Файл: А. А. Мицель математическое и имитационное.pdf

30

предельные полезности,

коэффициент предельной эквивалентной замены благ
21
n
,

матрицу Гессе
H
и провести исследование матрицы на отрицательную определённость.
Рис.2.4. Результаты решения примера 2.4
2.4. Оптимальный выбор благ потребителем
2.4.1. Модель задачи оптимального выбора
Математическая модель выбора благ потребителем имеет следующий вид:
1
( )
( ,...,
)
max
n
u x
u x
x


(2.5) при условиях:
1
n
j
j
j
p x
M



,
(2.6) min max
,
1,...,
j
j
j
x
x
x
j
n



(2.7)
Ограничение (2.7) означает, что спрос на
j
- е благо ограничен величиной min
j
x
, предложение – max
j
x
Для
2
n

получаем задачу

31 1
2
( ,
)
max
u x x

(2.8) при ограничениях min max
1 1 2 2
;
,
1,2
j
j
j
p x
p x
M x
x
x
j





(2.9)
На рис. 2.5. дана геометрическая интерпретация модели при ограничениях
1 1 2
2
;
0,
1, 2
j
p x
p x
M x
j




Рис. 2.5. Геометрическая интерпретация модели при
2
n

На рис. 2.5 прямая АВ соответствует бюджетному ограничению, треугольник OAB – области доступных наборов, а точка
*
*
*
1 2
( ,
)
x x x
касания кривой безразличия со стороной АВ треугольника OABопределяет оптимальный набор благ задачи (2.8) –
(2.9).
Задача (2.8) –(2.9) является задачей математического программирования и состоит в максимизации строго вогнутой функции при линейном ограничении. Решение такой задачи существует, и оно единственно. Это оптимальное решение называют точкой
равновесия задачи оптимального выбора благ потребителем.
Решение задачи (2.8) –(2.9) удовлетворяет системе
1
n
j
j
j
p x
M



,
(2.10)
*
,
1,...,
j
j
u
p
j
n
x

 


(2.11)
Отсюда следует, что предельные полезности пропорциональны ценам соответ- ствующих благ.
Геометрически свойство (2.11) означает, в точке оптимума вектор
1
(
,...,
)
n
p
p
p

бюджетной гиперплоскости (прямой AB на рис. 2.2) и вектор- градиент функции полезности


1
( )
,...,
n
u
u
grad u x
x
x




 





коллинеарны, т.е.

32


*
( )
grad u x
p
 
. Из (2.11) следует, что
*
/
0
j
j
u
x
p
 
  
, так как
/
0,
0,
1,
j
j
u
x
p
j
n
  


Полученное оптимальное решение задачи (2.10) – (2.11) зависит от вектора цен
p
и дохода
M
, т.е. в общем случае решение задачи может быть записано в виде
*
*
( ,
),
1,...,
j
j
x
x p M
j
n


и
*
*
( ,
)
p M
  
как функций переменных
1
,...,
n
p
p
и
M
.
Из приведенных результатов вытекают следующие следствия, имеющие место при оптимальном выборе благ потребителем.
1.
Предельные полезности благ пропорциональны их ценам:
*
*
( )
,
1,...,
j
j
u x
p
j
n
x

 


.
2.
. Отношение предельных полезностей двух благ равно отношению их цен:
*
*
(
) /
;
,
1, ,
(
) /
j
j
k
k
u x
x
p
j k
n j
k
u x
x
p







3.
Предельная полезность, приходящаяся на денежную единицу, одинакова для всех приобретаемых благ:
*
*
( ) /
( ) /
;
,
1, ,
j
k
j
k
u x
x
u x
x
j k
n j
k
p
p







4. Равные предельные полезности, приходящиеся на денежную единицу, равны множителю
*

- предельной полезности денежной единицы, которую потребитель расходует для приобретения благ:
*
*
( ) /
,
1,...,
j
j
u x
x
j
n
p


 

5.
Норма замещения:
;
,
1,..., ,
j
k
kj
j
k
p
x
n
j k
n k
j
x
p


 



6.
В оптимальной точке имеем равенство:
*
*
( )
u x
M

 

(2.12)
Таким образом, величина
*

множителя Лагранжа означает дополнительную полезность, приходящуюся на дополнительную единицу дохода, т.е. предельную полезность денежной единицы дохода потребителя.

33

34
Рис.2.6б. Результаты решения примера 2.5 (задание (б)).
2.4.2. Взаимная задача к задаче оптимального выбора благ потребителем
Зафиксируем значение функции полезности на уровне
0
u
и рассмотрим те блага
x
,
для которых
0
( )
u x
u

, т.е. те блага, которые дают потребителю один и тот же уровень удовлетворения
0
u
Очевидно, что при заданном векторе цен на блага
1
(
,...,
)
n
p
p
p

стоимости
1
n
j
j
j
M
p x



таких благ различны. Поставим
взаимную задачу: какой набор благ, обеспечивающий данный уровень удовлетворения потребностей, самый дешевый. Математически такая взаимная задача формулируется так: найти минимум функции
1
n
j
j
j
M
p x



(2.14) при условии
1 0
( ,...,
)
;
0,
1,
n
j
u x
x
u
x
j
n



(2.15)
Геометрически для
2
n

задачу (2.14) – (2.15) можно сформулировать следующим образом: для данной кривой безразличия с уравнением
1 2
0
( ,
)
u x x
u

среди параллельных бюджетных линий найти ту, которая ее касается. Точка касания и будет оптимальным решением (рис. 2.7).

35
Рис. 2.7 Геометрическая интерпретация модели (2.14) – (2.15)
Решение задачи (2.14) – (2.15) удовлетворяет следующей системе уравнений
1 0
1
,
1,..., ;
( ,...,
)
j
n
j
u
p
j
n
u x
x
u
x






(2.16)
Решение системы (2.16) определяет оптимальный набор благ
*
*
*
1
( ,...,
)
n
x
x
x

, где
*
*
0
( ,
)
j
j
x
x p u

,
(2.17) и множитель
*

. Минимальные затраты
*
*
1
n
j
j
j
M
p x



будут зависеть от величины
0
u
и вектора цен
p
. Меняя уровень потребления
0
u
, получим
*
0
( )
M
C u

, которая называется функцией затрат потребителя.
В оптимальной точке
*
dM
du
 
, т.е. множитель Лагранжа
*

показывает, какие дополнительные затраты необходимо сделать, чтобы уровень удовлетворения (полезность) увеличить на единицу.
Выше было показано (см. (2.13))), что
*
*
(
)
u x
M

 

, т.е. множитель
*

показывает, какую дополнительную полезность мы получим на дополнительную единицу расходуемого дохода. Значит, по смыслу множители
*

и
*

взаимообратны. Установим, как связаны оптимальные решения взаимной задачи и задачи оптимального выбора благ потребителем. Пусть
0
u
равно максимальному значению функции полезности
*
u
,
полученному при решении задачи оптимального выбора благ потребителем. В этом случае что
*
*
1
 

, а

36 также
*
M
M

, где
M
– заданный доход потребителя в задаче оптимального выбора благ потребителем (рис. 2.8).
Рис. 2.8 Геометрическая интерпретация модели (2.14) – (2.15)
Пример 2.6. Для мультипликативной функции полезности потребителя
1 2
1 2
1 2
(
)
; 0 1,
1, 2;
0
i
u x x
ax x
i
a



  


найти решение: а) задачи оптимального выбора благ потребителя и взаимной задачи.
Рис. 2.9. Результаты решения примера 2.6.
2.5. Варианты заданий лабораторной работы №2

37
Задание 1. Построить графики ФП и кривые безразличия (для
2
n

).
Задание 2. Рассчитать предельные полезности ФП и построить их графики.
Задание 3. Рассчитать коэффициент предельной эквивалентной замены благ
12
n
, матрицу Гессе
H
и провести исследование матрицы на отрицательную определённость
Задание 4. При заданном спросе min
x
и заданном предложении max
x
, ценах на блага
p
рассчитать доход
M
потребителя, при котором доступное множество благ будет: а) пустым; б) полным.
Задание 5. При заданном спросе min
x
и заданном предложении max
x
, ценах на блага
p
и доходе потребителя
M
Найти: а) оптимальный набор благ и множитель Лагранжа
*

; б) решение взаимной задачи
Варианты заданий
Тип функции полезности
Функция полезности
Варианты
Логарифмич-
есчкая
2 1
( )
ln
j
j
j
u x
a
x



1. min max
(10, 10);
(3,8);
(8,15);
(10,15);
200.
a
x
x
p
M





2. min max
(5, 5);
(5,10);
(8,15);
(12,15);
200.
a
x
x
p
M





3. min max
(5, 10);
(5,10);
(8, 20);
(15,15);
300.
a
x
x
p
M





4. min max
(5, 12);
(5,12);
(8, 20);
(15,10);
250.
a
x
x
p
M





Мультиплика-
тивная
2 1
( )
j
j
j
u x
a
x




5. min max
10;
(0.3, 0.5);
(3,8);
(8,15);
(10,15);
200.
a
x
x
p
M

 





38 6. min max
15;
(0.5, 0.8);
(5,10);
(8,15);
(10,15);
200.
a
x
x
p
M

 




7. min max
20;
(0.5, 0.8);
(5,15);
(8,15);
(10,15);
250.
a
x
x
p
M

 




8. min max
10;
(0.5, 0.8);
(5,15);
(8,15);
(10,15);
300.
a
x
x
p
M

 




Аддитивная
2 1
( )
j
j
j
j
u x
x





9. min max
(10, 10);
(0.5, 0.8);
(5,15);
(8,15);
(10,15);
300.
x
x
p
M
 
 




10. min max
(10, 15);
(0.3, 0.8);
(5,15);
(8,15);
(10,15);
300.
x
x
p
M
 
 




11. min max
(15, 15);
(0.4, 0.8);
(5,15);
(8,15);
(10,15);
350.
x
x
p
M
 
 




12. min max
(10, 12);
(0.3, 0.8);
(5, 20);
(8,15);
(10,15);
350.
x
x
p
M
 
 




Квадратичная
2 1
2 2
1 1
( )
1 2
j
j
j
ij
i
j
i
j
u x
a x
b x x








13. min max
2 1
(10, 12);
;
1 2
(5, 20);
(8,15);
(10,15);
350.
a
b
x
x
p
M




 









39 14. min max
2 3
(10, 15);
;
3 6
(5, 20);
(8,15);
(10,10);
350.
a
b
x
x
p
M




 








15. min max
3 3
(15, 15);
;
3 6
(5, 20);
(10,15);
(10,15);
350.
a
b
x
x
p
M




 








16. min max
3 3
(10, 10);
;
3 6
(5, 20);
(10,15);
(10,15);
250.
a
b
x
x
p
M




 









40
3
.
Лабораторная работа №3. Балансовые модели
Балансовые модели, как статистические, так и динамические, широко применяются при экономико-математическом моделировании экономических систем и процессов. В основе создания этих моделей лежит балансовый метод, т.е. метод взаимного сопоставления имеющихся материальных, трудовых и финансовых ресурсов и потребностей в них. Если описывать экономическую систему в целом, то под балансовой моделью понимается система уравнений, каждое из которых выражает требование баланса между производимым отдельными экономическими объектами количеством продукции и совокупной потребностью в этой продукции.
Принципиальная схема межотраслевого баланса производства и распределения совокупного общественного продукта в стоимостном выражении приведена в табл. 3.1. В основу этой схемы положено разделение совокупного продукта на две части: промежуточный и конечный продукт; все народное хозяйство представлено в виде совокупности n
отраслей (имеются в виду чистые отрасли), при этом каждая отрасль фигурирует в балансе как производящая и как потребляющая.
Таблица 3.1
Производящие отрасли
Потребляющие отрасли
Конечный продукт
Валовый продукт
1 2
3 n
n
3 2
1 1
n
31 21 11
x x
x x
2
n
32 22 12
x x
x x
3
n
33 23 13
x x
x x
I
nn n
3
n
2
n
1
x x
x x
n
3 2
1
Y
II
Y
Y
Y
n
3 2
1
X
X
X
X
доход
Чистый ттруд
Оплата я
Амортизаци
1 1
1
m v
c
2 2
2
m v
c
3 3
3
m v
c
III
n n
n m
v c
IV
Валовой продукт
1
X
2
X
3
X
n
X





n
1
j j
n
1
i i
X
X
Рассмотрим схему МОБ в разрезе его крупных составных частей.
Выделяются четыре части, имеющие различное экономическое содержание, они называются квадрантами баланса и на схеме обозначены римскими цифрами.
П е р в ы й к в а д р а н т МОБ — это шахматная таблица межотраслевых материальных связей. Показатели, помещенные на пересечениях строк и столбцов, представляют собой величины межотраслевых потоков продукции и

41 в общем виде обозначаются ij x
,
где i
и j
— соответственно номера отраслей производящих и потребляющих. Так, величина
32
x понимается как стоимость средств производства, произведенных в отрасли с номером 3 и потребленных в качестве материальных затрат в отрасли с номером 2.
Таким образом, первый квадрант по форме представляет собой квадратную матрицу порядка n
,
сумма всех элементов которой равняется годовому фонду возмещения затрат средств производства в материальной сфере.
Во в т о р о м к в а д р а н т е представлена конечная продукция всех отраслей материального производства, при этом под конечной понимается продукция, выходящая из сферы производства в область конечного использования (на потребление и накопление). В табл. 1 этот раздел дан укрупненно в виде одного столбца величин i
Y
; в развернутой схеме баланса конечный продукт каждой отрасли показан дифференцированно по направлениям использования на личное потребление населения, общественное потребление, на накопление, возмещение потерь, экспорт и др. Итак, второй квадрант характеризует отраслевую материальную структуру национального дохода, а в развернутом виде — также распределение национального дохода на фонд накопления и фонд потребления, структуру потребления и накопление по отраслям производства и потребителям.
Т р е т и й к в а д р а н т МОБ также характеризует национальный доход, но со стороны его стоимостного состава как сумму чистой продукции и амортизации; чистая продукция понимается при этом как сумма оплаты труда и чистого дохода отраслей. Сумму амортизации (
j с
) и чистой продукции
(
j j
m v

)
некоторой j
- й отрасли будем называть условно чистой продукцией этой отрасли и обозначать в дальнейшем j
Z
.
Ч е т в е р т ы й к в а д р а н т баланса находится на пересечении столбцов второго квадранта (конечной продукции) и строк третьего квадранта (условно чистой продукции). Этим определяется содержание квадранта: он отражает конечное распределение и использование национального дохода. В результате перераспределения первоначально созданного национального дохода образуются конечные доходы населения, предприятий, государства.
Данные четвертого квадранта важны для отражения в межотраслевой модели баланса доходов и расходов населения, источников финансирования капиталовложений, текущих затрат непроизводственной сферы, для анализа общей структуры конечных доходов по группам потребителей. Более детально составляющие элементы этого квадранта здесь не рассматриваются, однако очень важным является тот факт, что общий итог четвертого квадранта, так же как второго и третьего, должен быть равен созданному за год национальному доходу.
Запишем два важных соотношения. 1) Рассматривая схему баланса по столбцам, можно сделать очевидный вывод, что итог материальных затрат любой потребляющей отрасли и ее условно чистой продукции равен валовой продукции этой отрасли. Данный вывод можно записать в виде соотношения: n
,...,
1
j
;
Z
x
X
j n
1
i ij j





(3.1)