Файл: Понятие дифференциала и его приложения.docx

1) Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x₀. Если производная f '(x) при переходе через точку x₀ меняет знак с + на -, то x₀ - точка максимума, если с - на +, то x₀ - точка минимума, если не меняет знак, то в этой точке нет экстремума.

2) Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки x₀, причем f '(x₀) = 0, f ''(x₀) ≠ 0, то в точке x₀ функция f(x₀) имеет максимум, если f ''(x₀) < 0 и минимум, если f ''(x₀) > 0.

Кроме того, вторая производная характеризует выпуклость функции (график функции называется выпуклым вверх [вниз] на интервале (a, b), если он на этом интервале расположен не выше [не ниже] любой своей касательной).

Пример: выбрать оптимальный объем производства фирмой, функция прибыли которой может быть смоделирована зависимостью:

π(q) = R(q) - C(q) = q² - 8q + 10

Решение:

π'(q) = R'(q) - C'(q) = 2q - 8 = 0 → q_extr = 4

При q < q_extr = 4 → π'(q) < 0 и прибыль убывает

При q > q_extr = 4 → π'(q) > 0 и прибыль возрастает

При q = 4 прибыль принимает минимальное значение.

Каким же будет оптимальный объем выпуска для фирмы? Если фирма не может производить за рассматриваемый период больше 8 единиц продукции (p(q = 8) = p(q = 0) = 10), то оптимальным решением будет вообще ничего не производить, а получать доход от сдачи в аренду помещений и / или оборудования. Если же фирма способна производить больше 8 единиц, то оптимальным для фирмы будет выпуск на пределе своих производственных мощностей.

4-2. Эластичность спроса

Эластичностью функции f(x) в точке x₀ называют предел

Спрос - это количество товара, востребованное покупателем. Ценовая эластичность спроса E_D - это величина, характеризующая то, как спрос реагирует на изменение цены. Если │E_D│>1, то спрос называется эластичным, если │E_D│<1, то неэластичным. В случае E _D=0 спрос называется совершенно неэластичным, т. е. изменение цены не приводит ни к какому изменению спроса. Напротив, если самое малое снижение цены побуждает покупателя увеличить покупки от 0 до предела своих возможностей, говорят, что спрос является совершенно эластичным. В зависимости от текущей эластичности спроса, предприниматель принимает решения о снижении или повышении цен на продукцию.

5. «Применение физического смысла производной при решении физических задач».

Применение производной в физике очень обширно. Рассмотрим несколько примеров применения производной в физических задачах.

Механическое движение- этоизменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени.

Основной характеристикой механического движения служит скорость. Алгоритм нахождения скорости тела с помощью производной. Если закон движения тела задан уравнением s = s (t), то для нахождения мгновенной скорости тела в какой-нибудь определенный момент времени надо:

1.Найти производную s' = f '(t).

2. Подставить в полученную формулу заданное значение времени.

Задание. Автомобиль приближается к мосту со скоростью 72 км/ч. У моста висит дорожный знак "36км/ч". За 7 сек до въезда на мост, водитель нажал на тормозную педаль. С разрешаемой ли скоростью автомобиль въехал на мост, если тормозной путь определяется формулой s=20t-t²

Да, т.к. скорость через 7 сек. будет равна 6м/с (21,6 км/ч).

5.1.Производная в электротехнике

В наших домах, на транспорте, на заводах : всюду работает электрический ток. Под электрическим током понимают направленное движение свободных электрически заряженных частиц. Количественной характеристикой электрического тока является сила тока.

В цепи электрического тока электрический заряд меняется с течением времени по закону q=q (t). Сила тока I есть производная заряда q по времени. В электротехнике в основном используется работа переменного тока.

Электрический ток, изменяющийся со временем, называют переменным. Цепь переменного тока может содержать различные элементы: нагревательные приборы, катушки, конденсаторы.

Получение переменного электрического тока основано на законе электромагнитной индукции, формулировка которого содержит производную магнитного потока.

(Запишем)

Задание
Заряд, протекающий через проводник , меняется по закону

Найти силу тока в момент времени t=5 cек.

Сила тока равна 2 А

А так же:

Сила есть производная работы по перемещению,

т.е. F=A^/(x)

Теплоемкость – есть производная теплоты по температуре, т.е. C(t) = Q^/(t)

d(l)=m^/(l) - линейная плотность

K (t) = l^/(t) - коэффициент линейного расширения

ω (t)= φ^/(t) - угловая скорость

а (t)= ω^/(t) - угловое ускорение

N(t) = A^/(t) - мощность

Задание: теплота.

1. Пусть Q (t) количество теплоты, которое необходимо для нагревания тела массой 1 кг от 0

⁰С до температуры t⁰ (по Цельсию), известно, что в диапазоне 0⁰ до 95⁰, формула Q (t) = 0,396t+2,08110^-3t²-5,02410^-7t³ дает хорошее приближение к истинному значению. Найдите, как зависит теплоёмкость воды от t.

Решение. C (t) = Q ^/ (t) = 0,396 + 4,162*10^-3 t – 15,072*10^-7t²

5.2.«Решение химических и биологических задач с помощью производной»;

И в химии нашло широкое применение дифференциальное исчисление для построения математических моделей химических реакций и последующего описания их свойств.

Химия – это наука о веществах, о химических превращениях веществ.

Химия изучает закономерности протекания различных реакций.

Скоростью химической реакции называется изменение концентрации реагирующих веществ в единицу времени.

Так как скорость реакции v непрерывно изменяется в ходе процесса, ее обычно выражают производной концентрации реагирующих веществ по времени.

Если C(t) – закон изменения количества вещества, вступившего в химическую реакцию, то скорость v(t) химической реакции в момент времени t равна производной: (Запишем)

Понятие на языке химии

Обозначение

Понятие на языке математики

Количество в-ва в момент времени t₀

c = c(t)

Функция

Интервал времени

∆t = t₂ – t₁

Приращение аргумента

Изменение количества в-ва

∆c = c(t+ t) – c(t)

Приращение функции

Средняя скорость химической реакции

∆c/∆t

Отношение приращён. функции к приращён. аргументу

Предел этого отношения при стремлении Δt к нулю - есть скорость химической реакции в данный момент времени V (t) = c ‘(t)

Найти скорость реакции в момент времени t = 10сек, если концентрация исходного продукта меняется по закону

Производная в биологии.

Популяция– это совокупность особей данного вида, занимающих определённый участок территории внутри ареала вида, свободно скрещивающихся между собой и частично или полностью изолированных от других популяций, а также является элементарной единицей эволюции.

Задача по биологии.

По известной зависимости численности популяции x (t) определить относительный прирост в момент времени t.

Понятие на языке биологии

Обозначение

Понятие на языке математики

Численность в момент времени t₁

x = x(t)

Функция

Интервал времени

∆t = t₂ – t₁

Приращение аргумента

Изменение численности популяции

∆x = x(t₂) – x(t₁)

Приращение функции

Скорость изменения численности популяции

∆x/∆t

Отношение приращения функции к приращению аргумента

Относительный прирост в данный момент

Lim ∆x/∆t

t 0

Производная

5.3.«Решение задач с географическим, экономическим содержанием».

Производная в географии.

Идея социологической модели Томаса Мальтуса состоит в том, что прирост населения пропорционально числу населения в данный момент времени t через N(t),

. Модель Мальтуса неплохо действовала для описания численности населения США с 1790 по 1860 годы. Ныне эта модель в большинстве стран не действует.

Выведем формулу для вычисления численности населения на ограниченной территории в момент времени t.

Пусть у = у(t)- численность населения.

Рассмотрим прирост населения за t = t-t₀

y = kyt, где к = к_р– к_с–коэффициент прироста (к_р–коэффициент рождаемости,

к_с– коэффициент смертности)

y:t=ky

При t0 получим limy/ t=у’

у’= к у

Производная в экономике.

П (t) = υ^/(t) - производительность труда,

гдеυ (t) - объем продукции

J(x) = y^/ (x) - предельные издержки производства,

гдеy– издержки производства в зависимости от объема выпускаемой продукцииx.

Задание.

Оборот предприятия за истекший год описывается через функцию U(t)=0,15t³ – 2t² + 200, где t – месяцы, U-миллионы.

Исследуйте оборот предприятия за 9 и 10 месяцы. Решение. Исследуем оборот предприятия с помощью производной: U'(t)=0,45t² - 4t Меньший оборот был на девятом месяце- 0,45. На 10 месяце -5.

Заключение

Дифференциальное исчисление используется всюду, где есть неравномерное протекание процесса: это и неравномерное механическое движение, и переменный ток, и химические реакции и радиоактивный распад вещества и т.д.

Мы убедились в важности изучения темы "Производная", ее роли в исследовании процессов науки и техники, в возможности конструирования по реальным событиям математические модели, и решать важные задачи.

Литература

Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. Пособие для средних спец. Учеб. Заведений/ Н. В. Богомолов._ 6-е изд.,_ М.: Высш. Шк.,-2016
Курош А.Г. Курс высшей алгебры: М., Физматгиз, 2015
Уваренков И. М. и Маллер М. З. Курс математического анализа. Учеб. пособие для физ. – мат.пед. ин-тов. Т. II, « Просвещение», 2016

Ссылка на источники:

https://ru.wikipedia.org/wiki

http://www.scienceforum.ru

http://sernam.ru/book_e_math

http://cyber.econ.spbu.ru