Файл: Учебнометодическое пособие для практических работ Уфа 2022 Учебнометодическое пособие предназначено для обучающихся очного направления подготовки 21. 04. 01 Нефтегазовое дело по дисциплине.pdf

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра «Транспорт и хранение нефти и газа»
Планирование дробного факторного эксперимента.
Обработка экспериментальных данных
Учебно-методическое пособие для практических работ
Уфа
2022

Учебно-методическое пособие предназначено для обучающихся очного направления подготовки 21.04.01 «Нефтегазовое дело» по дисциплине
«Теоретические и экспериментальные методы научных исследований».
Публикуется в авторской редакции.
Составители: Ташбулатов Р.Р., доц., канд. техн. наук
Атрощенко Н.А., ст. гр. ММТ52-21-01
Лисовский Н.А., ст. гр. ММТ53и-21-01
Нурмухамедов Ч.И., ст. гр. БМТ-19-01
Рецензент: Валеев А.Р., доц., док. техн. наук
© ФГБОУ ВО «Уфимский государственный нефтяной технический университет», 2022

Содержание
ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................................. 4
Практическая работа №1 ............................................................................................ 5
Пример выполнения практической работы .............................................................. 6
Варианты заданий к практической работе №1 ....................................................... 18
Приложение А ............................................................................................................ 48
Приложение Б ............................................................................................................ 49

ВВЕДЕНИЕ
Для построения математической модели зависимости одного фактора от других часто применяют полный факторный эксперимент. Проведение полного факторного эксперимента позволяет описать влияние отдельных параметров на исследуемую характеристику, а также одновременное влияние параметров в совокупности. В то же время, полный факторный эксперимент имеет значительный недостаток. Количество опытов в полном факторном эксперименте значительно превосходит число определяемых коэффициентов линейной модели. Другими словами, полный факторный эксперимент обладает большой избыточностью опытов.
Для уменьшения числа опытов из множества точек факторного пространства может быть отобрана их некоторая часть, содержащая подходящее число опытов и представляющая собой дробный факторный план.
Геометрическое изображение дробного факторного эксперимента показано на рисунке 1.
Рисунок 1 – Полный факторный и дробный факторный эксперимент

Практическая работа №1
Цель работы
Цель работы: закрепление знаний, умений и навыков по планированию дробного факторного эксперимента, а также, по статистической оценке, результатов экспериментов. Научиться выполнять расчет математической модели ДФЭ типа 2 4-1
и интерпретировать полученные результаты.
Задачи:
– ознакомиться с представленным методическим материалом;
– используя пример выполнения лабораторной работы провести статистическую оценку результатов эксперимента;
– работу оформить в виде отчета по лабораторной работе.

Пример выполнения практической работы
Для исследования влияния некоторых технологических факторов на эффективность добавляемых реагентов в состав нефти, перекачивающейся по магистральному нефтепроводу, были поставлены эксперименты по плану ДФЭ
2 4-1
, причем каждый эксперимент повторялся по три раза (см. таблицу 1). В качестве факторов, влияющих на эффективность реагентов в нефти «y» (г/м), были выбраны следующие:
????
1
– диаметр трубопровода (мм),
????
1
−
= 263, ????
1
+
= 1361;
????
2
– напряжение сдвига у стенки трубопровода (Па),
????
2
−
= 6, ????
2
+
= 44;
????
3
– содержание парафинов в нефти (%),
????
3
−
= 3, ????
3
+
= 39;
????
4
– содержание асфальтенов в нефти (%),
????
4
−
= 1, ????
4
+
= 18.
Требуется построить уравнение регрессии, учитывая все взаимодействия факторов, проверить полученную модель на адекватность и произвести ее интерпретацию.
Сначала сделаем матрицу полного факторного эксперимента 2 4
Таблица 1. Исходная матрица планирования ДФЭ 2 4
№ эксперимента
Изучаемые факторы
????
1
????
2
????
3
????
4 1
+
+
+
+
2
-
+
+
+
3
+
-
+
+
4
-
-
+
+
5
+
+
-
+
6
-
+
-
+
7
+
-
-
+
8
-
-
-
+
9
+
+
+
-
10
-
+
+
-

№ эксперимента
Изучаемые факторы
????
1
????
2
????
3
????
4 11
+
-
+
-
12
-
-
+
-
13
+
+
-
-
14
-
+
-
-
15
+
-
-
-
16
-
-
-
-
Необходимо провести 16 опытов для получения уравнения регрессии следующего вида: y = ????
0
+ ????
1
????
1
+ ????
2
????
2
+ ????
3
????
3
+ ????
4
????
4
+ ????
1.2
????
1
????
2
+ ????
1.3
????
1
????
3
+ ????
1.4
????
1
????
4
+ ????
2.3
????
2
????
3
+ ????
2.4
????
2
????
4
+ ????
3.4
????
3
????
4
+ ????
1.2.3
????
1
????
3
+ ????
1.2.4
????
1
????
2
????
4
+ ????
1.3.4
????
1
????
3
????
4
+ ????
2.3.4
????
2
????
3
????
4
+ ????
1.2.3.4
????
1
????
2
????
3
????
4
Для описанного уравнения необходимо определить шестнадцать коэффициентов. Можно предположить, что слагаемые третей степени и выше приносят избыточную точность, поскольку влияние совокупного взаимодействия трёх и более факторов, чаще всего мало, поэтому этими факторами можно пренебречь. Тогда нам достаточно уравнения регрессии второй степени. Для того, чтобы получить уравнение второй степени необходимо провести полный факторный эксперимент степени 2 3
, матрица которого (с учетом взаимодействий факторов) представлена в таблице 2.
Для составления уравнения регрессии по результатам полного факторного эксперимента необходимо провести 8 опытов. Отметим, что после обработки данных мы получим модель третей степени, из-за наличия слагаемого ????
1
????
2
????
3
Наша цель – уменьшить количество экспериментов и получить уравнение второй степени.

Таблица 2. Матрица планирования ПФЭ 2 3
№ экспе- римента
Факторы
Взаимодействия
????
1
????
2
????
3
????
1
????
2
????
1
????
3
????
2
????
3
????
1
????
2
????
3
(
????
4
)
1
+
+
+
+
+
+
+
2
-
+
+
-
-
+
-
3
+
-
+
-
+
-
-
4
-
-
+
+
-
-
+
5
+
+
-
+
-
-
-
6
-
+
-
-
+
-
+
7
+
-
-
-
-
+
+
8
-
-
-
+
+
+
-
Для того чтобы перейти от полного факторного эксперимента 2 4
до дробного факторного эксперимента 2 4-1
, воспользуемся матрицей ПФЭ 2 3
, заменив одной из взаимодействий ????
1
· ????
2
,
????
1
· ????
3
,
????
2
· ????
3
,
????
1
· ????
2
· ????
3
на новый фактор ????
4
. Можно заменить любое из взаимодействий, но чаще всего рационально заменять совокупное взаимодействие
????
1
· ????
2
· ????
3
ввиду наименьшего влияния. Обозначим это в таблице 2.
Сформируем теперь матрицу планирования ДФЭ 2 4-1
учитывая замену.
Результат показан в таблице 3. Таким образом, теперь нам необходимо провести восемь опытов вместо изначально необходимых 16. Каждый опыт так же будет состоять из трех экспериментов. Внесем результаты экспериментов в таблицу 3.
Вычислим среднее значение результатов каждого эксперимента и внесем в последний столбец таблицы.
План эксперимента, предусматривающий реализацию половины экспериментов полного факторного эксперимента (как в нашем случае), называют полурепликой. При увеличении числа факторов (k > 3) возможно применение реплик большей дробности. Дробной репликой называют план

эксперимента, являющийся частью плана полного факторного эксперимента.
Дробные реплики обозначают зависимостью 2
k-p
, где p – число линейных эффектов, приравненных к эффектам взаимодействия.
При p = 1 получают полуреплику; при p = 2 получают 1/4 - реплику; при p = 3 получают 1/8 - реплику и т. д. по степеням двойки.
Таблица 3 – Исходная матрица планирования ДФЭ 2 4-1
№ экспе- римен- та
Факторы
Взаимодействия
Результаты опытов
Среднее результа тов
????
1
????
2
????
3
????
1
????
2
????
1
????
3
????
2
????
3
????
4
=
= ????
1
????
2
????
3
????
1
????
2
????
3
????
????
|
1
+ + +
+
+
+
+
504 500 584 529,3 2
- + +
-
-
+
-
208 250 222 226,7 3
+ -
+
-
+
-
-
376 356 366 366,0 4
-
-
+
+
-
-
+
276 256 286 272,7 5
+ +
-
+
-
-
-
846 841 856 847,7 6
- +
-
-
+
-
+
634 652 636 640,7 7
+ -
-
-
-
+
+
846 744 724 771,3 8
-
-
-
+
+
+
-
648 638 594 626,7 1. Для каждого фактора находим центр, интервал варьирования и зависимость кодированной переменной ????
????
от натуральной
????
????
. Оформляем результаты в таблице 4. Переход от ????
????
к
????
????
необходим чтобы привести все переменные к одному масштабу по следующей формуле:
????
????
=
????
????
− ????
????
0
????
????

Таблица 4. Кодирование факторов
Факторы
Верхний уровень ????
????
+
Нижний уровень ????
????
−
Центр
????
????
0
Интервал варьирования
????
????
=
????
????
+
− ????
????
−
2
Зависимость кодированной переменной от натуральной
????
1 1361 263 812 549
????
1
=
????
1
− 812 549
????
2 44 6
25 19
????
2
=
????
2
− 25 19
????
3 39 3
21 18
????
3
=
????
3
− 21 18
????
4 18 2
10 8
????
4
=
????
4
− 10 8
2. Строим матрицу планирования с учетом кодирования, всех оставшихся взаимодействий и средних значений отклика – таблица 5.
Знак «+» говорит о том, что во время опыта значение фактора устанавливают на верхнем уровне, а знак «-» показывает, что значение фактора устанавливают на нижнем уровне.
Таблица 5. Матрица планирования для обработки результатов
№
Факторы
Взаимодействия
Результаты опытов
Среднее
????
1
????
2
????
3
????
4
=
= ????
1
????
2
????
3
????
1
????
2
????
1
????
3
????
2
????
3
????
1
????
2
????
3
????
????
|
1
+
+
+
+
+
+
+
504 500 584 529,3 2
-
+
+
-
-
-
+
208 250 222 226,7 3
+
-
+
-
-
+
-
376 356 366 366,0 4
-
-
+
+
+
-
-
276 256 286 272,7 5
+
+
-
-
+
-
-
846 841 856 847,7 6
-
+
-
+
-
+
-
634 652 636 640,7 7
+
-
-
+
-
-
+
846 744 724 771,3 8
-
-
-
-
+
+
+
648 638 594 626,7

3. Коэффициенты уравнения регрессии находим методом наименьших квадратов. Вычисляем коэффициенты уравнения регрессии по формулам с учетом знаков из таблицы:
????
0
=
1 8
∑ ????
????
|
8
????=1
=
=
1 8
(529,3 + 226,7 + 366,0 + 272,7 + 847,7 + 640,7 + 771,3
+ 626,7) =
4281,1 8
= 535,14;
????
1
=
1 8
∑ ????
????1
????
????
|
=
8
????=1
=
1 8
(529,3 − 226,7 + 366,0 − 272,7 + 847,7 − 640,7 + 771,3
− 626,7) =
747,5 8
= 93,44;
????
2
=
1 8
∑ ????
????2
????
????
|
=
8
????=1
=
1 8
(529,3 + 226,7 − 366,0 − 272,7 + 847,7 + 640,7 − 771,3
− 626,7) =
207,7 8
= 25,96;
????
3
=
1 8
∑ ????
????3
????
????
|
=
8
????=1
=
1 8
(529,3 + 226,7 + 366,0 + 272,7 − 847,7 − 640,7 − 771,3
− 626,7) =
−1491,7 8
= −186,46;

????
4
=
1 8
∑ ????
????4
????
????
|
=
8
????=1
=
1 8
(529,3 − 226,7 − 366,0 + 272,7 − 847,7 + 640,7 + 771,3
− 626,7) =
146,9 8
= 18,36.
????
1.2
=
1 8
∑ ????
????1
????
????2
????
????
|
=
8
????=1
=
1 8
(529,3 − 226,7 − 366,0 + 272,7 + 847,7 − 640,7 − 771,3
+ 626,7) =
271,7 8
= 33,96;
????
1.3
=
1 8
∑ ????
????1
????
????3
????
????
|
=
8
????=1
=
1 8
(529,3 − 226,7 + 366,0 − 272,7 − 847,7 + 640,7 − 771,3
+ 626,7) =
44,3 8
= 5,54;
????
2.3
=
1 8
∑ ????
????2
????
????3
????
????
|
=
8
????=1
=
1 8
(529,3 + 226,7 − 366,0 − 272,7 − 847,7 − 640,7 + 771,3
+ 626,7) =
26,9 8
= 3,36;
Составляем для наглядности таблицу 6, в которую заносим найденные коэффициенты уравнения регрессии.
Таблица 6. Коэффициенты уравнения регрессии
????
0
????
1
????
2
????
3
????
4
????
1.2
????
1.3
????
2.3 535,14 93,44 25,96
-186,46 18,36 33,96 5,54 3,36

4. Далее необходимо произвести проверку модели на адекватность.
Адекватность – это способность модели предсказывать результаты эксперимента в некоторой области с требуемой точностью. Находим дисперсию воспроизводимости ????
{????}
2
. Для облегчения расчетов запишем формулу в другом виде:
????
{????}
2
=
1
???? · (???? − 1)
· ∑ ∑(????
????????
− ????
????
|
)
2
????
????=1
????
????=1
=
1
????
∑(
1
???? − 1
∑(????
????????
− ????
????
|
)
2
)
????
????=1
????
????=1
=
1
????
∑ ????
????
2
????
????=1
,
здесь внутренние суммы ????
????
2
являются выборочными дисперсиями результатов опытов для ???? − го эксперимента (???? = 1, … , ????). Для удобства оформляем расчеты в виде таблицы 7.
Таблица 7. Матрица обработки результатов
????
????
1
????
2
????
3
????
????
|
(????
????1
− ????
????
|
)
2
(????
????2
− ????
????
|
)
2
(????
????3
− ????
????
|
)
2
????
????
2 1
504 500 584 529,3 640,09 858,49 2992,09 2245,335 2
208 250 222 226,7 349,69 542,89 22,09 457,335 3
376 356 366 366,0 100 100 0
100 4
276 256 286 272,7 10,89 278,89 176,89 233,335 5
846 841 856 847,7 2,89 44,89 68,89 58,335 6
634 652 636 640,7 44,89 127,69 22,09 97,335 7
846 744 724 771,3 5580,09 745,29 2237,29 4281,335 8
648 638 594 626,7 453,69 127,69 1069,29 825,335
Суммируя элементы последнего столбца таблицы 5, получаем:
∑ ????
????
2
= 8298,345.
8
????=1
Отсюда получаем дисперсию воспроизводимости:
????
{????}
2
=
1 8
∑ ????
????
2
=
1 8
· 8298,345 = 1037,29.
8
????=1

Дисперсия воспроизводимости показывает ошибку всего эксперимента. По формуле определяем среднее квадратическое отклонение коэффициентов:
????
коэф.
= √
????
{????}
2
???? · ????
= √
1037,29 8 · 3
= 6,574.
Из таблиц распределения Стьюдента (приложение А) по числу степеней свободы ???? · (???? − 1) = 8 · 2 = 16 при уровне значимости ⍺ = 0,05 находим
????
кр.
= 2,12. Следовательно, ????
кр.
· ????
коэф.
= 2,12 · 6,574 = 13,94.
Сравнивая полученное значение ????
кр.
· ????
коэф.
= 13,94 с коэффициентами уравнения регрессии, представленными в таблице 6, видим, что все коэффициенты кроме ????
1,3
и ????
2,3
больше 13,94 по абсолютной величине.
Следовательно, все коэффициенты кроме ????
1,3
и ????
23
значимы. Полагая
????
5
= 0,
????
2,3
= 0 получаем уравнение регрессии в кодированных переменных:
???? = 535,14 + 93,44????
1
+ 25,96????
2
− 186,46????
3
+ 18,36????
4
+ 33,96????
1
????
2 5. Проверка на адекватность полученного уравнения осуществляется с помощью критерия Фишера. Если F
расч
< F
табл для заданного уровня значимости, то модель составлена верно, иначе точность модели недостаточна. Так как дисперсия воспроизводимости найдена в предыдущем пункте, то для определения расчетного значения критерия ????
расч.
Необходимо вычислить остаточную дисперсию ????
ост.
2
Для этого найдем значения изучаемого параметра по полученному уравнению регрессии ????
????
(???? = 1, … ,8), подставляя +1 или -1 вместо ????
????
в соответствии с номером ???? эксперимента из таблицы 3:
????
1
= 535,14 + 93,44 + 25,96 − 186,46 + 18,36 + 33,96 = 520,4;
????
2
= 535,14 + 93,44 · (−1) + 25,96 − 186,46 + 18,36 · (−1) + 33,96 · (−1)
= 228,88;
????
3
= 535,14 + 93,44 + 25,96 · (−1) − 186,46 + 18,36 · (−1) + 33,96 · (−1)
= 363,84;
????
4
= 535,14 + 93,44 · (−1) + 25,96 · (−1) − 186,46 + 18,36 + 33,96 = 281,6;
????
5
= 535,14 + 93,44 + 25,96 − 186,46 · (−1) + 18,36 · (−1) + 33,96 = 856,6;