Файл: А. А. Мицель математическое и имитационное.pdf

76 а сумма налога
( )
n
G
g I n
 
. Наращенная сумма после выплаты налога составляет
0
( )
( )
(
)
n
n
n
n
n
S n
S
G
S
g I n
S
g
S
P



 

 

0
(1
)
n
S
g
gP



Если
i
- простая процентная ставка, то
0
(1
)
n
S
P
i n

 
. Тогда
0
( )
(1
(1
) )
S n
P
i
g n

  
Видим, что фактически наращение производится по ставке
(1
)
i
g
i


Если
i
– сложная процентная ставка, то
0
(1
)
n
n
S
P
i


. Тогда


0
( )
(1
) (1
)
n
S n
P
i
g
g




Пример 5.1. При выдаче кредита на 2 года под годовую сложную процентную ставку 0,08 кредитор удерживает комиссионные в размере 0,5% от суммы кредита. Ставка налога на проценты 10%. Какова доходность операции для кредитора?
Если
0
P
- сумма кредита, а
n
S
- сумма погашаемого долга, то
0
(1
)
n
n
S
P
i


, где
i
= 0,08 ,
n
= 2. Сумма комиссионных
0
cP
, где
c
=
0,005. Тогда сумма, фактически выданная в долг, составит
0
(0)
(1
)
P
P
c


После выплаты налога у кредитора останется


0
( )
(1
) (1
)
n
S n
P
i
g
g




, где
g
= 0,1 - ставка налога. Уравнение доходности имеет вид
( )
(0)(1
)
n
S n
P
r


Разрешая это уравнение относительно
r
, получим
1 1
( )
(1
) (1
)
1 1 0,07496
(0)
1
n
n
n
S n
i
g
g
r
P
c








 
 











Заметим, что без учета налога (
g
= 0) доходность операции составила бы
0,08271.
5.3. Учет инфляции
Инфляция– обесценение денег, проявляющееся в росте цен на товары и услуги, что влечет за собой снижение покупательной способности денег.
Предположим, что за
n
единиц времени получена наращенная сумма вклада
n
S
. Индекс цен за период
[0, ]
n
вырос до значения
( )
J n
. Тогда реальная сумма вклада вследствие снижения покупательной способности денег составит
( )
( )
n
S
S n
J n

,

77 где
1 0
1 2
1
(
)
(
)
(
)
1 2
( )
(1
)
(1
)
(1
)
n
n
t t
t
t
t
t
n
J n
h
h
h




 
 
 
– индекс цен на интервале
[0, ]
n
;
1
[0, ]
t
, … ,
1
[
,
]
n
n
t
t

- отрезки времени в сроке
[0, ]
n
(
0 0,
n
t
t
n


), длины которых
1 0
2 1
1
(
),(
),...,(
)
n
n
t
t
t
t
t
t




единиц времени;
i
h
(
1,...,
i
n
=
)
– темп инфляции на отрезке
1
[
, ]
i
i
t
t
-
(измеряется в процентах).
Так как
( ) 1
J n

, то
( )
n
S n
S

, что означает фактическое снижение ставки наращения.
Пример 5.2. Ожидаемый годовой темп инфляции первых двух лет вклада составляет 3%, а следующих трех - 4%. Какую минимальную годовую ставку сложных процентов должен предложить банк клиенту, чтобы реальная годовая доходность вклада была не меньше 8% ?
Здесь
0
t

- момент размещения вклада, 1 год - единица измерения времени, срок вклада
n
= 5 лет.
1
h
= 0,03 и
2
h
= 0,04
– среднегодовые темпы инфляции на временных отрезках [0,2], [2,5]. Для доходности по вкладу
r
должно быть выполнено условие:
0.08
r

. Пусть
i
- годовая сложная процентная ставка, под которую размещена сумма
0
P
. Тогда наращенная сумма вклада через
n
лет
0
(1
)
n
n
S
P
i


. С учетом инфляции реальная сумма вклада составит
( )
( )
n
S
S n
J n

, где индекс цен согласно равен
2 3
1 2
( )
(1
)
(1
)
J t
h
h
 
 
. Уравнение доходности имеет вид:
( )
(0)(1
)
n
S n
P
r


. Разрешая это уравнение относительно
r
и учитывая требуемое условие для доходности, получим:
2 3
5 5
1 2
1 1
0,08
(1
) (1
)
i
r
h
h


 


Отсюда
i

0,11887. Значит, минимальная процентная ставка размещения вклада составляет 0,11887 против 0,08 без учета инфляции.
5.4. Поток платежей и его доходность
Пусть
{
, }
k
k
R t
– поток платежей, в нем
k
t
– моменты времени,
k
R
–
платежи. Будем говорить, что рассматриваемый поток имеет современную величину
A
при уровне доходности
j
, если
/(1
)
k
t
k
k
R
j
A



.
Если поток есть годовая рента с годовым платежом
R
и длительностью
n
, то рента имеет современную величину
A
при уровне доходности
j
, если
,
n j
R a
A


. Фиксируем
A
,
тогда при увеличении
R
доходность ренты увеличивается. Можно сказать и по- другому: для увеличения доходности ренты надо увеличить годовой платеж.
Все эти соображения особенно хорошо видны на примере вечной ренты, поскольку для нее
/
A
R j

,
или, по-другому: доходность вечной ренты есть
/
j
R A

.
Важно отметить, что определенная таким образом доходность потока платежей не зависит от ставки процента, а зависит только от величины и моментов самих платежей, в силу чего ее называют часто внутренней
доходностью потока платежей.

78
Если в потоке платежей имеются отрицательные величины, то внутренняя доходность определяется как наименьший положительный корень (наименьшая процентная ставка) уравнения
/(1
)
0
k
t
k
k
R
j



Пример 5.3. Вексель учтен по ставке
i
= 10% за 160 дней до его оплаты
(временная годовая база равна 360 дням). При выполнении операции учета с владельца векселя удержаны комиссионные в размере 0,5% от номинала векселя. Найти доходность операции.
Решение. Абсолютная доходность операции без учета комиссионных:
1 1
(1
)
S
N
d
P
N
i m
  

 
,
где
,
S P
— конечная и начальная стоимость векселя;
N
– номинал векселя;
160 / 360
m

. Подставим исходные данные, получим:
d
= 0.046, т.е.
d
= 4.6%.
С учетом комиссионных абсолютная доходность равна:
1 1
(1 0.005)
S
N
d
P
N
i m
  

  
= 5.2%
Средне-годовая доходность равна:
(1 + 0,046)
360/160
– 1 = 0,106, т.е. 10,6% —, без учета комиссионных,
(1 + 0,052)
360/160
– 1 = 0,1208, т.е. 12,08% — с учетом комиссионных.
5.5. Варианты заданий по лабораторной работе №5
1.
Значения капитала в моменты времени 0; 1; 2; 4 есть
0
K
= 100,
1
K
= 200,
2
K
= 300,
4
K
=
400. Найти абсолютную средне-годовую доходность на отдельных промежутках.
Решить аналогичную задачу, взяв данные из таблицы 5.1.
Таблица 5.1
Вариант
0
K
1
K
2
K
4
K
1 100 150 200 400 2
100 200 250 400 3
120 200 300 350 4
120 250 300 450 5
130 150 200 350 6
130 200 250 400 7
140 250 350 500 8
140 300 400 480 9
150 200 400 500 10 150 300 450 500 2.
Ссуда выдана на
n
=2 года с обязательством выплатить на 30% больше
(т.е. под 15 ежегодных простых процентов,
п
i
= 15% ). Найдите эквивалентную

79 ставку сложных годовых процентов.
Решить аналогичную задачу, взяв данные из таблицы 5.2.
Таблица 5.2
Вариант
n
, лет
п
i
, %
1 2
16 2
2 10 3
2 12 4
3 13 5
3 17 6
4 16 7
4 15 8
5 15 9
5 14 10 5
16 3.
На какую годовую ставку процентов нужно заменить номинальную ставку годовых сложных процентов
j
= 12%, если начислять сложные проценты ежеквартально?
Решить аналогичную задачу, взяв данные из таблицы 5.3.
Таблица 5.3
Вариант
j
, %
m
1 9
4 2
10 4
3 11 4
4 12 4
5 13 4
6 14 6
7 10 6
8 11 6
9 12 6
10 13 6
4.
Допустим, инвестиционный проект «циклический». Фабрика работает циклами: один год из
n
= 10 она на капитальном ремонте и обновлении, что требует
K
= $30 000, в остальные девять лет цикла фабрика приносит доход
R
=
$10 000 в год. Найти внутреннюю доходность этого инвестиционного проекта.
Решить аналогичную задачу, взяв данные из таблицы 5.4.
Таблица 5.4.
Вариант
n
, лет
K
,$
R
, $
1 9
70000 20000 2
9 90000 22000 3
9 95000 25000 4
9 60000 18000 5
9 50000 10000

80 6
10 80000 15000 7
10 100000 20000 8
10 140000 20000 9
10 45000 8000 10 11 53000 13000 5. Рассмотрим операцию с иностранной валютой. Пусть за ноябрь 1998 г. курс доллара возрос с
Н
= 16 руб. до
K
= 18 руб. Банк в начале месяца купил доллары за рубли, а в конце месяца продал доллары, получив рубли. Найдите доходность этой операции в процентах годовых. Если инфляция за этот месяц была

= 10%, то какова реальная доходность операции?
Решить аналогичную задачу, взяв данные из таблицы 5.5.
Таблица 5.5.
Вариант
Н
, руб.
K
, руб.

,%
1 10 19 10 2
10 20 10 3
11 18 10 4
11 20 10 5
15 20 10 6
15 25 11 7
17 20 11 8
17 25 11 9
17 30 12 10 18 28 12 6. По срочному годовому рублевому вкладу банк платит
1
i
= 42% годовых.
Прогноз повышения курса доллара за год – с
Н
= 20 руб. до
K
= 30 руб. Какое принять решение: нести рубли в банк или купить на них доллары и хранить их дома?
Решить аналогичную задачу, взяв данные из таблицы 5.6.
Таблица 5.6.
Вариант
1
i
, %
Н
, руб.
K
, руб.
1 40 20 30 2
40 15 20 3
41 17 27 4
41 16 27 5
42 15 28 6
42 19 30 7
43 20 33

81 8
43 20 25 9
44 17 30 10 45 18 28 7.
По срочному годовому рублевому: вкладу банк платит
1
i
= 42% годовых, а по такому же валютному —
2
i
= 8%. Прогноз повышения курса доллара за год — с
H
= 20 руб. до
K
= 26 руб. Какое принять решение: нести рубли в банк иди купить на них доллары и положить их на валютный счет?
Решить аналогичную задачу, взяв данные из таблицы 5.7.
Таблица 5.7.
Вариант
1
i
, %
2
i
, %
H
, руб.
K
, руб.
1 40 8
22 30 2
40 8
15 24 3
41 9
17 27 4
41 9
16 27 5
42 7
20 26 6
42 7
19 25 7
43 8
20 25 8
43 8
23 25 9
44 9
17 29 10 45 9
18 24 8. Обменные курсы валют в банке: по доллару США – 22,8/23,6 руб. за доллар
(т.е.
п
Д
= 22,8,
пр
Д
= 23,6); по итальянской лире – 13,6/15,4 руб. за 1000 лир (т.е.
п
Л
= 13,6,
пр
Л
= 15,4)
. Какова доходность для банка операции по обмену лир на доллары?
Решить аналогичную задачу, взяв данные из таблицы 5.8.
Таблица 5.8.
Вариант
п
Д
, руб. за доллар
пр
Д
, руб. за доллар
п
Л
, руб. за
100 лир
пр
Л
, руб. за
100 лир
1 20,8 23,7 13,7 15,4 2
21,2 24,4 14,2 16,7 3
21,5 24,2 13,3 14,2 4
21,8 25,2 13.6 14.5 5
22,2 24,8 13,8 15,2 6
23,2 26,2 14,2 16,2 7
23,5 25.6 13,2 13,8 8
24,6 26,3 13,1 14,8

82 9
24,7 26.8 13,9 14,7 10 25,2 27 14,5 15,3 9.
При выдаче кредита на
n
=200 дней под
i
= 10 % годовых кредитор удерживает комиссионные в размере
k
=0,5% от суммы кредита. Ставка налога на проценты
j
= 10%. Какова доходность операции для кредитора?
Решить аналогичную задачу, взяв данные из таблицы 5.9.
Таблица 5.9
Вариант
n
, дней
i
, %
k
, %
j
, %
1 150 10 0,5 10 2
150 11 0,6 11 3
200 9
0,6 9
4 200 11 0,4 11 5
200 10 0,4 10 6
200 12 0,6 12 7
250 9
0,4 9
8 250 10 0,5 10 9
250 11 0,6 11 10 300 12 0,4 12 10. Автокредит в сумме
A
= 380 000 рублей с годовой ставкой
i
= 13% и начальным взносом
p
= 20%
взят на
n
= 3 года. Услуги банка за пользование кредитом составляют
g
= 0.2%.
Вычислить размер ежемесячного платежа
(размер срочной уплаты), среднегодовую и внутреннюю доходность операции для банка.
Решить аналогичную задачу, взяв данные из таблицы 5.10.
Таблица 5.10.
Вариант
A
, тыс. руб.
n
, лет
i
, %
p
, %
g
, %
1 400 3
13 25 0,2 2
450 3
13 25 0,2 3
500 3.5 14 30 0,2 4
300 3
14 20 0,2 5
350 3.5 15 20 0,2 6
550 4.5 16 30 0,2 7
600 5
17 30 0,2 8
700 5
17 30 0,2 9
380 3
13 20 0,2 10 400 3
13 30 0,2

83