ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.11.2023
Просмотров: 233
Скачиваний: 8
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
19
В таблице приведены значения объема выпуска для различных значений затрат ресурсов
L
K
50 60 70 80 10 31.518 35.162 38.569 41.786 20 41.589 46.396 50.892 55.138 30 48.912 54.566 59.854 64.846 40 54.877 61.220 67.153 72.754
Найти параметры ПФКД:
L
K
a
Y
Решение
Поиск параметров
,
,
a с помощью пакета Mathcad можно выполнить двумя способами:
1) Путем проведения многомерной регрессии между объемом производства и затратами ресурсов.
Для этого предварительно логарифмируем исходные данные, что эквивалентно переходу от нелинейной ПФ к линейной
)
L
ln(
)
K
ln(
)
a ln(
)
Y
ln(
)
,
,
a
(
Z
Для проведения многомерной регрессии используется функция
)
n
,
Vz
,
Mxy
(
regress
- возвращает вектор искомых параметров регрессии.
Mxy
- матрица
2
m
, содержащая координаты x
и y
Vz
- m
- мерный вектор, содержащий значения функции, соответствующие переменным x
и y
2) Путем минимизации невязки
n
1
i m
1
j
2
j i
ij min
)
y x
c
Z
(
F
, где
)
L
ln(
y
),
K
ln(
x
),
a ln(
c
),
Y
ln(
Z
;
4
n
- число значений аргумента x
;
4
m
- число значений аргумента y
Минимизация невязки эквивалентна решению системы линейных уравнений относительно искомых параметров
,
,
c
: g
p
A
,
Здесь вектор
)
,
,
c
(
p
- искомый вектор параметров ПФ;
n
1
i m
1
j j
ij n
1
i n
1
i m
1
j i
ij m
1
j ij
)
y
Z
,
x
Z
,
Z
(
g
- вектор правой части
m
1
j
2
j n
1
i i
m
1
j j
m
1
j j
n
1
i i
m
1
j j
n
1
i
2
i n
1
i i
m
1
j j
n
1
i i
y n
x y
y n
x y
x m
x m
y n
x m
m n
A
- матрица системы
Рассчитаем параметры первым способом
20
XY
10 10 10 10 20 20 20 20 30 30 30 30 40 40 40 40 50 60 70 80 50 60 70 80 50 60 70 80 50 60 70 80
Y
31.518 35.162 38.569 41.786 41.589 46.396 50.892 55.138 48.912 54.566 59.854 64.846 54.877 61.220 67.153 72.754
Mxy ln XY
(
)
Vz ln Y
( )
Vs regress Mxy Vz
1
(
)
Vs
3 3
1 0.4 0.6 0.182
Vs
4
Vs
5
a exp Vs
6
a
1.2
0.4
0.6
Ответ:
6 0
;
4 0
;
2 1
a
6 0
4 0
L
K
2 1
Y
Проведем расчет параметров ПФ вторым способом.
Ответ:
6 0
,
4 0
,
2 1
a
g
1
v
b
1
y
1
Z
1
b
2
y
2
Z
2
b
3
y
3
Z
3
b
4
y
4
Z
4
g
3
b
ZT
Z
T
d
1
x
1
ZT
1
d
2
x
2
ZT
2
d
3
x
3
ZT
3
d
4
x
4
ZT
4
g
2
d
g
62.667 195.821 260.941
A
16 49.554 66.548 49.554 157.809 206.104 66.548 206.104 277.278
p lsolve A g
(
)
a exp p
1
p
2
p
3
a
1.2
0.4
0.6
Y
31.518 41.589 48.912 54.877 35.162 46.396 54.566 61.220 38.569 50.892 59.854 67.153 41.786 55.138 64.846 72.754
K
10 20 30 40
L
50 60 70 80
Z
ln Y
( )
A
1 1
16
x ln K
( )
y ln L
( )
A
1 2
4
x
A
1 3
4
y
A
2 1
4
x
x1
x
2
A
2 2
4
x1
A
2 3
x
y
A
3 1
4
y
A
3 2
x
y
y1
y
2
A
3 3
4
y1
v
1
Z
1
v
2
Z
2
v
3
Z
3
v
4
Z
4
21
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 14
1.7.
Варианты заданий лабораторной работы №1
Задание 1. Построить графики Пф и их сечений (для двухфакторных ПФ).
Задание 2. Рассчитать характеристики ПФ и построить их графики.
Задание 3. Дать экономическую интерпретацию
Варианты
Однофакторные ПФ b
x a
y
Двухфакторные ПФ
L
K
a
Y
1 3
0
b
;
140
a
;
L
x
6 0
;
4 0
;
1000
a
2 5
3 0
b
;
100
a
;
L
x
4 0
;
45 0
;
1500
a
3 6
0
b
;
200
a
;
K
x
6 0
;
3 0
;
5
a
4 9
0
b
;
250
a
;
K
x
8 0
;
2 0
;
100
a
5 85 0
b
;
150
a
;
K
x
55 0
;
45 0
;
150
a
6 1
0
b
;
90
a
;
L
x
5 0
;
5 0
;
200
a
7 15 0
b
;
35
a
;
L
x
6 0
;
2 0
;
1
a
8 5
0
b
;
1000
a
;
L
x
7 0
;
15 0
;
3
a
9 3
0
b
;
1
a
;
K
x
45 0
;
45 0
;
300
a
10 35 0
b
;
10
a
;
L
x
4 0
;
6 0
;
350
a
11 25 0
b
;
15
a
;
K
x
2 0
;
6 0
;
8
a
12 7
0
b
;
20
a
;
L
x
8 0
;
2 0
;
10
a
4
13 4
0
b
;
30
a
K
x
3 0
;
3 0
;
10
a
3
14 3
0
b
;
1000
a
;
L
x
2 0
;
2 0
;
750
a
15 3
0
b
;
240
a
;
K
x
2 0
;
6 0
;
800
a
Задание 4. По заданным значениям параметров b
,
a рассчитать однофакторную ПФ y
для пяти значений аргумента x
и сформировать два массива: x
и y
. Рассматриваем полученные массивы как входные данные.
Используя эти массивы данных вычислить параметры b
,
a модели b
x a
y
тремя способами: а) методом наименьших квадратов, предварительно линеаризовав ПФ; б) с помощью линейной регрессии; в) с помощью нелинейной регрессии.
Задание 5. По заданным значениям параметров
,
,
a рассчитать двухфакторную ПФ
Y
для пяти значений ресурсов
K
и
L
и сформировать три массива:
K
,
L
и
Y
. Рассматриваем полученные массивы как входные данные.
Используя эти массивы данных вычислить параметры
,
,
a модели
L
K
a
Y
двумя способами: а) методом наименьших квадратов, предварительно линеаризовав ПФ; б) с помощью линейной многомерной регрессии.
22
2.
Лабораторная работа №2. Функция полезности
2.1. Множество благ
Пусть на рынке благ индивидуальному потребителю предлагается
n
различных благ.
Под
набором
благ
будем понимать совокупность неотрицательных чисел
1
,...,
n
x
x
, где
j
x
– количество
j
- го блага
(
0,
1,...,
j
x
j
n
). Такой набор неотрицательных чисел можно рассматривать как
n
- мерный вектор
1
( ,...,
)
n
x
x
x
благ. Всевозможные наборы благ образуют
множество благ
1
( ,...,
);
0,
1,...,
n
n
j
R
x
x
x
x
j
n
,
(2.1) которое геометрически представляет собой неотрицательный ортант
n
- мерного пространства.
Для каждого блага
j
заданы ограничения min max
,
1,...,
j
j
j
x
x
x
j
n
(2.2)
Пусть у потребителя имеется ограниченное количество денежных средств
M
(доход), которые он может использовать для приобретения благ. Введем вектор цен благ
1 2
(
,
,...,
)
n
p
p p
p
(
0,
1,...,
j
p
j
n
).
Тогда стоимость набора благ равна
1
n
T
j
j
j
p x
p x
Стоимость набора благ для потребителя не превосходит его дохода
M
, т.е.
1
n
j
j
j
p x
M
(2.3)
Неравенство (2.3) называют бюджетным ограничением.
Неравенство (2.3) вместе с неравенством (2.2) определяет множество
K
доступных наборов благ на рынке товаров и услуг. В силу наличия бюджетного неравенства (2.3) множество
K
всегда будет ограниченным множеством
n
R
. При этом множество
K
доступных благ может быть одним из трех:
1) пустое множество, т.е. при имеющемся доходе
M
и ценах
1 2
(
,
,...,
)
n
p
p p
p
потребитель не может приобрести на рынке даже минимального набора благ и можно сказать, что в этом случае он живет за чертой бедности;
2) частичное множество, т.е. потребителю доступны не все наборы благ при имеющемся доходе
M
и установившихся ценах
p
на рынке благ;
3) полное множество, т.е. потребитель настолько богат, что ему доступен любой набор благ при его доходе и действующих ценах.
Таким образом, множество
K
доступных благ является выпуклым множеством, определяемым системой неравенств
23 min
1
,
j
j
x
x
j
J
, max
2
,
j
j
x
x
j
J
,
1
n
j
j
j
p x
M
,
(2.4) где
1 2
,
J J
– некоторые подмножества множества
1, 2,...,
J
n
Пример 2.1. Пустьзаданы два блага
1
x
и
2
x
. Известно: спрос min
(1,5)
T
x
, предложение max
(5,10)
T
x
, вектор цен
(10, 20)
T
p
. При каком доходе
M
потребителя доступное множество благ будет: а) пустым; б) полным.
Рис. 2.1а. Результаты решения примера 2.1. Пустое доступное множество благ
(
110
M
д.е.)
24
Рис. 2.1б. Результаты решения примера 2.1. Полное доступное множество благ
(
250
M
д.е.)
2.2. Функция полезности и ее свойства
Рассмотрим вопрос о выборе набора благ. Каждое благо должно удовлетворять ту или иную потребность. Способность удовлетворять ту или иную потребность на- зывают полезностью блага.
Функция
1
( )
( ,...,
)
n
u x
u x
x
, определенная на неотрицательном ортанте
n
R
(или некотором
n
G
R
)
, называется функцией полезности, соответствующей отношению предпочтения
, если
( )
( )
u x
u y
,
тогда и только тогда, когда
x
y
, причем если
( )
( )
u x
u y
,
то
x
y
и обратно, если
x
y
, то
( )
( )
u x
u y
.
Функция полезности
( )
u x
, по существу, представляет систему предпочтений потребителя. Основное ее свойство в том, потребитель предпочитает выбирать
x
, а не
y
, если
( )
( )
u x
u y
, она упорядочивает наборы по предпочтению их друг другу. Отсюда следует, что потребитель при выборе набора благ стремится максимизировать свою функцию полезности.
В таблице 2.1 приведены четыре типа функции полезности.
Рассмотрим некоторые общие свойства функции полезности.
1) Функция полезности и дважды дифференцируема и строго выпукла.
25 2) Функция полезности не насыщена. Свойство ненасыщаемости состоит в том, для любых заданных двух наборов
,
N
x y
R
соотношение
x
y
влечет
( )
( )
u x
u y
, а соотношения
x
y
и
x
y
влекут
( )
( )
u x
u y
.
Значит, функция полезности является возрастающей по любому ее аргументу, т.е.
( )
0,
1, ,
n
j
u x
j
n x
R
x
3)
0
lim
, lim
0,
1,...,
j
j
x
x
j
j
u
u
j
n
x
x
Таблица 2.1
Тип функции полезности
Функция полезности
Ограничения
Логарифмич-
есчкая
1
( )
ln
n
j
j
j
u x
a
x
0,
1,
1,...,
j
j
a
x
j
n
Мультиплика-
тивная
1
( )
j
n
j
j
u x
a
x
0 1,
0,
1,..., ,
0.
j
j
x
j
n a
Аддитивная
1
( )
j
n
j
j
j
u x
x
0 1,
0,
0,
1,..., .
j
j
j
x
j
n
Квадратичная
1 1
1 1
( )
2
n
n
n
j
j
ij
i
j
j
i
j
u x
a x
b x x
1 0,
1,
n
j
ij
i
i
a
b x
j
n
0
B
(отрицательно определена)
Уравнению
( )
u x
c
, где
c
– константа, соответствует определенная по- верхность равноценных (одинаковой полезности) наборов благ (множество безразличия), и наоборот, каждому множеству безразличия соответствует некоторая поверхность, определяемая уравнением
( )
u x
c
. Эти поверхности называют поверхностями безразличия. В случае двух благ, т.е. в
2
R
их называют кривыми безразличия.
Пример 2.2. Построить графики функций полезности, приведенных в таблице 2.1 при
2
n
26
Рис. 2.2а. Функции полезности
2 1
( )
ln
j
j
j
u x
a
x
и
1 2
1 2
( )
u x
a x x
27
Рис. 2.2б. Функции полезности
2 1
( )
j
j
j
j
u x
x
и
2 2
2 1
1 1
1
( )
2
j
j
ij
i
j
j
i
j
u x
a x
b x x
Пример 2.3. Построить кривые безразличия для функции полезности и а)
1 2
1 2
1 2
( ,
)
u x x
x
x
; б)
3 1
2 1
2 3
1 2
3
( ,
,
)
u x x x
x
x
x
Рис. 2.3а. Кривые безразличия для функции полезности
1 2
1 2
1 2
( ,
)
u x x
x
x
28
Рис. 2.3б. Кривые безразличия для функции полезности
3 1
2 1
2 3
1 2
3
( ,
,
)
u x x x
x
x
x
2.3. Предельная полезность и предельная норма замещения благ
В теории потребительского выбора большую роль играют предельные полезности благ, которые выражают дополнительное удовлетворение от потребления одной дополнительной единицы блага. Математически этот факт описывается частными производными функции полезности.
Величина
0
j
j
u
x
показывает изменение полезности на дополнительную единицу
j
- го блага. Переходя к пределу, получим
0
lim
0
j
j
x
j
j
u
u
x
x
. Частная производная
j
u
x
называется предельной полезностью
j
-
го блага.
Рассмотрим вопрос о взаимозаменяемости благ.
Пусть объемы потребляемых благ изменились соответственно на малые величины
1 2
,
,...,
n
x
x
x
. Тогда полным приращением полезности является величина
1 2
1 2
n
n
u
u
u
u
dx
dx
dx
x
x
x
– полный дифференциал функции полезности. Пусть уровень полезности не изменяется, т.е. изменение набора благ происходит так, что сохраняется одна и та же поверхность безразличия
29 1
( ,...,
)
n
u x
x
c
. Предположим, что количество всех благ, кроме
k
- го и
l
- го, которые взаимозаменяемы, не изменяются. Тогда получим
0
k
l
k
l
u
u
dx
dx
x
x
Отсюда имеем
/
/
k
k
l
kl
l
l
k
dx
x
u
x
n
dx
x
u
x
Величина
k
kl
l
x
n
x
называется коэффициентом (нормой) предельной
эквивалентной замены благ, который обратно пропорционален отношению предельных полезностей этих благ, взятому с обратным знаком. Поскольку
0,
1,
l
u
j
n
x
, то
0
kl
n
, т.е. увеличение потребления одного блага вызывает уменьшение другого для сохранения одного и того же уровня полезности.
Изучение изменения нормы предельной заменяемости одних благ другими играет важную роль при изучении закономерностей потребления: если потребность в определенном благе удовлетворяется незначительно, то относительная полезность этого блага по отношению к другим для сохранения одного и того же уровня полезности высока.
Рассмотрим теперь смысл вторых частных производных функции полезности. Вторые частные производные
2
i
j
u
x x
характеризуют изменение предельной полезности
j
u
x
блага
j
при изменении потребления этого же блага.
Пусть
2 0
i
j
u
x x
, т.е. предельная полезность любого блага уменьшается по мере того, как его потребление увеличивается. Это свойство называют законом
Госсена – законом убывания предельной полезности. Таким образом, предпола- гаем, что функция полезности дважды дифференцируема, имеет непрерывные частные производные, а матрица Гессе
H
,
образованная из вторых частных производных, является отрицательно определенной (ее главные миноры нечетного порядка отрицательны, а четного положительны для любого набора
1
( ,...,
)
n
x
x
x
. Это требование относительно функции полезности означает, что функция полезности строго вогнута.
Пример 2.4. Для функций полезности
1 2
1 2
1 1 2 2
( ,
)
,
0, 0 1,
1,2
j
j
u x x
x
x
j
найти: