Файл: Вариант 18 в задачах 19 найти общие решения уравнений и частные решения, если есть начальные условия. 1.doc
Добавлен: 30.11.2023
Просмотров: 17
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Вариант № 18
В задачах 1-9 найти общие решения уравнений и частные решения, если есть начальные условия.
1.
. Уравнение является однородным. Сделаем замену 
Тогда 
. Получим уравнение 
, или 
. Разделяем переменные: 
. Интегрируем уравнение: 
. Получим: 
или 
. Вернёмся к переменной y, делая обратную замену u=y/x: 
. Определим постоянную С из начальных условий: 
, отсюда C=1. Подставляя это значение в общее решение, получим частное решение: 
или 
. Ответ: .2.
. Уравнение является линейным. Решим его методом Бернулли. Будем искать решение в виде произведения y=U∙V, где U и V неизвестные функции, определяемые в данном случае уравнениями 
и 
. Решим первое уравнение: 
или 
. Отсюда
(произвольная постоянная добавляется при решении второго уравнения). Потенцируя, находим: 
. Подставим найденную функцию U во второе уравнение и решим его: 
или 
. Тогда
. Таким образом, общее решение имеет вид: 
. Найдём C, исходя из начальных условий: 
. Тогда 
. Таким образом, частное решение есть 
. Ответ: .3.
. Это уравнение Бернулли. Его можно решать непосредственно как линейное уравнение, применяя метод вариации произвольной постоянной. Решим однородное уравнение: 
или 
. Отсюда находим 
. Будем предполагать, что решение исходного уравнения имеет такую же структуру, но C=C(x), т.е. 
, где C(x) – некоторая неизвестная функция. Определим эту функцию, подставляя данное (предполагаемое) решение в исходное уравнение. Найдём 
. Тогда 
. Или 
. Разделяем переменные: 
. Интегрируем уравнение:
. Следовательно, 
. Общие решение уравнения 
или 
. Воспользуемся начальными условиями: 
, т.е. C1=0, а в решении выбирается знак минус. Тогда частным решением будет 
. Ответ: .4.
. Найдём частные производные:
, 
. Следовательно, уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Левая часть этого уравнения представляет полный дифференциал некоторой функции U(x,y), так что 
и 
. Проинтегрируем второе уравнение по y: 
. Таким образом, 
, где φ(x) – произвольная функция. Найдём эту функцию, пользуясь первым уравнением. С одной стороны 
. С другой стороны, 
. Приравнивая эти выражения, получим: 
. Отсюда, 
. Согласно уравнению, dU=0. Решением уравнения будет U(x,y)=C. В данном случае 
. Ответ:
.5.
Уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка. В уравнении отсутствует независимая переменная x. Сделаем замену 
. Тогда 
. Получим уравнение первого порядка: 
. Решение 
не удовлетворяет начальным условиям. Решаем уравнение 
методом Бернулли: 
. Функцию U найдём из уравнения 
Или 
. Функцию V найдём из уравнения 
. Подставляя сюда функцию U, получим: 
. Таким образом, 
. Определим постоянную C1, пользуясь начальным условием 
: 
. Следовательно, 
. Тогда 
. Определим C2, пользуясь вторым начальным условием 
: 
. Следовательно, 
или 
, Окончательно, 
. Ответ:
.6.
Линейное неоднородное уравнение второго порядка. Решим уравнение методом вариации произвольных постоянных. Найдём сначала решение однородного уравнения 
Характеристическое уравнение 
имеет два равных корня: 
. Получаем два частных решений: 
. Общее решение однородного уравнения имеет вид: 
. Будем считать, что решение неоднородного уравнения имеет такую же структуру, но С1 и С2 являются функциями переменной х: 
. Тогда, в соответствии с методом вариации произвольных постоянных, неизвестные функции С1(х) и С2(х) определяются системой уравнений:
, где f(x) – правая часть неоднородного уравнения. В данном случае имеем систему: 
. Поделим все уравнения на 
: 
. Решим систему методом Крамера:
. Интегрируя, получаем: 
. Следовательно, решением неоднородного уравнения будет 
. Теперь можно вернуться к прежним обозначениям произвольных постоянных. Положим С3=С1и С4-2=С2. Окончательно, 
. Ответ:
.7.