Титульный лист

19 вариант

1 ОПТИМИЗАЦИЯ ПЛАНА ВЫПУСКА ПРОДУКЦИИ ПРИ ОГРАНИЧЕННЫХ РЕСУРСАХ

Задание 1

Мебельная фабрика выпускает два вида изделий: шкафы и столы. В производстве применяется оборудование трех типов: фрезерные, сверлильные и шлифовальные станки. Нормы времени работы каждого вида оборудования в час, необходимые для изготовления одного изделия каждого вида, а также ресурсы рабочего времени для каждого вида оборудования, известны и приведены в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Оборудование	Затраты машинного времени на обработку единицы продукции, ч		Эффектив-ный фонд времени станков, ч	Цена за простой единицы оборудования, ден.ед.
	Шкаф	Стол
(фрезерные станки)	14	18	892	2,5
(сверлильные станки)	14	20	960	4,8
(шлифовальные станки)	20	0	760	0,1
Прибыль от реализации единицы продукции, ден. ед.	40	25

Фабрика получает прибыль от изготовления и реализации одного шкафа в размере ден.ед. и одного стола – в размере ден.ед. Цена за простой 1 часа оборудования составляет ден.ед., . Эти данные содержатся в таблице.

Требуется определить план выпуска изделий каждого вида, при котором время работы оборудования не превышало бы допустимого фонда времени, и при этом

• 
  во-первых, была получена наибольшая общая прибыль;
  
• 
  во-вторых, был получен минимальный штраф за простой оборудования;
  
• 
  в третьих, была получена наибольшая общая прибыль с учетом штрафа за простой оборудования.
  

---

Выполнение

Пусть

x₁ и x₂ – количество шкафов и столов, которые необходимо изготовить на предприятии, пусть

z – общая прибыль от реализации готовой продукции,

w – суммарные издержки (штраф) предприятия за простой оборудования,

F = z – w – общая прибыль от реализации готовой продукции за вычетом штрафа предприятия за простой оборудования.

1.1 Математическая модель максимизации прибыли

Фактическая загрузка по каждой группе оборудования равна: 14x₁ + 18x₂ – для строгальных станков, 14x₁ + 20x₂ – для фрезерных станков, 20x₁ + 0x₂ – для шлифовальных станков. Коэффициенты при неизвестных обозначают здесь нормы затрат машинного времени на обработку одного шкафа и одного стола. Загрузка по каждой группе оборудования не должна превышать фонда машинного времени, т.е.:



Неизвестные, очевидно, должны быть неотрицательными:



Неравенства (1) и (2) образуют систему ограничений. Общая прибыль от реализации готовой продукции (цель 1) выражается формулой

(3)

Таким образом, математическая модель задачи по критерию максимальной прибыли состоит в определении чисел и , удовлетворяющих системе ограничений (1) - (2), для которых значение функции (3) будет максимальным. Это есть задача линейной оптимизации.

1.2 Математическая модель минимизации штрафа

Составим математическую модель для второго критерия. Из ограничений следует, что время простоя станков равно:

– для строгальных станков,

– для фрезерных станков,

– для шлифовальных станков,

поэтому суммарные издержки предприятия за простой оборудования (цель 2) составляют:

---

или

(5)

Таким образом, математическая модель задачи по второму критерию состоит в минимизации целевой функции (5) при условиях, что неизвестные и удовлетворяют системе ограничений (1) и неравенствам (2). Это также есть задача линейной оптимизации.
1.3 Графическое решение задачи максимизации прибыли

На рис. 1 приведено графическое решение задачи по критерию (3). На основе системы ограничений (1) – (2) строится допустимая область в виде многоугольника OABCD. Покажем, например, как построена прямая I. В уравнении положим тогда получим . Затем положим тогда . Через две точки проведем прямую I. Неравенство определяет полуплоскость, расположенную ниже этой прямой. Аналогично неравенство задает полуплоскость, расположенную под прямой II, а неравенство – полуплоскость, расположенную левее прямой III. Условия неотрицательности (2) в совокупности определяют первый квадрант координатной плоскости.

Оптимальное решение задачи по первому критерию определяется следующим образом. Строится вектор p₁(40;25), координаты которого равны (или пропорциональны) коэффициентам целевой функции (3). Перпендикулярно этому вектору изображается прямая (линия уровня целевой функции), которая перемещается в направлении вектора, пока прямая имеет общие точки с допустимой областью. Оптимальное решение по первому критерию есть точка пересечения допустимой области с линией уровня, отвечающей максимальному значению . Это есть вершина

---

. Координаты точки C(38;20) определяются по графику приближенно. Они дают оптимальное решение задачи по первому критерию.


x₁

x₂


Рис. 1. Графическое решение задачи по первому критерию

Таблица 1

I			II			III
x1	x2		x1	x2		x1	x2
0	49,6		0	48,0		38,0	0
63,7	0		68,6	0
C(40;25)
x1	x2
0	0,0
40	25,0

---

Таким образом, выпуск продукции в количествах 38 и 20 ед. соответственно обеспечивает предприятию максимальную общую прибыль. Построение допустимой области можно выполнить в Excel. Для этого в соответствии с уравнениями системы (1) образуем табл. 1.

В ячейках введем формулы из табл. 2.

Таблица 2

I			II			III
x1	x2		x1	x2		x1	x2
0	=892/18		0	=960/20		=760/20	0
=892/14	0		=960/14	0
C(40;25)
x1	x2
0	0
40	25

---

Смотрите также файлы

• Эссе біріай трбиелік ортада трбие жйесін руа байланысты сынып жетекшіні іс рекеті.docx

• Среди причин, вследствие которых началась чеченская война, выделяют.docx

• Задание на самоконтроль выберите морфологические проявления гипертрофии.docx

• Методы определения энерготрат человека.docx

• Общие вопросы клинической фармакологии, принципы рациональной фармакотерапии Нежелательные лекарственные реакции. Взаимодействие лекарственных средств Задания для проверки исходного уровня.docx