Файл: Понятие дифференциала и его приложения.docx

МИНИСТЕРСТВО ОБРОЗОВАНИЯ И НАУКИ ПЕРМСКОГО КРАЯ ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРОЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧЕРЕЖДЕНИЯ «ВЕРЕЩАГИНСКИЙ МНОГОПРОФЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ».

23.02.06. Техническая эксплуатации подвижного состава железных дорог

Проектная работа

Тема: понятие дифференциала и его приложения

Выполнила: Сятчихин Иван Андреевич Группа № ТЭ – 101

Руководитель работы: ____________ / Дорофеева М.В.

Верещагино, 2017.

Оглавление

Введение 3

1. Понятие производной 4

1.1. Исторические сведения 4

1-2. Понятие производной 6

1-3. Правила дифференцирования и таблица производных 6

2. Геометрический смысл производной 7

2-1. Касательная к кривой 7

2-2. Касательная плоскость к поверхности 7

3. Использование производной в физике 9

3-1. Скорость материальной точки 9

3-2. Теплоемкость вещества при данной температуре 9

3-3. Мощность 10

4. Дифференциальное исчисление в экономике 11

4-1. Исследование функций 11

4-2. Эластичность спроса 12

5. «Применение физического смысла производной при решении физических задач». 14

5.1.Производная в электротехнике 14

5.2.«Решение химических и биологических задач с помощью производной»; 16

5.3.«Решение задач с географическим, экономическим содержанием». 18

Заключение 20

Литература 21

Введение

Дифференцирование функции есть одна из важнейших операций математического анализа, которую мы должны поэтому тщательно изучить. Учение о правилах дифференцирования и о свойствах производных называется

---

 дифференциальным исчислением и составляет собой один из основных разделов математического анализа. В первую очередь мы должны овладеть рядом как общих правил, так и специальных приемов дифференцирования, которые в конечном счете позволят нам находить производные и дифференциалы весьма широкого класса функций, в том числе – всех элементарных функций.

Цель:

ознакомится с понятием дифференциала и его приложением.

Задачи:

• 
  Изучить понятия производной и его исторические сведения
  
• 
  Понятие дифференцирования и правила.
  
• 
  Изучить его приложения
  
• 
  Применение в жизни
  

1. Понятие производной

1.1. Исторические сведения

Дифференциальное исчисление — раздел математического анализа, в котором изучаются понятия производной и дифференциала и способы их применения к исследованию функций.

В современном научном сообществе принято однозначно разделять науку на античный период и период нового времени. Но в чём же состоит отличие этих периодов? Чем принципиально отличался научный подход Платона, Аристотеля и прочих известных учёных античности от подхода крупных деятелей науки нового времени? В реальности, у разделения на два периода существует множество оснований. В рамках данной статьи мы рассмотрим одно, наиболее фундаментальное и показательное основание – возникновение дифференциального исчисления. Через предпосылки к появлению этого известнейшего метода в современной науке в трудах философов и математиков мы сможем проследить чёткую границу между античным и современным взглядом на науку, однозначно ответив на поставленные в начале статьи вопросы.

Рубеж XVI-XVII вв. в истории науки действительно был переломным моментом, когда европейская наука совершила качественный скачок. В это время был совершен переход от античной науки к науке нового времени. Ни для кого не секрет, что «локомотивами» прогресса в рассматриваемый период были такие великие учёные как Рене Декарт, Галилео Галилей, Иоганн Кеплер, Бонавентура Кавальери, Исаак Ньютон. Каждый из них сказал свое новое слово в механике, математике, астрономии и прочих дисциплинах. Но не столько важны их заслуги в отдельных науках, сколько важен вклад в формирование методологии науки нового времени. Плоды трудов этих известных ученых в области методологии науки имели широкое распространение, и многие из них по сей день остаются основополагающими принципами современной науки. Но что связывает изыскания названных ранее великих умов между собой? Легче всего связь методологических достижений самых крупных деятелей науки XVI-XVII вв. можно проследить именно через историю возникновения дифференциального исчисления и «принцип непрерывности», так или иначе встречающийся в трудах Кеплера, Кавальери, Декарта, а позднее Ньютона и Лейбница. Формировавшееся изначально как прикладной метод, не имеющий отношения к науке, дифференциальное исчисление присутствовало во многих фундаментальных научных трудах в виде частных положений, базовых принципов и позднее сформировалось в полноценный научный метод. П.П. Гайденко в монографии «История новоевропейской философии в её связи с наукой» берет за точку отсчета обособленного формирования дифференциального исчисления труд Иоганна Кеплера «Новая стереометрия винных бочек» относимый к 1615 году. Как отмечалось, Кеплер не рассматривал дифференциальное исчисление как новый метод в математике; скорее как метод так называемой логистики, отвечавшей за решение прикладных задач. Кеплер не считал дифференциальное исчисление относящимся к строгой науке по причине своей неточности и малой теоретической обоснованности, что противоречило его пониманию о строгой науке. Позднее, отмечает П.П. Гайденко, Бонавентурой Кавальери была сделана попытка преобразовать технический метод, предложенный Кеплером, в полноценный научный метод в своем труде «Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых непрерывного» 1635-го года. Однако, как отмечается в рассматриваемой монографии, нельзя считать труд Кеплера как однозначное начало дифференциального исчисления.

---

Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия на основе двух задач:

1) о разыскании касательной к произвольной линии

2) о разыскании скорости при произвольном законе движения

Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского математика

Тартальи (около 1500 - 1557 гг.) - здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда.

В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Л. Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли

Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.

1-2. Понятие производной

Пусть y = f(x) есть непрерывная функция аргумента x, определенная в промежутке

(a; b), и пусть х₀ - произвольная точка этого промежутка

Дадим аргументу x приращение ∆x, тогда функция y = f(x) получит

приращение ∆y = f(x + ∆x) - f(x). Предел, к которому стремится

отношение ∆y / ∆x при ∆x → 0, называется производной

от функции f(x).

1-3. Правила дифференцирования и таблица производных

(xⁿ) = nx^n-1 (sin x)' = cos x x' = 1 (1 / x)' = -1 / x² (cos x)' = -sin x (Cu)'=Cu'(√x)' = 1 / 2√x (tg x)' = 1 / cos² x (uv)' = u'v + uv' (a^x)' = a^x ln x (ctg x)' = 1 / sin² x (u / v)'=(u'v - uv') / v² (e^x)' = e^x (arcsin x)' = 1 / √ (1- x²) (log_ax)' = (log_ae) / x (arccos x)' = -1 / √ (1- x²) (ln x)' = 1 / x (arctg x)' = 1 / √ (1+ x²) (arcctg x)' = -1 / √ (1+ x²)

2. Геометрический смысл производной

2-1. Касательная к кривой

Пусть имеем кривую и на ней фиксированную точку M и точку N. Касательной к точке M называется прямая, положение которой стремится занять хорда MN, если точку N неограниченно приближать по кривой к M.

Рассмотрим функцию f(x) и соответствующую этой функции кривую y = f(x). При некотором значении x функция имеет значение y = f(x). Этим значениям на кривой соответствует точка M(x₀, y₀). Введем новый аргумент x₀ + ∆x, его значению соответствует значение функции y₀ + ∆y = f(x₀ + ∆x). Соответствующая точка - N(x₀ + ∆x, y₀ + ∆y). Проведем секущую MN и обозначим φ угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox. Из рисунка видно, что ∆y / ∆x = tg φ. Если теперь ∆x будет приближаться к 0, то точка N будет перемещаться вдоль кривой , секущая MN - поворачиваться вокруг точки M, а угол φ - меняться. Если при ∆x → 0 угол φ стремится к некоторому α, то прямая, проходящая через M и составляющая с положительным направлением оси абсцисс угол α, будет искомой касательной. При этом, ееугловой коэффициент:

---

То есть, значение производной f '(x) при данном значении аргумента x равно тангенсу угла, образованного с положительным направлением оси Ox касательной к графику функции f(x) в точке M(x, f(x)).Касательная к пространственной линии имеет определение, аналогичное определению касательной к плоской кривой. В этом случае, если функция задана уравнением z = f(x, y), угловые коэффициенты при осях OX и OY будут равны частным производным f по x и y.

2-2. Касательная плоскость к поверхности

Касательной плоскостью к поверхности в точке M называется плоскость, содержащая касательные ко всем пространственным кривым поверхности, проходящим через M - точку касания. Возьмем поверхность, заданную уравнением F(x, y, z) = 0 и какую-либо обыкновенную точку M(x₀, y₀, z₀) на ней. Рассмотрим на поверхности некоторую кривую L, проходящую через M. Пусть кривая задана уравнениями x = φ(t); y = ψ(t); z = χ(t). Подставим в уравнение поверхности эти выражения. Уравнение превратится в тождество, т. к. кривая целиком лежит на поверхности. Используя свойство инвариантности формы дифференциала, продифференцируем полученное уравнение по t:

Уравнения касательной к кривой L в точке M имеют вид:

Т. к. разности x - x₀, y - y₀, z - z₀ пропорциональны соответствующим дифференциалам, то окончательное уравнение плоскости выглядит так:

F'_x(x - x₀) + F'_y(y - y₀) + F'_z(z - z₀)=0 и для частного случая z = f(x, y): Z - z₀ = F'_x(x - x₀) + F'_y(y - y₀)

Пример: Найти уравнение касательной плоскости в точке (2a; a; 1,5a) гиперболического параболоида

Решение:

Z'_x = x / a = 2; Z'_y = -y / a = -1

Уравнение искомой плоскости:

Z - 1.5a = 2(x - 2a) - (Y - a) или Z = 2x - y - 1.5a

3. Использование производной в физике

3-1. Скорость материальной точки

Пусть зависимость пути s от времени t в данном прямолинейном движении материальной точки выражается уравнением s = f(t) и t₀ –некоторый момент времени. Рассмотрим другой момент времени t, обозначим ∆t = t – t ₀ и вычислим приращение пути: ∆s = f(t₀ + ∆t) - f(t₀). Отношение ∆s / ∆t называют средней скоростью движения за время ∆t, протекшее от исходного момента t₀. Скоростью называют предел этого отношения при ∆t → 0. Среднее ускорение неравномерного движения в интервале (t; t + ∆t) – это величина =∆v / ∆t. Мгновенным ускорением материальной точки в момент времени t будет предел среднего ускорения: То есть первая производная по времени (v'(t)).

---

Пример: Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением s = A + Bt + Ct² +Dt³ (C = 0,1 м/с, D = 0,03 м/с²). Определить время после начала движения, через которое ускорение тела будет равно 2 м/с².

Решение: v(t) = s'(t) = B + 2Ct + 3Dt²; a(t) = v'(t) = 2C + 6Dt = 0,2 + 0,18t = 2; 1,8 = 0,18t; t = 10 c

3-2. Теплоемкость вещества при данной температуре

Для повышения различных температур T на одно и то же значение, равное T₁ - T, на 1 кг. данного вещества необходимо разное количество теплоты Q₁ - Q, причем отношение для данного вещества не является постоянным. Таким образом, для данного вещества количество теплоты Q есть нелинейная функция температуры T: Q = f(T). Тогда ΔQ = f(t + ΔT) - f(T). Отношение называется средней теплоемкостью на отрезке [T; T + ΔT], а предел этого выражения при ∆T → 0 называется теплоемкостью данного вещества при температуре T.

3-3. Мощность

Изменение механического движения тела вызывается силами, действующими на него со стороны других тел. Чтобы количественно характеризовать процесс обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике вводится понятие работы силы. Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности:

4. Дифференциальное исчисление в экономике

4-1. Исследование функций

Дифференциальное исчисление - широко применяемый для экономического анализа математический аппарат. Базовой задачей экономического анализа является изучение связей экономических величин, записанных в виде функций. В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении импортных пошлин? Увеличится или уменьшится выручка фирмы при повышении цены на ее продукцию? В какой пропорции дополнительное оборудование может заменить выбывающих работников? Для решения подобных задач должны быть построены функции связи входящих в них переменных, которые затем изучаются с помощью методов дифференциального исчисления. В экономике очень часто требуется найти наилучшее или оптимальное значение показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки и т. д. Каждый показатель представляет собой функцию от одного или нескольких аргументов. Таким образом, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума функции. По теореме Ферма, если точка является экстремумом функции, то производная в ней либо не существует, либо равна 0. Тип экстремума можно определить по одному из достаточных условий экстремума:

---