты.
Расчеты провести для простой и сложной процентной ставки.
Решить аналогичную задачу, взяв данные из таблицы 6.6.
Таблица 6.6.
Вариант
D
, $
n
, лет.
i
, %
1 3000 6
8 2
3000 5
7 3
4000 7
8 4
4000 8
6 5
5000 9
8 6
6000 9
5 7
6000 10 7
8 7000 8
7 9
7000 10 6
10 8000 9
6

91 8.
Заем
D
=
20000 д.е. взят на
n
=
8 лет под
i
=
8% годовых. Погашаться будет ежегодными равными выплатами. Найдите размер этой выплаты. Расчеты провести для простой и сложной процентной ставки.
Решить аналогичную задачу, взяв данные из таблицы 6.7.
Таблица 6.7.
Вариант
D
, тыс. д.е.
n
, лет.
i
, %
1 10 7
9 2
15 7
8 3
20 9
8 4
25 8
9 5
30 9
8 6
35 9
7 7
40 9
8 8
45 10 9
9 50 10 7
10 55 10 7
9.
Заем
D
=20 000 д.е. взят на
n
=
10 лет под
i
=
8% годовых. Погашаться будет начиная с конца
1
n
=6- го года ежегодными равными выплатами. Найдите размер этой выплаты.
Расчеты провести для простой и сложной процентной ставки.
Решить аналогичную задачу, взяв данные из таблицы 6.8.
Таблица 6.8.
Вариант
D
, тыс. д.е.
n
, лет.
i
, %
1
n
1 10 8
9 4
2 10 7
8 5
3 15 8
7 3
4 20 9
9 5
5 20 10 7
5 6
25 9
8 4
7 30 10 8
6 8
30 11 7
7 9
40 10 6
7 10 40 11 8
8

92 10. Срок погашения долга –
n
=
10 лет. При выдаче кредита была использована сложная учетная ставка
i
=
4% годовых. Величина дисконта за 6-й год срока долга составила
6
D
=
339,738 д.е. Какова величина дисконта за 3-й и 8-й годы в сроке долга? Какова сумма кредита? Ответ получить двумя способами.
Решить аналогичную задачу, взяв данные из таблицы 6.9.
Таблица 6.9.
Вариант
n
, лет
i
, %
6
D
, д.е.
1 10 4
257,334 2
10 4
315,105 3
10 4
357 4
10 6
390 5
10 6
300 6
10 6
360,15 7
11 4
399 8
11 4
420 9
11 6
600,15 10 11 6
420