Файл: Исследование устойчивости цифровых сау.pdf

Исследование устойчивости цифровых САУ
Задание: внимательно изучите теоретический материал и приведенные примеры. Попробуйте самостоятельно исследовать устойчивость системы примера 4, приведенного в конце, с использованием всех рассмотренных критериев.
Корневой критерий
Для того чтобы цифровая система была асимптотически устойчива,
необходимо
и
достаточно,
чтобы
модули
всех
корней
ее
характеристического уравнения были меньше единицы.
Для того чтобы цифровая САУ была неустойчива, достаточно, чтобы
модуль хотя бы одного корня был больше единицы.
Для того чтобы цифровая САУ была на границе устойчивости,
необходимо и достаточно, чтобы у части корней модули равнялись единице,
причем среди них не должно быть кратных, а модули остальных корней
должны быть меньше единицы.
Этой теореме можно дать геометрическую интерпретацию с помощью рис. 1 и дать другую формулировку.
Рис. 1. Области расположения корней на плоскости z
Для того чтобы цифровая система была асимптотически устойчива,
необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического
уравнения находились внутри окружности единичного радиуса.
Для того чтобы цифровая система была неустойчива, достаточно,
чтобы хотя бы один корень характеристического уравнения находился вне
окружности единичного радиуса.
Для того чтобы цифровая система была на границе устойчивости,
необходимо и достаточно, чтобы часть корней характеристического
уравнения находилась на окружности единичного радиуса, причем среди них
не должно быть совпадающих, остальные должны находиться внутри
окружности.
Пример 1. Оценить устойчивость замкнутой цифровой системы регулирования тока электропривода с использованием корневого критерия,
Re z
1 1
-1
А
В
С
0
-1
Im z

если объект регулирования и ПИ регулятор описываются ДПФ:
( )
,
( )
(
)
1 1
iср
И
o
p
p
П
k
k Tz
z
d
W z
W z
k
k
z z
d
z
z
−
=
=
=
+
−
−
−
, где
/
,
,
(1
) /
э
T T
П
p
И
p
d
e
k
k d
k
k
d
T
−
=
=
=
−
Рис. 2. Структурная схема замкнутого контура регулирования тока
ДПФ разомкнутого контура:
( )
( )
( )
,
1 (
)
(
1)
iср
p
o
p
k
z
d
k
G z
W z W z
k
z
z z
d
z z
−
=
=
=
−
−
−
где
p iср
k
k k
=
- контурный коэффициент усиления.
Тогда ДПФ замкнутой системы
2
( )
( )
,
1
( )
G z
k
z
G z
z
z
k

=
=
+
− +
а характеристическое уравнение
2 0
z
z
k
− + = .
Решение этого уравнения дает:
- при 0 ≤ k ≤ 0,25 корни вещественные
1,2 0,5 0,25
z
k
=

− , при этом оба корня положительны и меньше 1;
- при k > 0,25 корни комплексно сопряженные
1,2 0,5 0,25
z
j k
=

−
, а модуль этих корней
1,2
z
k
=
Поэтому условием устойчивости данной системы является 0 < k < 1.
Алгебраические критерии
Для исследования устойчивости замкнутых цифровых систем по коэффициентам характеристического уравнения можно использовать w - преобразование. Вводится новая комплексная переменная w по зависимостям
1 1
,
1 1
w
z
z
w
w
z
+
−
=
=
−
+
w -преобразование переводит внутренность окружности единичного радиуса
(А) (см. рис. 1) в левую полуплоскость комплексной переменной w (см. рис.
3). Саму окружность (С) переводит в ось Im w, а внешнюю область по отношению к окружности (В) – в правую полуплоскость. В результате этого
W
o
(z)
W
p
(z)
ε(nT)
u(nT)
y(nT)
x(nT)
_

для исследования устойчивости цифровой системы можно использовать все критерии устойчивости, разработанные для линейных непрерывных систем, например, критерии Гурвица или Рауса.
Рис. 3. Области расположения корней на плоскости w
Пример 2. Оценить устойчивость замкнутого контура регулирования тока (см. пример 1) с использованием критерия Гурвица.
В ДПФ замкнутого контура регулирования тока выполним замену
1 1
w
z
w
+
=
−
:
2 2
2
(1
)
( )
(2
)
2(1
)
1 1
1 1
k
k
w
w
k w
k w
k
w
w
k
w
w
−

=
=
+
+
−
+
+
+

 −
+


−
−


Характеристическое уравнение
2
(2
)
2(1
)
0
k w
k w
k
+
+
−
+ =
имеет второй порядок. Необходимым и достаточным условием устойчивости по Гурвицу для такого уравнения является положительность всех его коэффициентов:
(2
)
0,
2(1
)
0,
0
k
k
k
+

−


откуда следует 0 < k < 1.
Аналог критерия Гурвица для цифровых систем 1 – 3 порядка
Порядок системы
Характеристическое уравнение
Условия устойчивости
1 1
0 0
a z
a
+
=
1 0
1 0
0 0
a
a
a
a
+

−

2 2
2 1
0 0
a z
a z
a
+
+
=
2 1
0 2
1 0
2 0
0 0
0
a
a
a
a
a
a
a
a
+
+

− +

−

А
Im w
Re w
В
С
B
А
0

3 3
2 3
2 1
0 0
a z
a z
a z
a
+
+
+
=
3 2
1 0
3 2
1 0
3 3
1 0
0 2
3 0
2 0
0 0
(
)
(
)
0 3(
)
0
a
a
a
a
a
a
a
a
a a
a
a a
a
a
a
a
a
+
+
+

−
+
−

−
−
−

+
−
−

Частотные критерии
Поскольку при переходе к частотным характеристикам в непрерывных системах принимается p=jω, то и в цифровых системах можно принять
j T
z
e

=
и, построив частотные характеристики разомкнутой системы от аргумента ω или ωТ, применить критерий устойчивости Найквиста. Однако при этом надо учитывать периодичность частотных характеристик цифровых систем и рассматривать только диапазон частот 0 < ω < π/T.
Другой подход основан на использовании псевдочастотных характеристик, которые получают путем двух последовательных подстановок:
1
,
1 2
w
T
z
w
j
w

+
=
=
−
Псевдочастотные характеристики строят в логарифмическом масштабе так же, как это делается в непрерывных системах. Формулировка критерия Найквиста остается прежней. Псевдочастотные характеристики дают приемлемую точность при значениях псевдочастоты
2
T

 .
Пример 3. Оценить устойчивость замкнутой цифровой системы с ДПФ
3 2
0,7
( )
0,5 0,2
z
z
z
z
z
−

=
−
+
−
и периодом дискретности Т = 0,2 с.
Для использования корневого критерия устойчивости запишем характеристическое уравнение замкнутой системы, приравняв знаменатель
ДПФ к нулю:
3 2
0,5 0,2 0
z
z
z
−
+
−
=
Используя средства Matlab, найдем корни этого уравнения. Можно использовать одну из двух функций: solve или roots. Результаты расчета показаны на рис. 4.
Получили три корня: один вещественный и два комплексно- сопряженных. Нетрудно видеть, что модули всех корней меньше единицы, следовательно система устойчива.

Рис. 4. Расчет корней характеристического уравнения
С помощью команд, представленных на рис. 5, можно получить график расположения нулей (о) и полюсов (х) на комплексной плоскости. Как видно из рис. 5, все полюсы ДПФ замкнутой системы не выходят за пределы единичной окружности, что свидетельствует об устойчивости системы.
Рис. 5. Карта нулей и полюсов ДПФ
При использовании
аналога
критерия
Гурвица запишем характеристическое уравнение в виде:
3 2
3 2
3 2
1 0
0,5 0, 2 0
a z
a z
a z
a
z
z
z
+
+
+
=
−
+
−
=

Условия устойчивости
3 2
1 0
3 2
1 0
3 3
1 0
0 2
3 0
2 0
1 1 0,5 0, 2 0,3 0
1 1 0,5 0, 2 2,7 0
(
)
(
) 1(1 0,5)
( 0, 2)[ 0, 2
( 1)]
0,66 0
3(
)
3[1 ( 0, 2)]
( 1)
( 0, 2)
3,6 0
a
a
a
a
a
a
a
a
a a
a
a a
a
a
a
a
a
+
+
+
= − +
−
=

−
+
−
= + +
+
=

−
−
−
=
−
− −
−
− −
=

+
−
−
=
+ −
− − − −
=

выполняются, система устойчива.
Для использования частотного критерия Найквиста найдем сначала
ДПФ разомкнутой системы:
3 2
2
( )
0,7 0,7
( )
1
( )
0,5 0,5
(
1)(
0,5)
z
z
z
G z
z
z
z
z
z
z

−
−
=
=
=
− 
−
−
+
−
−
Далее с использованием команды margin можно построить логарифмические частотные характеристики с указанием запасов устойчивости (рис. 6). ДПФ задается так же, как и в непрерывных системах, только в конце списка параметров указывается период дискретности. Из рисунка видно, что запасы по амплитуде и фазе положительны, система устойчива. Черная вертикальная линия обозначает частоту Найквиста π/Т =
15,7 рад/с, после которой идет периодическое повторение частотных характеристик цифровой системы.
Рис. 6. Логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы

Использование команды nyquist позволяет построить годограф разомкнутой системы, как это показано на рис. 7. Как видно из рисунка, годограф не охватывает точку с координатами (-1, j0) (обозначена красным крестиком), что говорит об устойчивости системы.
Рис. 7. Годограф разомкнутой системы
Таким образом, все рассмотренные критерии позволяют сделать вывод об устойчивости системы.
Пример 4. Оценить устойчивость замкнутой цифровой системы с ДПФ
3 2
1,5
( )
2 0,5
z
z
z
z

=
−
+
и периодом дискретности Т = 0,5 с.
Пример 5. Оценить устойчивость замкнутой цифровой системы, если
ДПФ разомкнутой системы имеет вид:
2 2
( )
2
G z
z
z
=
−
Период дискретности Т = 1 с.
Примеры 4 и 5 рассмотреть самостоятельно.