Вариант № 18В задачах 1-9 найти общие решения уравнений и частные решения, если есть начальные условия.1. . Уравнение является однородным. Сделаем замену Тогда . Получим уравнение , или . Разделяем переменные: . Интегрируем уравнение: . Получим: или . Вернёмся к переменной y, делая обратную замену u=y/x: . Определим постоянную С из начальных условий: , отсюда C=1. Подставляя это значение в общее решение, получим частное решение: или . Ответ: .2. . Уравнение является линейным. Решим его методом Бернулли. Будем искать решение в виде произведения y=U∙V, где U и V неизвестные функции, определяемые в данном случае уравнениями и . Решим первое уравнение: или

---

. Отсюда (произвольная постоянная добавляется при решении второго уравнения). Потенцируя, находим: . Подставим найденную функцию U во второе уравнение и решим его: или . Тогда

. Таким образом, общее решение имеет вид: . Найдём C, исходя из начальных условий: . Тогда . Таким образом, частное решение есть . Ответ: .

3. . Это уравнение Бернулли. Его можно решать непосредственно как линейное уравнение, применяя метод вариации произвольной постоянной. Решим однородное уравнение: или . Отсюда находим . Будем предполагать, что решение исходного уравнения имеет такую же структуру, но C=C(x), т.е. , где C(x) – некоторая неизвестная функция. Определим эту функцию, подставляя данное (предполагаемое) решение в исходное уравнение. Найдём . Тогда . Или . Разделяем переменные:

---

. Интегрируем уравнение: . Следовательно, . Общие решение уравнения или . Воспользуемся начальными условиями: , т.е. C₁=0, а в решении выбирается знак минус. Тогда частным решением будет . Ответ: .

4. .

Найдём частные производные:

, . Следовательно, уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Левая часть этого уравнения представляет полный дифференциал некоторой функции U(x,y), так что и . Проинтегрируем второе уравнение по y: . Таким образом, , где φ(x) – произвольная функция. Найдём эту функцию, пользуясь первым уравнением. С одной стороны . С другой стороны, . Приравнивая эти выражения, получим: . Отсюда, . Согласно уравнению, dU=0. Решением уравнения будет U(x,y)=C. В данном случае . Ответ:

---

.5. Уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка. В уравнении отсутствует независимая переменная x. Сделаем замену . Тогда . Получим уравнение первого порядка: . Решение не удовлетворяет начальным условиям. Решаем уравнение методом Бернулли: . Функцию U найдём из уравнения Или . Функцию V найдём из уравнения . Подставляя сюда функцию U, получим: . Таким образом, . Определим постоянную C₁, пользуясь начальным условием : . Следовательно, . Тогда . Определим C₂, пользуясь вторым начальным условием : . Следовательно, или , Окончательно, . Ответ:

---

.6. Линейное неоднородное уравнение второго порядка. Решим уравнение методом вариации произвольных постоянных. Найдём сначала решение однородного уравнения Характеристическое уравнение имеет два равных корня: . Получаем два частных решений: . Общее решение однородного уравнения имеет вид: . Будем считать, что решение неоднородного уравнения имеет такую же структуру, но С₁ и С₂ являются функциями переменной х: . Тогда, в соответствии с методом вариации произвольных постоянных, неизвестные функции С₁(х) и С₂(х) определяются системой уравнений: , где f(x) – правая часть неоднородного уравнения. В данном случае имеем систему: . Поделим все уравнения на : . Решим систему методом Крамера: . Интегрируя, получаем: . Следовательно, решением неоднородного уравнения будет . Теперь можно вернуться к прежним обозначениям произвольных постоянных. Положим С₃=С₁и С₄-2=С₂. Окончательно, . Ответ: .7.

---

Смотрите также файлы

• Сервер пк озу dhcp hyperv Сервер пк озу dhcp v.docx

• Контактные зоопарки.docx

• Образцы мишеней (размеры указаны в сантиметрах).doc

• Планконспект проведения занятия по огневой подготовке с личным составом.docx

• Практикум для студентов дневной и заочной форм обучения специальности 136 12 01 Проектирование и производство сельскохозяйственной техники.doc