Файл: Вариант 18 в задачах 19 найти общие решения уравнений и частные решения, если есть начальные условия. 1.doc
Добавлен: 30.11.2023
Просмотров: 18
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
. Линейное неоднородное уравнение четвёртого порядка. Найдём сначала решение однородного уравнения 
Характеристическое уравнение 
, или 
, имеет четыре корня: 
. Получаем четыре частных решений: 
. Общее решение однородного уравнения имеет вид: 
. Найдём частное решение неоднородного уравнения, исходя из структуры его правой части: 
. Здесь множитель х2 обусловлен тем, что корень характеристического уравнения r=0 совпадает с коэффициентом α в экспоненте eαx, «стоящей» в правой части уравнения (α=0). Найдём производные yчн:: 
. Подставим это в исходное уравнение: 
. Отсюда находим 
. Или 
. Следовательно, 
. Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного: 
.Ответ:
. 8.
. Линейное неоднородное уравнение второго порядка. Найдём сначала решение однородного уравнения
Характеристическое уравнение 
имеет два корня: 
. Получаем два частных решения: 
. Общее решение однородного уравнения имеет вид: 
. Найдём частное решение неоднородного уравнения, исходя из структуры его правой части: 
. Найдём производные yчн:: 
, 
. Подставим это в исходное уравнение: 
. Отсюда находим 
или 
. Следовательно, 
. Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного: 
. Воспользуемся начальными условиями: 
. По первому условию 
. Найдём 
. Тогда, по второму условию, 
. Решая систему уранений, получим: 
. Частное решение уравнения будет 
. Ответ:
.
9.
. Линейное неоднородное уравнение второго порядка. Найдём сначала решение однородного уравнения 
Характеристическое уравнение 
имеет два корня: 
. Получаем два частных решения: 
. Общее решение однородного уравнения имеет вид: 
. Найдём частное решение неоднородного уравнения, исходя из структуры его правой части: 
. Найдём производные yчн::
.
. Подставим это в исходное уравнение:
. Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях в левой и правой частях равенства, получим:
. Решая систему, находим: 
. Следовательно, 
. Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного: 
. Ответ:
.10. Решить систему линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами
, где 
- функции отt, M – матрица коэффициентов, при начальных условиях
:
.Запишем систему по исходным данным:
. Ищем решение в виде 
. Тогда 
. Подставляя это в систему, получим систему алгебраических уравнений, которая определяет неизвестные коэффициенты 
: 
. Приравнивая определитель системы к нулю, получим характеристическое уравнение исходной системы: 
. Раскроем определитель: 
. Или 
. Следовательно, 
. При 
получим систему: 
. Отбросим второе уравнение, как линейно зависимое. Получим 
. Положим 
. Тогда 
. Получили первое частное решение: 
. При 
получим систему: 
. Отбросим второе уравнение, как линейно зависимое. Получим 
. Решая систему, получим: 
Положим 
. Тогда
. Получили второе частное решение: 
.При
получим систему: 
. Отбросим второе уравнение, как линейно зависимое. Получим 
. Положим 
. Тогда 
. Получили третье частное решение: 
. Общее решение записывается как линейная комбинация частных решений: 
. Найдём произвольные постоянные, пользуясь начальными условиями. При t=0 получим систему:
. Исключим с3, складывая первое уравнение с третьим, затем второе уравнение с первым, умноженным на 3. Получим: 
. Следовательно, 
. Таким образом, частное решение системы следующее: 
. Ответ: .11. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку M(2; 0) и такую, что отрезок касательной между точкой касания и осью ОУ имеет постоянную длину, равную 2.
Уравнение касательной к кривой
в точке 
имеет вид 
. Найдём точки пересечения касательной с осью ОY. Положим x=0. Тогда 
или 