Файл: А. А. Мицель математическое и имитационное.pdf

42
Напомним, что величина условно чистой продукции j
Z
равна сумме амортизации, оплаты труда и чистого дохода j
- и отрасли. Соотношение (3.1) охватывает систему из n
уравнений, отражающих стоимостный состав продукции всех отраслей материальной сферы.
2) Рассматривая схему МОБ по строкам для каждой производящей отрасли, можно видеть, что валовая продукция той или иной отрасли равна сумме материальных затрат потребляющих ее продукцию отраслей и конечной продукции данной отрасли: n
,...,
1
i
;
Y
x
X
i n
1
j ij i





(3.2)
Формула (3.2) описывает систему из n
уравнений, которые называются уравнениями распределения продукции отраслей материального производства по направлениям использования.
Просуммируем по всем отраслям уравнения (1), в результате получим










n
1
j j
n
1
j n
1
i ij n
1
j j
Z
x
X
Аналогичное суммирование уравнений (2) дает:










n
1
j i
n j
1
i n
1
ij n
1
i i
Y
x
X
Левые части обоих равенств равны, так как представляют собой весь валовой общественный продукт. Первые слагаемые правых частей этих равенств также равны, их величина равна итогу первого квадранта.
Следовательно, должно соблюдаться соотношение





n
1
i i
n
1
j j
Y
Z
(3.3)
Левая часть уравнения (3.3) есть сумма третьего квадранта, а правая часть
— итог второго квадранта. В целом же это уравнение показывает, что в межотраслевом балансе соблюдается важнейший принцип единства материального и стоимостного состава национального дохода.
3.1. Коэффициенты прямых и полных материальных заират
Основу информационного обеспечения модели межотраслевого баланса составляет технологическая матрица, содержащая коэффициенты прямых материальных затрат на производство единицы продукции. Эта матрица является также основой экономико-математической модели межотраслевого баланса. Предполагается, что для производства единицы продукции в j
- й отрасли требуется определенное количество затрат промежуточной продукции i
- й отрасли, равное ij a
.
Оно не зависит от объема производства в отрасли и является стабильной величиной во времени. Величины ij a
называются коэффициентами прямых материальных затрат и рассчитываются следующим образом:

43 n
,
1
j
,
i
;
X
x a
j ij ij


(3.4)
С учетом формулы (4) систему уравнений баланса (3.2) можно переписать в виде n
,...,
1
i
;
Y
X
a
X
i n
1
j j
ij i





(3.5)
Если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов прямых материальных затрат
)
a
(
A
ij

, вектор-столбец валовой продукции
X
и вектор-столбец конечной продукции
Y
:













n
2 1
X
X
X
X
,













n
2 1
Y
Y
Y
Y
то система уравнений (3.5) в матричной форме примет вид
Y
AX
X


(3.6)
Система уравнений (3.5), или в матричной форме (6), называется
экономико-математической моделью межотраслевого баланса (моделью
Леонтьева, моделью «затраты— выпуск»). С помощью этой модели можно выполнять три варианта расчетов:
• Задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли (
i
X
), можно определить объемы конечной продукции каждой отрасли (
i
Y
):
X
)
A
E
(
Y


(3.7)
• Задав величины конечной продукции всех отраслей (
i
Y
), можно определить величины валовой продукции каждой отрасли (
i
X
):
Y
)
A
E
(
X
1



(3.8)
• Для ряда отраслей задав величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей задав объемы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых.Если определитель матрицы
)
A
E
(

не равен нулю, т.е. эта матрица невырожденная, то обратная к ней матрица существует.
Обозначим эту обратную матрицу через
B
, тогда систему уравнений в матричной форме (8) можно записать в виде
BY
X

.
(3.8а)
Элементы матрицы
B
будем обозначать через ij b
, тогда из матричного уравнения (3.8) для любой i
- йотрасли можно получить следующее соотношение:

44




n
1
j j
ij i
n
,...,
1
i
,
Y
b
X
(3.9)
Из соотношений (3.9) следует, что валовая продукция выступает как взвешенная сумма величин конечной продукции, причем весами являются коэффициенты ij b
, которые показывают, сколько всего нужно произвести продукции i
- йотрасли для выпуска в сферу конечного использования единицы продукции j
- и отрасли. В отличие от коэффициентов прямых затрат ij a
коэффициенты ij b
называются коэффициентами полных
материальных затрат и включают в себя как прямые, так и косвенные затраты всех порядков. Если прямые затраты отражают количество средств производства, израсходованных непосредственно при изготовлении данного продукта, то косвенные относятся к предшествующим стадиям производства и входят в производство продукта не прямо, а через другие (промежуточные) средства производства.
Коэффициенты полных материальных затрат можно применять, когда необходимо определить, как скажется на валовом выпуске некоторой отрасли предполагаемое изменение объемов конечной продукции всех отраслей:






n
1
j j
ij i
n
,...,
1
i
,
Y
b
X
(3.10) где i
X

и j
Y

— изменения (приросты) величин валовой и конечной продукции соответственно.

45 2) наибольшее по модулю собственное значение

матрицы
A
,
то есть решение характеристического уравнения
0
)
A
E
(



, строго меньше единицы;
3) все главные миноры матрицы
)
A
E
(

, т.е. определители матриц, образованные элементами первых строк и первых столбцов этой матрицы, порядка от 1 до n
, положительны.
Перейдем к анализу матрицы коэффициентов полных материальных затрат, т.е. матрицы
1
)
A
E
(
B



. Коэффициенты этой матрицы показывает, сколько всего нужно произвести продукции i
- й отрасли, чтобы получить единицу конечной продукции j
- й отрасли.
Как уже указывалось выше, коэффициент полных материальных затрат включает прямые затраты и косвенные затраты. В отличие от коэффициентов прямых затрат, коэффициенты полных материальных затрат отражают не отраслевые, а народнохозяйственные затраты по производству единицы продукции.
Ïðèìåð 3.1. Äëÿ òðåõîòðàñëåâîé ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû çàäàíû ìàòðèöà
êîýôôèöèåíòîâ ïðÿìûõ ìàòåðèàëüíûõ çàòðàò è âåêòîð êîíå÷íîé ïðîäóêöèè
A
0.3 0.2 0.3 0.1 0.5 0.1 0.4 0.0 0.2









Y
200 100 300









1. Âû÷èñëèì ìàòðèöó ïîëíûõ ìàòåðèàëüíûõ çàòðàò B
E
identity 3
( )

E
1 0
0 0
1 0
0 0
1









W
E
A


W
0.7 0.2

0.3

0.1

0.5 0.1

0.4

0 0.8









B
W
1


B
2.041 0.816 0.867 0.612 2.245 0.51 1.02 0.408 1.684









2. Âû÷èñëèì âåêòîð âàëîâîé ïðîäóêöèè Õ
X
B Y


X
775.51 510.204 729.592









3. Âû÷èñëèì ìàòðèöó ìåæîòðàñëåâûõ ïîòîêîâ ïðîäóêöèè õ
x
1
 
X
1
A
1
 


x
2
 
X
2
A
2
 


x
3
 
X
3
A
3
 


x
232.653 155.102 232.653 51.02 255.102 51.02 291.837 0
145.918









4. Âû÷èñëèì óñëîâíî ÷èñòóþ ïðîäóêöèþ Z
Z
1
X
1
x
1
 



Z
2
X
2
x
2
 



Z
3
X
3
x
3
 



Z
155.102 153.061 291.837










46
Для определения элементов первого квадранта материального межотраслевого баланса мы воспользовались формулой, вытекающей из формулы (4): j
ij ij
X
a x

. Из этой формулы следует, что для получения первого столбца первого квадранта нужно элементы первого столбца заданной матрицы
A
умножить на величину
3 775
X
1

; элементы второго столбца матрицы
A
умножить на
1 510
X
2

; элементы третьего столбца матрицы
A
умножить на
6 729
X
3

Составляющие третьего квадранта (условно чистая продукция) находятся с учетом формулы (1) как разность между объемами валовой продукции и суммами элементов соответствующих столбцов найденного первого квадранта.
Четвертый квадрант в нашем примере состоит из одного показателя и служит, в частности, для контроля правильности расчета: сумма элементов второго квадранта должна в стоимостном материальном балансе совпадать с суммой элементов третьего квадранта. Результаты расчета представлены в табл. 3.2.
Таблица 3.2. Межотраслевой баланс производства и распределения продукции
Производящие отрасли
Потребляющие отрасли
1 2
3
Конечная
продукция
Валовая
продукция
1 2
3 232,6 155,1 232,6 51,0 255,0 51,0 291,8 0,0 145,9 200,0 100,0 300,0 775,3 510,1 729,6
Условно чистая продукция
155,0 153,1 291,9 600,0
Валовая продукция
775,3 510,1 729,6 2015,0
3.3 Модель затрат труда
Исходной моделью служит отчетный межпродуктовый баланс в
натуральном выражении. В этом балансе по строкам представлено распределение каждого отдельного продукта на производство других продуктов и конечное потребление (первый и второй квадранты схемы межотраслевого баланса). Отдельной строкой дается распределение затрат живого труда в производстве всех видов продукции; предполагается, что трудовые затраты выражены в единицах труда одинаковой степени сложности.
Обозначим затраты живого труда в производстве j
- то продукта через j
L
,
а объем производства этого продукта (валовой выпуск), как и раньше, через j
X
;.
Тогда прямые затраты труда на единицу j
- го вида продукции
(коэффициент прямой
трудоемкости)
можно задать следующей формулой:

47 n
,
1
j
;
X
L
t j
j j


(3.12)
Введем понятие полных затрат труда как суммы прямых затрат живого труда и затрат овеществленного труда, перенесенных на продукт через израсходованные средства производства. Если обозначить величину полных затрат труда на единицу продукции j
- го вида через j
T
, то произведения вида i
ij
T
a отражают затраты овеществленного труда, перенесенного на единицу j
- го продукта через i
- е средство производства; при этом предполагается, что коэффициенты прямых материальных затрат ij a
выражены в натуральных единицах. Тогда полные трудовые затраты на единицу j
- го вида продукции
(коэффициент полной трудоемкости) будут равны n
,
1
j
;
t
T
a
T
j n
1
i i
ij j





(3.13)
Систему уравнений (3.13) можно переписать в матричном виде: t
TA
T


.
(3.14)
Из (3.14) получим следующее соотношение для вектора коэффициентов полной трудоемкости:
1
)
A
E
(
t
T



или tB
T

(3.15)
Обозначим через
L
величину совокупных затрат живого труда по всем видам продукции, которая с учетом формулы (3.12) будет равна







n
1
j j
j n
1
j j
tX
X
t
L
L
(3.16)
Используя соотношения
BY
X

из (4) и (5), приходим к следующему равенству:
TY
tX

,
(3.17) здесь t
и
T
— вектор-строки коэффициентов прямой и полной трудоемкости, а
X
и
Y
— вектор-столбцы валовой и конечной продукции соответственно.
Для составления межотраслевого баланса затрат труда необходимо вычислить в соответствии с формулой








n
1
j i
i i
ij i
i i
t
Y
t x
X
t
L
продуктово – трудовую матрицу xt и затраты труда на конечную продукцию по формулам i
ij ij t
x xt


, i
i i
t
Y
Yt


(3.18)
Соотношение (3.17) представляет собой основное балансовое равенство в теории межотраслевого баланса труда. В данном случае его конкретное экономическое содержание заключается в том, что стоимость конечной

48 продукции, оцененной по полным затратам труда, равна совокупным затратам живого труда. Сопоставляя потребительский эффект различных взаимозаменяемых продуктов с полными трудовыми затратами на их выпуск, можно судить о сравнительной эффективности их производства. С помощью показателей полной трудоемкости более полно и точно, чем при использо- вании существующих стоимостных показателей, выявляется структура затрат на выпуск различных видов продукции и прежде всего соотношение между затратами живого и овеществленного труда.
На основе коэффициентов прямой и полной трудоемкости могут быть разработаны межотраслевые и межпродуктовые балансы затрат труда и использования трудовых ресурсов. Схематически эти балансы строятся по общему типу матричных моделей, однако все показатели в них
(межотраслевые связи, конечный продукт, условно чистая продукция и др.) выражены в трудовых измерителях.
Пример 3.2. Пусть в дополнение к исходным данным примера 1 заданы затраты живого труда (трудовые ресурсы) в трех отраслях:
L
1160 460 875
(
)

в некоторых единицах измерения трудовых затрат.
Требуется определить коэффициенты прямой и полной трудоемкости и составить межотраслевой баланс затрат труда.
Решение. Приведем вычисленные в примере 1 вектор валовой продукции Х,
матрицу межотраслевых потоков х и матрицу полных материальных затрат В
X
775.51 510.204 729.592









x
232.653 155.102 232.653 51.02 255.102 51.02 291.837 0
145.918









B
2.041 0.816 0.867 0.612 2.245 0.51 1.02 0.408 1.684









Y
200 100 300









1. Воспользовавшись формулой (1) , находим коэффициенты прямой и полной трудоемкости:
t
L
T
X









t
1.496 0.902 1.199









T
t
T
B


T
4.828 3.551 3.913
(
)

3. Умножая первую, вторую и третью строки первого и второго квадрантов межотраслевого материального баланса, построенного в примере 1, на соответствующие коэффициенты прямой трудоемкости, получаем схему межотраслевого баланса труда (в трудовых измерителях) (табл. 2).
x1
x
T

x2 1
 
t
1
x1 1
 


x2 2
 
t
2
x1 2
 


x2 3
 
t
3
x1 3
 


xt x2
T

xt
348 139.84 279.021 76.315 230 61.188 436.527 0
175









Yt
1
Y
1
t
1


Yt
2
Y
2
t
2


Yt
3
Y
3
t
3


Yt
299.158 90.16 359.79










49
В таблице 3.2 приведен межотраслевой баланс затрат труда
Таблица 3.2. Межотраслевой баланс затрат труда
Производя щие отрасли
Потребляющие отрасли
Межотраслевые затраты овеществленного труда
Затраты труда на конечную продукцию
Затраты труда в отраслях
(трудовые ресурсы)
1 2
3 1
2 3
348,0 139,8 279,0 76,3 230,0 61,2 436,5 0,0 175,0 299,1 90,1 359,8 1159.9 459,9 875,0
Незначительные расхождения между данными таблицы и исходными данными вызваны погрешностями округления при вычислениях.
3.4. Модель фондоемкости продукции
В простейшем случае модель межпродуктового баланса дополняется отдельной строкой, в которой указаны в стоимостном выражении объемы производственных фондов j

, занятые в каждой j
- й отрасли. На основании этих данных и объемов валовой продукции всех отраслей определяются
коэффициенты прямой фондоемкости продукции j
- й отрасли: n
,...,
1
j
;
X
f j
j j



(3.19)
Коэффициент прямой фондоемкости показывает величину производственных фондов, непосредственно занятых в производстве данной отрасли, в расчете на единицу ее валовой продукции. В отличие от этого показателя коэффициент полной фондоемкости j
F
отражает объем фондов, необходимых во всех отраслях для выпуска единицы конечной продукции j
- й отрасли. Если ij a
— коэффициент прямых материальных затрат, то для коэффициента полной фондоемкости справедливо равенство n
,
1
j
;
f
F
a
F
j n
1
i i
ij j





(3.20)
Если ввести в рассмотрение вектор-строку коэффициентов прямой фондоемкости
)
f
...,
,
f
,
f
(
f n
2 1

и вектор-строку коэффициентов полной фондоемкости
)
F
...,
,
F
,
F
(
F
n
2 1

,
то систему уравнений (2) можно переписать в матричной форме: f
FA
F


,
(321) откуда с помощью преобразований, аналогичных применяемым выше для коэффициентов трудоемкости, можно получить матричное соотношение fB
F

,
(3.22)