ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.12.2023
Просмотров: 241
Скачиваний: 7
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
61
Рис. 2.18. Графики функций корреляции
Особенно сложная ситуация, когда мощность обертонов выше мощ- ности основного тона. Действительно, для простой двухкомпонентной модели (2.52) в предположении, что мощность обертона в два раза (т.е. на
6 дБ) выше мощности основного тона
(
)
1 2
2 0
0
( )
( )
( )
cos
2 cos 2 2
S
S
S
A
K
K
K
τ
τ
τ
ω τ
ω τ
=
+
=
+ ⋅
. (2.53)
Результат показан на рис. 2.19.
Выполним моделирование.
% функц. коррел., обертон мощнее в 2 раза
>>figure;
>>Ks2 = cos(2*pi*f0*itau/(2*Fs))+ 2*cos(4*pi*f0*itau/(2*Fs));
>>plot(itau,Ks2); % две гармоники
>>title(‘Две гармоники, обертон мощнее в 2 раза’);
>>grid on.
Рассмотренный пример наглядно демонстрирует мешающий харак- тер мощного обертона. Сравнивая рис. 2.17 и 2.18, видим, что результаты
62
моделирования объясняют природу отмеченных ранее трудностей измере- ния периода (частоты) основного тона.
Рис. 2.19. График функции корреляции (обертон мощнее в два раза)
2.2.3. Преобразование Фурье функции корреляции как способ
выявления периодического колебания
Решение указанной выше проблемы можно найти путем вычисления преобразования Фурье от корреляционной функции. Гармоники, из кото- рых состоит функция корреляции, превратятся в спектральные пики, раз- несенные по частоте. Тем самым будет решена проблема разделения ос- новного тона и обертонов.
В сущности, мы вплотную подошли к идее вычисления спектра мощности стационарного случайного процесса (ССП), провозглашенной в свое время независимо друг от друга советским математиком А. Хинчи- ным и американским кибернетиком Н. Винером. Пара преобразований Ви- нера – Хинчина – это преобразования Фурье, связывающие между собой функцию корреляции и спектр мощности ССП [38]:
( )
( )exp(
2
) ,
( )
( )exp( 2
) .
P f
K
j
f d
K
P f
j
f df
∞
−∞
∞
−∞
⎧
=
−
⎪
⎪
⎨
⎪
=
⎪
⎩
∫
∫
τ
π τ τ
τ
π τ
(2.54)
Применяя преобразование Фурье к функции (2.53), получим
63 2
0 0
0 0
( )
[ (
)
(
) ]
4 2 [ (
2
)
(
2
) ] .
2
A
P f
f
f
f
f
A
f
f
f
f
=
+
+
−
+
+
+
+
−
δ
δ
δ
δ
(2.55)
График функции (2.55) показан на рис. 2.20. В области положитель- ных частот мы имеем два идеально разделяемых спектральных пика.
Разумеется, результат изме- рений спектра мощности, именуе- мый «оценкой спектра мощности», будет выглядеть несколько хуже, как и «положено» всякой оценке.
Оценка спектра будет отличаться от истинного спектра на величину ошибки измерений, содержащей систематическую и случайную со- ставляющие.
Оценку спектра мощности с учетом соотношений (2.54) естест- венно сформировать в виде
( )
( )exp(
2
)
T
T
P f
K
j
f d
τ
π τ τ
−
=
−
∫
, (2.56) где ( )
K
τ
– оценка корреляционной функции.
Систематическая составляющая погрешности оценки (2.56) обуслов- лена тем, что длительность T отрезка наблюдаемого процесса конечна.
Можно показать, что математическое ожидание оценки спектра мощности двухкомпонентного ССП имеет вид
{
}
{
}
2 2
2
( )
(
)
(
)
0 0
4 2
2 2
(
2 )
(
2 )
0 0
2
A T
P f
Sa
f
f T
Sa
f
f T
A T
Sa
f
f T
Sa
f
f T
⎡
⎤
⎡
⎤
=
−
+
+
+
⎣
⎦
⎣
⎦
⎡
⎤
⎡
⎤
+
−
+
+
⎣
⎦
⎣
⎦
π
π
π
π
График этой функции для двух значений параметра T показан на рис. 2.21. На нижнем графике параметр
T
вдвое больше, чем на верхнем.
При построении графиков приняты следующие обозначения:
'
'
'
2
r f N
r
f T
r f N t
B
f
f
Δ
= Δ
Δ =
=
Δ Δ
,
0 0
f T r
=
%===== функц. коррел. полигармонич. сигнала ====== figure; r = 0:200; fT1 = r/10; fT2 = r/5;
( )
P f
2 4
A
2 2
A
0 0
f
2 0
f
f
Рис. 2.20. График функции (2.55)
64
f0T1 = 6; f0T2 = 12;
P1 = (sinc(fT1 – f0T1)).^2 + 2*(sinc(fT1 – 2*f0T1)).^2;
P2 = (sinc(fT2 – f0T2)).^2 + 2*(sinc(fT2 – 2*f0T2)).^2; subplot(2,1,1); plot(r,P1); % fT = r/10 title(‘fT = r/10’); grid on; subplot(2,1,2); plot(r,P2); % fT = r/5 title(‘fT = r/5’); grid on;
Рис. 2.21. График математического ожидания оценки спектра мощности двух- компонентного ССП
Верхний график (рис. 2.21) соответствует случаю
0
,
6;
10
r
f T
r
=
= нижний –
0
;
12 5
r
f T
r
=
= .
Контрольные вопросы
1. Что такое ряд Фурье и каковы условия Дирихле?
2. Как определяются ППФ и ОПФ?
3. Какая связь между коэффициентами Фурье и спектром сигнала?
4. Каковы свойства ДПФ?
5. Что такое спектрограмма сигнала и как она вычисляется в MATLAB?
65 6. Что такое аддитивная смесь сигнала и как происходит процесс ее построения в MATLAB?
7. Какова функция корреляции?
8. Какова оценка спектра мощности сигнала с учетом преобразова- ния Фурье?
66
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 13
Глава 3. ЦИФРОВАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ РЕЧЕВОГО СИГНАЛА
Под термином «цифровая фильтрация» обычно понимают локальную цифровую обработку сигнала скользящим окном с заданной апертурой.
При этом полагают, что размер окна много меньше размера выборки обра- батываемого фрагмента сигнала. Для каждого положения окна, за исклю- чением, возможно, небольшого числа крайних точек выборки, выполняют- ся однотипные действия, которые определяют так называемый отклик, или выход фильтра. Если действия, определяющие отклик фильтра, не изме- няются в процессе перемещения по выборке сигнала, то соответствующий фильтр называется стационарным, в противном случае – нестационарным.
Различают линейную и нелинейную цифровую фильтрацию [16, 38].
3.1. Линейная цифровая фильтрация
Линейная цифровая система описывается уравнением свертки
[ ]
[
]
y n
h x n
l
l
l
∞
=
−
∑
= − ∞
, (3.1) где
[ ]
x n – входная выборка,
[ ]
y n – выходная выборка,
l
h
– импульсная характеристика системы. Передаточная функция линейной цифровой сис- темы определяется выражением
( )
( )
( )
Y z
H z
X z
=
, (3.2) где ( )
[ ]
n
X z
x n z
n
∞
=
∑
= −∞
, ( )
[ ]
n
Y z
y n z
n
∞
=
∑
= −∞
– Z-преобразования вход- ной и выходной выборок сигнала.
Если умножить обе части равенства (3.1) на
n
z
и просуммировать по
n , можно получить выражение для передаточной функции линейной циф- ровой системы в виде
( )
l
l
H z
h z
l
−
∞
=
∑
= −∞
, (3.3) где
l
h
– импульсная характеристика системы.
67
Необходимое и достаточное условие устойчивости линейной цифро- вой системы [9, 20, 23] часто записывается в виде неравенства для им- пульсной характеристики системы:
l
h
l
∞
< ∞
∑
= −∞
. (3.4)
Линейная цифровая система является физически реализуемой, если
0
l
h
= при
0
l
< .
Цифровые устройства, выполняющие преобразования вида (3.1), на- зываются линейными цифровыми фильтрами. Они являются финитной ли- нейной цифровой системой и в общем случае описываются уравнением
0 0
[
]
[
]
I
L
i
l
i
l
a y n i
b x n l
=
=
− =
−
∑
∑
, (3.5) где
{
}
,
a b
i l – коэффициенты фильтра. Обычно линейные цифровые фильтры подразделяют на фильтры низких частот, высоких частот, полос- но-пропускающие и полосно-заграждающие (режекторные) фильтры, ам- плитудные и фазовые фильтры-корректоры, гребенчатые фильтры и др.
Первые четыре типа называют основными, или базовыми типами фильт- ров. По своей конструкции линейные цифровые фильтры разделяют на ре- курсивные и нерекурсивные (трансверсальные) фильтры. Коэффициенты трансверсальных фильтров, или фильтров с конечной импульсной харак- теристикой (КИХ-фильтров), удовлетворяют следующим условиям:
0 1,
0
i
a
a
=
= для всех
0
i
≠ .
Рекурсивные фильтры называют фильтрами с бесконечной импульс- ной характеристикой (БИХ-фильтрами).
Передаточная функция линейного цифрового фильтра (3.5) имеет вид
0
( )
l
L
k
b z
l
H z
I
i
l
a z
i
i l
−
∑
=
=
−
+ ∑
=
(3.6)
Многочлены, стоящие в числителе и знаменателе этого выражения, можно представить в виде произведения и переписать передаточную функцию линейного цифрового фильтра (3.5) в следующем виде:
68 0
0
(
)
( )
(
)
L
l
I
i
i
z
l
H z
z
=
=
−
∏
=
−
∏
β
α
(3.7)
Условие устойчивости линейного цифрового фильтра обычно запи- сывают в виде неравенства
1
i
a
<
, где 0, 1, ,
i
l
=
…
, т. е. полюса переда- точной функции цифрового фильтра должны лежать внутри окружности единичного радиуса. Положение нулей передаточной функции
l
β
на ус- тойчивость фильтра не влияет, однако условие
1
l
<
β
при 0, 1, ,
l
L
…
=
оп- ределяет минимально-фазовый цифровой фильтр.
Частотная характеристика цифрового фильтра
( )
H
ω
соответствует передаточной функции фильтра
( )
H z при
j T
z e
ω
=
, где T – интервал дис- кретизации, 2 f d
ω
π
=
– круговая частота. Поскольку экспоненциальная функция мнимого аргумента
j T
z e
ω
=
– периодическая функция частоты с периодом
2
W
T
π
=
, то частотная характеристика цифрового фильтра
( )
H
ω
также является периодической функцией частоты с периодом W.
Вычисление коэффициентов цифрового фильтра, удовлетворяющего заданным условиям, принято называть проектированием (синтезом) фильтра, а устройство или программу, которые осуществляют преобразо- вание цифровых сигналов, – реализацией фильтра.
3.2. Нелинейная цифровая фильтрация
Класс нелинейных цифровых фильтров слишком большой для того, чтобы проводить его изучение в общем виде, поэтому ограничимся рас- смотрением одного из самых известных семейств нелинейных цифровых фильтров, а именно семейства порядковых фильтров. Они широко исполь- зуются в задачах цифровой обработки сигналов и изображений, в частно- сти для обнаружения объектов, выделения границ, подавления импульс- ных помех. Отклик порядкового p -фильтра определяется как p -я поряд- ковая статистика [20, 24, 25], т. е. элемент под номером p , где p – одно из чисел
{
}
0, 1, ,
1
N
−
…
, N – размер апертуры фильтра в вариационном ряду, полученном из выборки исходных данных, находящихся в пределах апертуры фильтра. В частности, при
0
p
= и
1
p N
= − выходная выборка будет описывать соответственно «нижнюю» и «верхнюю» огибающие сиг- нала, а при
2
p N
=
выходная выборка будет представлять результат ме- дианной фильтрации сигнала.
69
3.3. Нерекурсивные цифровые фильтры (НЦФ)
Нерекурсивные цифровые фильтры (НЦФ) характеризуются сле- дующими достоинствами:
− простота теоретического анализа: существует несколько хорошо из- вестных и апробированных методик расчета фильтров;
− наглядная связь коэффициентов фильтра с отсчетами его импульсной переходной характеристики;
− простота практической реализации;
− устойчивость фильтра;
− линейность фазовой характеристики (при условии симметричности фильтра), позволяющая уменьшить искажения фронтов импульсных сиг- налов (поэтому такие фильтры широко применяются в телекоммуникаци- онных системах).
Нерекурсивные фильтры широко применяются при обработке изобра- жений, поскольку описываются матрицей коэффициентов. Также двумерные фильтры являются естественным обобщением одномерных фильтров.
Отличительная особенность НЦФ – зависимость отсчетов выходного сигнала ( )
y n только от отсчетов входного сигнала в настоящий момент времени
( )
x n и предыдущие моменты
(
)
x n k
− . Алгоритм (уравнение)
НЦФ порядка N записывают в виде
( )
(
).
0
N
y n
a x n
k
k
k
=
−
∑
=
Для расчетов удобнее использовать фильтр порядка 2N с алгоритмом фильтрации вида
( )
(
).
N
k
k
N
y n
a x n
k
= −
=
−
∑
(3.8)
При N=2 можно записать
2 1
1 2
0
( )
(
2)
(
1)
( )
(
1)
(
2),
y n
a x n
a x n
a x n
a x n
a x n
−
−
=
+ +
+ +
+
− +
−
где
( )
x n – отсчет входного сигнала в момент времени
d
nT , ( )
y n – со- ответствующий выходной сигнал, T d – период дискретизации.
При такой записи алгоритма фильтрации выходной сигнал в момент времени n можно вычислить только тогда, когда станут известны «буду- щие» входные отсчеты. Это означает, что при вычислениях в реальном
70
времени выходной сигнал фильтра будет неизбежно запаздывать относи- тельно входного как минимум на время
t T
N
d
=
⋅
. При малых порядках фильтра такое запаздывание оказывается вполне допустимым для практи- ческих приложений (например при цифровой телефонной связи).
Если на НЦФ подать единичный импульс
1 при
0,
( )
0 при
0,
n
x n
n
=
⎧
= ⎨
≠
⎩
то согласно (3.8) на выходе должна появиться последовательность из
(
)
2 1
N
+ отсчетов, соответствующих весовым коэффициентам фильтра
k
a .
Очевидно, что эта последовательность конечна, поэтому НЦФ имеет ко- нечный импульсный отклик и называется КИХ-фильтром, или
FIR-фильтром (finite impulse response filtre) [16, 26, 38].
Если на НЦФ подать дискретное гармоническое колебание exp(
)
x
j nT
n
d
ω
=
, тогда из (3.8) следует exp[
(
)
]
N
y
a
j
n k T
n
k
d
k
N
ω
=
⋅
−
∑
= −
, откуда передаточная функция НЦФ имеет вид
( )
e x p (
)
e x p (
)
e x p (
) .
y n
H d
x n x
j n T
n
d
N
a
j k T
a
j k T
k
d
k
d
k
N
k
ω
ω
ω
ω
=
=
=
∞
=
−
=
−
∑
∑
= −
= − ∞
(3.9)
Нетрудно проверить, что ( )
Hd
ω
– функция частоты с периодом
2 Td
π
, т.е.
( )
(
2
),
1, 2,...
H
H
r
T
r
d
d
d
=
+ ⋅
= ±
ω
ω
π
Таким образом,
( )
d
H
ω
может быть представлена рядом Фурье в час- тотной области, причем коэффициенты
k
a этого ряда определяются соот- ношением
/
d
(
)exp(
)
2
/
d
k
d
T
T
a
H
j
j k T d
d
d
T
=
∫
−
π
ω
ω
ω
π π
. (3.10)
71
При расчетах удобно оперировать четными либо нечетными относи- тельно
k
коэффициентами
k
a . В этом случае упрощается вид передаточ- ной функции ( )
Hd
ω
. Для четных
k
k
a
a
−
=
передаточная функция
( )
Hd
ω
– вещественная и состоит из суммы взвешенных косинусоид
( )
2
cos
0 1
k
N
H
a
a
k T d
d
k
ω
ω
=
+ ∑
=
, а для нечетных
k
k
a
a
−
= −
– чисто мнимая и состоит из суммы синусоид
( )
2
sin
1
k
N
H
j
a
k T
d
d
k
ω
ω
= −
∑
=
3.4. Рекурсивные цифровые фильтры (РЦФ, или IIR)
Отсчеты выходного сигнала рекурсивного цифрового фильтра (РЦФ) в каждый момент времени зависят не только от отсчетов входного сигнала, но и от отсчетов выходного сигнала в предшествующие моменты време- ни. В общем случае уравнение РЦФ записывают в виде [16, 26, 38]
( )
(
)
(
)
0 1
k
k
N
M
y n
a x n N
b y n k
k
k
=
−
−
−
∑
∑
=
=
. (3.11)
Большее из двух чисел M, N определяет порядок фильтра.
На простейших примерах можно показать, что импульсная переда- точная характеристика (ИПХ) рекурсивного фильтра бесконечна, поэтому такой фильтр именуют БИХ, или IIR-фильтром (infinite impulse response).
Действительно, пусть уравнение РЦФ имеет вид
0,5 1
y
y
x n
n
n
=
+
− .
Подадим на такой фильтр единичный импульс
1,
0,
0 0,
0.
n
x
x
n
n
=
⎧
=
= ⎨
=
⎩
Поскольку в моменты времени, предшествующие
0
n
= , фильтр не был возбужден, т.е. 0 1
y
=
−
, получаем: при
0 1;
0,5 1;
0 0
0 0
1
при
1 0;
0,5 0,5;
1 1
1 0
при
2 0;
0,5 0,25 2
2 2
1
n
y
y
x
x
x
n
y
y
x
x
n
y
y
x
x
=
=
=
+
=
=
−
=
=
= +
=
=
=
=
+
=
и так далее, т.е. ИПХ длится бесконечно долго.