Файл: Геометрические вероятности. Имитационное компьютерное моделирование вероятностных опытов.docx
Добавлен: 30.11.2023
Просмотров: 54
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
ОТЧЕТ
По лабораторной работе по математике (ЛРМ 1, Вариант 1)
Ф.И.О.: Ярмухаметова Э.В.______________, гр. _2231з_______ Дата: 21.03.2023
Тема:
«Геометрические вероятности. Имитационное компьютерное моделирование вероятностных опытов».
Цель.
Овладеть практическими навыками и закрепить теоретический материал по вычислению вероятностей по геометрическому способу.
Решить задачу: «На окружности случайным образом поставлены три точки A, B, C. Вариант I. Какова вероятность того, что ΔABC остроугольный?»
Теория.
Предполагается, что вероятность попадания «случайно брошенной» точки в произвольное подмножество F пропорционально мере этого подмножества и не зависит ни от его расположения, ни от его формы. Геометрическая вероятность сохраняет свойства вероятности событий, введенных для классического определения вероятностей, но расширяет возможности определения вероятности, когда имеется бесконечное число равнозначных исходов.
Определение. Геометрической вероятностью P(F) события F называется отношение меры μ (по Лебегу) множества F, благоприятствующего событию F, к мере вероятностного пространства Ω всех возможных равновероятных исходов:
P(F) =
.Понятие мера множества систематически изучается в курсе «Теория функций действительного переменного» [4]. Укажем кратко наиболее употребимые меры:
| Вероятностное пространство Ω | Мера пространства μ(Ω) (по Лебегу) |
| На прямой | Длина l промежутка |
| На плоскости | Площадь S области |
| В пространстве | Объем V тела |
Таким образом, для решения задачи мы должны ввести вероятностное пространство
, знать его меру Лебега 
, указать множество F, благоприятствующее событию F, вычислить его меру
и, соответственно, вычислить вероятность P(F).Ход работы:
По условию событие F – «Получился остроугольный треугольник».
Необходимо выполнить несколько шагов:
1° Так как достаточно поставить на окружности 2 случайные точки, зафиксировав третью, то размерность вероятностного пространства Ω равна 2. Введем 2 непрерывных случайных величины:
– круговая координата первой точки, 
– круговая координата второй точки.2° Определяем диапазон изменения
и и соответствующую меру μ(Ω) пространства Ω всех возможных равновероятных исходов. Можно принять (в градусах): 0 ≤ ≤ 360 и 0 ≤ ≤ 360. Пространство Ω есть квадрат 360×360 град2 на плоскости Oxy; его мера (площадь) равна μ(Ω) = 3602. 3° Определим благоприятствующий диапазон изменения
и и соответствующую меру μ(F) множества F исходов, благоприятствующих событию F путем решения неравенств на плоскости Oxy в пределах Ω. Для этого необходимо вычислить углы получившегося треугольника.
Тогда
Условие остроугольности треугольника АВС:
Учтем еще условие
что соответствует верхней левой половине квадрата.
В квадрате
это соответствует заштрихованной области:
По площади заштрихованная область составляет 1/8 часть всего квадрата. Значит, искомая вероятность равна
.Проведем имитационное компьютерное моделирование вероятностных опытов.
Для этого потребуется следующее.
1°. С помощью генератора случайных чисел генерируем два случайных числа 0 ≤ x ≤ 360 и 0 ≤ y ≤ 360 (градусы). Это можно сделать с помощью функции rnd()*360 языка VBA (встроен в MS Excel).
2°. Напишем программу, которая на основе этих чисел вычисляет углы получившегося треугольника и проверяет условия остроугольности. В случае успеха счетчик успехов
увеличиваем на единицу.Программу на языке Visual Basic for Applications (разновидность VB, встроенная в MS Excel), осуществляющей моделирование, приведем ниже.
Sub Лаб_1()
' Лаб_1 Макрос
Dim i, n, k As Long
Dim ii As Integer
Dim x, r, fi1, fi2 As Double
r = 360
' Ввод числа экспериментов
n = Cells(2, "A")
Randomize
k = 0
For i = 1 To n
' Генерация двух дуг на окружности
fi1 = Rnd() * r
fi2 = Rnd() * r
x = fi2
If fi2 < fi1 Then
fi2 = fi1
fi1 = x
End If
' Вычисление углов
a = (fi2 - fi1) / 2
c = fi1 / 2
b = (r - fi2) / 2
' Проверка условий остроугольности
If a < 90 And b < 90 And c < 90 Then k = k + 1
Next i
ii = 2
Do While Cells(ii, "C") <> ""
ii = ii + 1
Loop
' Вывод результатов эксперимента
Cells(ii, "C") = n
Cells(ii, "D") = k
Cells(ii, "E") = k / n
End Sub
3°. Находим относительную частоту события F – «Треугольник остроугольный» по формуле w(F) =
. Меняя число n имитационных опытов, будем получать соответствующие частоты событий 
и соответствующие относительные частоты w = .5°. Результаты каждого имитационного опыта заносим в итоговую отчетную таблицу и строим ломаную линию относительных частот в сопоставлении с теоретической вероятностью события F.
Результаты и обсуждение.
Результаты имитационного моделирования задачи о гипотезе «Треугольник - остроугольный» для треугольника, вписанного в окружность, приведем в следующей таблице:
| n | lg(n) | k | p |
| 50 | 1,699 | 11 | 0,22 |
| 500 | 2,699 | 144 | 0,288 |
| 5000 | 3,699 | 1237 | 0,2474 |
| 50000 | 4,699 | 12462 | 0,24924 |
| 500000 | 5,699 | 124931 | 0,249862 |
| 5000000 | 6,699 | 1249397 | 0,2498794 |
| 50000000 | 7,699 | 12499977 | 0,250000 |
Выводы.
Для заданного случайного события вычислена теоретическая вероятность, используя геометрическое определение вероятности на плоскости. Написана программа имитационного моделирования, которая при большом числе испытаний (формально при n → ∞) подтвердила, что относительные частоты стремятся к теоретической вероятности события F, равной 0,25.
Список цитированной литературы.
[1] Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие для вузов. – М.: Высшая школа [издания разные лет].
[2] Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. М.: Наука, 1974. – 124 с. URL: https://b-ok.cc/dl/2339066/a9821b
[3] Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике. М.: Айрис-Пресс, 2004. – 256 с.
[4] Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 2004. – 572 с. URL: https://studizba.com/files/show/pdf/40466-3-a-n-kolmogorov-s-v-fomin--elementy.html
ОТЧЕТ
По лабораторной работе по математике (ЛРМ 2)
Ф.И.О.: Ярмухаметова Э.В., гр. МАТ-2231z Дата: 21.03.2023
Тема:
«Геометрические вероятности. Имитационное компьютерное моделирование вероятностных опытов».
Цель.
Овладеть практическими навыками и закрепить теоретический материал по вычислению вероятностей по геометрическому способу.
Решить задачу: «От трех палочек одинаковой длины случайным образом отломили по одному кусочку. Какова вероятность того, что из них удастся составить треугольник?»
Теория.
Предполагается, что вероятность попадания «случайно брошенной» точки в произвольное подмножество F пропорционально мере этого подмножества и не зависит ни от его расположения, ни от его формы. Геометрическая вероятность сохраняет свойства вероятности событий, введенных для классического определения вероятностей, но расширяет возможности определения вероятности, когда имеется бесконечное число равнозначных исходов.
Определение. Геометрической вероятностью P(F) события F называется отношение меры μ (по Лебегу) множества F, благоприятствующего событию F, к мере вероятностного пространства Ω всех возможных равновероятных исходов:
P(F) =
.Понятие мера множества систематически изучается в курсе «Теория функций действительного переменного» [4]. Укажем кратко наиболее употребимые меры:
| Вероятностное пространство Ω | Мера пространства μ(Ω) (по Лебегу) |
| На прямой | Длина l промежутка |
| На плоскости | Площадь S области |
| В пространстве | Объем V тела |
Таким образом, для решения задачи мы должны ввести вероятностное пространство
, знать его меру Лебега 
, указать множество F, благоприятствующее событию F, вычислить его меру 
и, соответственно, вычислить вероятность P(F).Ход работы:
По условию событие F – «Удалось составить треугольник».
Необходимо выполнить несколько шагов:
1° Так как необходимо иметь 3 отрезка случайной длины, то размерность вероятностного пространства Ω равна 3. Введем 3 непрерывных случайных величины:
– длина первого кусочка, 
– длина второго кусочка, 
– длина третьего кусочка.2° Определяем диапазон изменения
и и соответствующую меру μ(Ω) пространства Ω всех возможных равновероятных исходов. Можно принять (в долях): 0 ≤ ≤ 1, 0 ≤ ≤ 1 и 0 ≤ ≤ 1. Пространство Ω есть куб 1×1×1 в пространстве Oxy ; его мера (объем) равна μ(Ω) = 1. 3° Определим благоприятствующий диапазон изменения
и и соответствующую меру μ(F) множества F исходов, благоприятствующих событию F путем решения неравенств в пространстве Oxy в пределах Ω. Для этого необходимо выполнить «условия треугольника»: