Файл: 5 проектирование эвольвентного зацепления прямозубых цилиндрических колес.pdf

88
5 ПРОЕКТИРОВАНИЕ ЭВОЛЬВЕНТНОГО ЗАЦЕПЛЕНИЯ
ПРЯМОЗУБЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КОЛЕС
В данном разделе необходимо выполнить расчеты по проектированию эвольвентной зубчатой передачи внешнего (внутреннего) зацепления, колеса которой нарезаны стандартной рейкой.
Принимаем, что зубчатые колеса изготовлены без смещения исходного контура (
Х
1
=
Х
2
= 0). Тогда угол зацепления равен углу профиля инструмен- та (
°
=
α
=
α
20
w
), делительные окружности являются одновременно началь- ными окружностями зацепления (
1 1
r
r
w
= и
2 2
r
r
w
= ).
Рассчитываемая зубчатая передача имеет следующие параметры: мм.
10
;
20
;
18 2
1
=
=
=
m
z
z
Определим величины параметров, необходимых для построения эволь- вентного зацепления.
Радиусы начальных и делительных окружностей зубчатых колес опре- деляются по следующей зависимости:
,
2
mz
r
r
w
=
=
(5.1) где
m, z – соответственно модуль и число зубьев зубчатого колеса.
Подставляя численные значения, получим:
– для первого колеса
1 1
1 10 18 90 мм;
2 2
w
mz
r
r
⋅
= =
=
=
– для второго колеса
2 2
2 10 20 100 мм
2 2
w
mz
r
r
⋅
= =
=
=
Радиусы основных окружностей зубчатых колес cos
α
= r
r
b
(5.2)
Тогда для зубчатых колес радиусы основных окружностей будут со- ставлять:
Изм.
Лист
№ докум.
Подпись
Дата
Лист
55 02.38.075.00.000 ПЗ

89
– для первого колеса
1 1
;
cosα 90 0,94 84,6 мм
b
r
r
=
=
⋅
=
– для второго колеса
2 2
cosα 100 0,94 94 мм
b
r
r
=
=
⋅
=
Радиусы окружностей вершин зубьев определяются как
,
m
h
r
h
r
r
a
a
a
∗
+
=
+
=
(5.3) где
m
h
h
a
a
∗
=
– высота головки зуба (расстояние, измеренное по радиусу между делительной окружностью и окружностью вершин), мм;
∗
a
h – коэффициент высоты головки зуба (для колес с нормальной высо- той головки зуба
1
=
∗
a
h
, а с укороченной –
8
,
0
=
∗
a
h
).
Подставляя численные значения, получим:
– для первого колеса
1 1
90 1 10 100 мм;
a
a
r
r h m
∗
= +
=
+ ⋅ =
– для второго колеса
2 2
100 1 10 110 мм
a
a
r
r
h m
∗
= +
=
+ ⋅ =
Радиусы окружностей впадин зубчатых колес определяются по следующей зависимости:
(
)
(
)
,
a
a
f
f
r
r h
r
h
c
r
h
c m
∗
∗
= −
= −
+ = −
+
(5.4) где
c
h
h
a
f
+
=
– высота ножки зуба, мм;
m
c
c
∗
=
– радиальный зазор, мм;
25
,
0
=
∗
c
– коэффициент радиального зазора.
Подставляя численные значения, получим:
– для первого колеса
(
)
1 1
90 (1 0,25) 10 77,5 мм
a
f
r
r
h
c m
∗
∗
= −
+
=
− +
⋅ =
Изм.
Лист
№ докум.
Подпись
Дата
Лист
56 02.38.075.00.000 ПЗ

90
– для второго колеса
(
)
2 2
100 (1 0,25) 10 87,5 мм
a
f
r
r
h
c m
∗
∗
= −
+
=
− +
⋅ =
Высота зуба определяется как
(
)
*
a
a
a
f
h h
h
h m
h
c m
∗
∗
= +
=
+
+
(5.5а)
При
1
*
=
a
h
и 25
,
0
*
=
c
25
,
2
m
h
=
(5.5б)
Подставив численные значения, получим:
(
)
1 10 1 0,25 10 22,5 мм
h
= ⋅ + +
⋅ =
Шаг по делительной окружности определяется по формуле:
m
p
π
=
(5.6)
В нашем случае шаг по делительной окружности мм.
4
,
31 10 14
,
3
=
⋅
=
p
Окружная толщина зуба по делительной окружности
2
m
S
π
=
(5.7)
Подставив численные значения, получим:
3,14 10 15,7 мм
2
S
⋅
=
=
Межосевое расстояние определяется как
,
2 1
w
w
w
r
r
a
a
+
=
=
(5.8) где
2 1
r
r
a
+
=
– делительное межосевое расстояние, мм.
Подставив численные значения, получим: мм.
190 100 90
=
+
=
= a
a
w
Изм.
Лист
№ докум.
Подпись
Дата
Лист
57 02.38.075.00.000 ПЗ

91
Для построения картины зацепления зубчатых колес выбираем масштаб
2:1, значит, на чертеже все полученные значения величин увеличатся в 2 раза.
Построение картины эвольвентного зацепления проводим в следующем порядке (приложения Н, С, Т):
1)
откладываем межосевое расстояние
w
a ;
2)
радиусами
1
w
r и
2
w
r проводим начальные окружности зубчатых колес. Точка
Р их касания является полюсом зацепления;
3)
проводим основные окружности колес (радиусами
1
b
r и
2
b
r ), ок- ружности вершин зубьев (радиусами
1
a
r и
2
a
r ) и окружности впадин (радиу- сами
1
f
r и
2
f
r );
4)
через полюс зацепления
Р проводим общую касательную t–t к на- чальным окружностям зубчатых колес и линию зацепления
n–n, касающуюся в точках
А и В основных окружностей. Положение точек касания А и В оп- ределим, если из центров
1
O и
2
O опустим перпендикуляры на прямую n–n.
Часть (
ab) линии n–n, заключенная между окружностями вершин зубьев, на- зывается
активной линией зацепления, т.е. геометрическим местом действи- тельного касания профилей зубьев; линия
АВ называется теоретической ли-
нией зацепления;
5)
строим эвольвенты профилей зубьев, соприкасающихся в полюсе зацепления
Р. Профили зубьев получают, обкатывая линию зацепления как по одной, так и по другой основным окружностям. При обкатывании точка
Р линии зацепления описывает эвольвенты, которые являются искомыми про- филями. Для построения эвольвентного профиля зуба первого колеса отрезок
АР делим на равные части (в нашем случае – на 4) и получаем точки 1, 2, 3.
Такие же отрезки откладываем от точки
А влево и получаем точки 5, 6, 7.
На основной окружности первого зубчатого колеса с помощью измерителя вправо и влево от точки
А откладываем дуги, длины которых равны этим от- резкам, получаем точки ,
1′ ,
2′ ,
3′ ,
4′ ,
5′ 6′ и 7′ . Через эти точки проводим касательные к основным окружностям радиусом
1
b
r (перпендикуляры к соот- ветствующим радиусам). На касательной, проведенной через точку ,
1′ отло- жим
4 1
отрезка (
АР), т. е. длину 1Р. На касательной, проведенной через точку ,
2′ отложим
4 2
отрезка (
АР), т.е. длину 2Р. На касательной, проведен- ной через точку ,
3′ отложим
4 3
отрезка (
АР), т. е. длину 3Р, и т.д. Проведя аналогичные построения на каждой из касательных, получим ряд точек 1'',
2'', 3'', 4'', 5'', 6'' и 7''. Плавная кривая, проведенная через полученные точки, является эвольвентным профилем правой части зуба первого колеса. Таким же способом строится эвольвентный профиль второго колеса (для этого ис- пользуется отрезок (
ВР));
Изм.
Лист
№ докум.
Подпись
Дата
Лист
58 02.38.075.00.000 ПЗ

92 6)
профиль ножки зуба, лежащий внутри основной окружности, очерчи- вается по радиальной прямой, соединяющей начало эвольвенты с центром колеса, и сопрягается с окружностью впадин закруглением радиусом
4
,
0
m
=
ρ
7)
по начальной окружности в масштабе откладываем половину толщины зуба
,
2
w
S
проводим ось симметрии зуба (радиальную прямую) и по законам симметрии строим левый профиль зуба;
8)
на каждом колесе справа и слева от построенного по точкам зуба с помощью лекал или шаблонов строим еще два зуба.
При вращении первого колеса (допустим, в направлении вращения часовой стрелки) ножка зуба войдет в зацепление в точке
а с головкой зуба второго коле- са. В точке
b головка зуба первого колеса выйдет из зацепления с ножкой зуба второго колеса. Таким образом, точка зацепления (соприкосновения зубьев) пе- ремещается по профилю зуба первого колеса от его основания к вершине, а по профилю зуба второго – наоборот, от вершины к основанию.
Участки профилей зубьев, которые в процессе передачи вращения входят в соприкосновение друг с другом, называют
активными профилями. Опреде- лим эти участки. Точку
1
f на профиле зуба первого колеса получим, если из центра
1
O описать дугу радиусом
1
a
O Точно так же находим точку
2
f , опи- сав дугу радиусом
b
O
2
из центра
2
O
В точке
а встретятся точки
1
f и
2
e , а в точке b выйдут из зацепления точки
2
f и .
1
e Активными профилями являются части эвольвент
1 1
f
e
и
2 2
f
e
Чтобы построить дугу зацепления на первом зубчатом колесе, профиль зуба этого колеса повернем вокруг точки
1
O и совместим последовательно с началом и концом активной линии зацепления, т. е. с точками
а и b.
На начальной окружности первого колеса получим дугу
d
с ′
′ . Если повер- нем профиль второго колеса вокруг точки
2
O и совместим с точками а и b, то на начальной окружности второго колеса получим дугу
с''d''. Дуги с'd' и
с''d'' являются дугами зацепления по начальным окружностям, дуги b
a ′ и
b
a′ – дугами зацепления по основным окружностям.
Длина дуги зацепления по основной окружности колеса равна длине
α
g активной линии зацепления
ab.
Углы
1
α
ϕ и
2
α
ϕ называются углами перекрытия. Отношение угла пере- крытия зубчатого колеса к его угловому шагу
z
π
=
τ
2
наз
ывается коэффици-
ентом перекрытия, т. е.
2 2
1 2
1
b
r
z
g
π
=
τ
ϕ
=
τ
ϕ
=
ε
α
α
α
α
(5.9)
Изм.
Лист
№ докум.
Подпись
Дата
Лист
59 02.38.075.00.000 ПЗ

93
Вычислим коэффициент перекрытия проектируемой передачи. Из чер- тежа длина активной линии зацепления равна 91 мм, что соответствует дей- ствительному значению мм
5
,
45
)
(
=
=
α
ab
g
Тогда коэффициент перекрытия
54
,
1 6
,
84 14
,
3 2
18 5
,
45 2
1 1
1 1
=
⋅
⋅
⋅
=
π
=
τ
ϕ
=
ε
α
α
α
b
r
z
g
Коэффициент перекрытия определяется и как отношение длины актив- ной линии зацепления к шагу по основной окружности: cos
)
(
)
(
α
π
=
=
ε
α
m
ab
P
ab
b
(5.10)
Подставив численные значения, получим:
45,5 45,5
ε
1,54 3,14 10 cos 20 3,14 10 0,9397
α
=
=
=
⋅ ⋅
°
⋅ ⋅
Коэффициент перекрытия можно вычислить также аналитически по формуле: cos sin
2 2
2 2
2 2
1 1
α
α
−
−
+
−
=
ε
α
P
a
r
r
r
r
w
b
a
b
a
(5.11)
Подставив численные значения, получим:
2 2
2 2
2 2
2 2
100 84,6 110 94 190 sin 20
ε
31, 4cos 20 100 84,6 110 94 190 0,342 1,541.
31,4 0,9397
α
−
+
−
−
⋅
°
=
=
°
−
+
−
−
⋅
=
=
⋅
Коэффициент перекрытия показывает среднее число пар зубьев, од- новременно находящихся в зацеплении. Если 54
,
1
=
ε
α
, то 54 % от общего времени работы в зацеплении участвуют две пары зубьев, а 46 % времени – одна пара.
Удельное скольжение профилей зубьев (
1
ν и
2
ν ) является характе- ристикой скольжения одного профиля зуба по второму, т. е. характеризует износ профилей, вызванный силой трения.
Изм.
Лист
№ докум.
Подпись
Дата
Лист
60 02.38.075.00.000 ПЗ

94
Удельное скольжение можно определить по следующим формулам:
,
1
;
1 12 2
1 2
21 1
2 1
U
U
ρ
ρ
+
=
ν
ρ
ρ
+
=
ν
(5.12) где
2 1
,
ρ
ρ
– соответственно радиусы кривизны эвольвент первого и второго колес в точке зацепления, мм;
21 12
, U
U
– передаточное отношение ступени.
Передаточное отношение для внешнего зацепления определяется как
,
1 2
12
z
z
U
−
=
2 1
21
z
z
U
−
=
(5.13)
Подставив численные значения, получим:
9
,
0 20 18
,
111
,
1 18 20 21 12
−
=
−
=
−
=
−
=
U
U
Вычислим удельное скольжение в нескольких точках зацепления и по- строим диаграммы удельного скольжения. Ось абсцисс диаграмм проведем параллельно линии зацепления, а ось ординат – перпендикулярно к ней через точку А. Спроектируем на ось абсцисс точки А, а, Р, b и В. Тогда
,
)
(
;
2 1
X
AB
X
−
=
ρ
=
ρ
(5.14) где
)
(AB – длина теоретической линии зацепления (в нашем случае – мм
130
)
(
=
AB
в масштабе 1:2).
Значения текущей координаты Х возьмем с интервалом в 15 мм в преде- лах от
0
=
X
до мм
130
=
X
Результаты расчета
1
ν и
2
ν сведем в таблицу 5.1 и по ним построим диаграммы удельных скольжений в масштабе мм
1 1
,
0
=
μ
ν
Изм.
Лист
№ докум.
Подпись
Дата
Лист
61 02.38.075.00.000 ПЗ

95
Таблица 5.1 – Результаты расчета удельных скольжений профилей зубьев
1
ρ
=
X
0 15 30 45 60 75 90 105 120 130 2
ρ
=
− X
АВ
130 115 100 85 70 55 40 25 10 0 1
ν
∞
−
–5,9 –2,0 –0,7 –0,05 0,34 0,6 0,78 0,92 1,0 2
ν
1,0 0,854 0,67 0,41 0,05 –0,51 –1,5 –3,66 –12,3
∞
−
Так как зацепление профилей зубьев колес происходит только на активной линии зацепления, то для большей наглядности эти участки на диаграммах удельных скольжений заштрихованы.
Толщину зубьев колес по окружности вершин определим по формуле:
,
in in
1 1
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
α
ν
−
α
ν
+
=
a
a
a
d
S
d
S
(5.15) где
α – угол профиля эвольвенты на делительной окружности, ;
20
°
=
α
a
α – угол профиля эвольвенты на окружности вершин зубьев;
α
ν
in
,
a
α
ν
in
– эвольвентная функция углов
α и
a
α .
,
cos
a
b
a
r
r
=
α
откуда arccos
a
b
a
r
r
=
α
(5.16)
Подставив численные значения для первого колеса в (5.16), (5.15), получим:
22
,
32 100 6
,
84
arccos
1
°
=
=
α
α
По таблице инволют (приложение К) определяем для угла
°
=
α
22
,
32 1
a
значение
068899
,
0
inν
1
=
α
a
Изм.
Лист
№ докум.
Подпись
Дата
Лист
62 02.38.075.00.000 ПЗ

96
мм.
64
,
6 068899
,
0 014904
,
0 180 7
,
15 200 22
,
32
in
20
in
180 7
,
15 200
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
°
ν
−
°
ν
+
=
a
S
Для нормальной работы зубчатой передачи необходимо, чтобы соблю- дались следующие условия:
1) ;
1
,
1
≥
ε
α
2)
m
S
a
3
,
0
≥
(отсутствие заострения головки зуба у меньшего колеса).
Для заданной передачи 54
,
1
=
ε
α
и
,
664
,
0 10 64
,
6
m
S
a
=
=
т. е. условие нормальной работы соблюдается.
Изм.
Лист
№ докум.
Подпись
Дата
Лист
63 02.38.075.00.000 ПЗ

128
Приложение К
(Справочное)
Таблица К.1 – Значения
να
in
Градусы
Порядок
0' 5' 10' 15' 20' 25' 30' 35' 40' 45' 50' 55'
18
0,0
10760 10915 11071 11228 11387 11547 11709 11873 12038 12205 12373 12543 19
0,0
12715 12888 13063 13240 13418 13598 13779 13963 14148 14334 14523 14713 20
0,0
14904 15098 15293 15490 15689 15890 16092 16296 16502 16710 16920 17132 21
0,0
17345 17560 17777 17996 18217 18440 18665 18891 19120 19350 19583 19617 22
0,0
20054 20292 20533 20775 21019 21266 21514 21766 22018 22272 22529 22788 23
0,0
23049 23312 23577 23845 24114 24386 24660 24936 25214 25495 25778 26062 24
0,0
26350 26639 26931 27225 27521 27820 28121 28424 28729 29037 29348 29660 25
0,0
29975 30293 30613 30935 31260 31587 31917 32249 32583 32920 33260 33602 26
0,0
33947 34294 34644 34997 35352 35709 36069 36432 36798 37166 37537 37910 27
0,0
38287 38666 39047 39432 39819 40209 40602 40997 41395 41797 42201 42607 28
0,0
43017 43430 43845 44264 44685 45110 45537 45967 46400 46837 47276 47718 29
0,0
48164 48612 49064 49518 49976 50437 50901 51368 51838 52312 52788 53268 30
0,0
53751 54238 54728 55221 55718 56217 56720 57226 57736 58249 58765 59285 31
0,0
58809 60335 60856 61400 61937 62478 63022 63570 64122 64677 65236 65798 32
0,0
66364 66934 67507 68084 68665 69250 69836 70430 71026 71626 72230 72838 33
0,0
73449 74064 74684 75307 75934 76565 77200 77839 78483 79130 79781 80437 34
0,0
81097 81760 82428 83100 83777 84457 85142 85832 86525 87223 87925 88631 35
0,0
89342 90058 90777 91502 92230 92963 63701 94443 95190 95942 96898 97459 36
0,
09822 09899 09977 10055 10133 10212 10292 10371 10452 10533 10614 10696 37
0,
10778 10861 10944 11028 11113 11197 11283 11369 11455 11542 11630 11718 38
0,
11806 11895 11985 12075 12165 12257 12348 12441 12534 12627 12721 12815 39
0,
12911 13006 13102 13199 13297 13395 13493 13592 13692 13792 13893 13995 40
0,
14096 14200 14303 14407 14511 14316 14722 14829 14936 15043 15152 15261 128