Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на p, то есть:

На основе рассмотренных теорем можно составить таблицу преобразования Лапласа. В таблице (рисунок 1) приведены наиболее часто встречающиеся преобразования. Здесь  - различные постоянные.

Оригинал	Изображение	Оригинал	Изображение
1
		(t)

---

Рисунок 1-таблица преобразований Лапласа.

1.3.Решение линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений
Дифференциальное уравнение - уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, её производные и независимые переменные; однако не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением.

Порядок дифференциального уравнения - наибольший порядок производных, входящих в него.

Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием.

Все дифференциальные уравнения можно разделить на линейные и не линейные.

Нелинейное дифференциальное уравнение - дифференциальное уравнение (обыкновенное или с частными производными), в которое по крайней мере одна из производных неизвестной функции (включая и производную нулевого порядка - саму неизвестную функцию) входит нелинейно.

Иногда под Н.Д.У. понимается наиболее общее уравнение определенного вида. Напр., нелинейнымобыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка наз. уравнение с произвольной функцией при этом линейное обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка соответствует частному случаю


Н. д. у. с частными производными 1-го порядка для неизвестной функции z от независимых переменных имеет вид:

где F- произвольная функция своих аргументов;

Решение дифференциальных уравнений - основное приложение операционного метода, основанного на преобразовании Лапласа.

Операционный метод включает следующие этапы:

1. 
   преобразование дифференциального уравнения с заданными начальными условиями по Лапласу; при этом образуется комплексное алгебраическое уравнение относительно изображения неизвестной функции;
   
2. 
   решение комплексного алгебраического уравнения;
   
3. 
   отыскание оригинала, искомого частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям.
   

---

Операционный метод решения системы линейных дифференциальных уравнений включает следующие этапы:

1. 
   преобразование системы дифференциальных уравнений по Лапласу; при этом образуется система линейных алгебраических уравнений относительно изображений искомых функций;
   
2. 
   решение системы алгебраических уравнений, например, методом Крамера;
   
3. 
   отыскание оригиналов методами обратного преобразования Лапласа.
   

Способ операционного исчисления применим к системе ДУ, когда задание сформулировано следующим образом:

Найти частное решение однородной системы дифференциальных уравнений , соответствующее начальным условиям  .

Как вариант, система может быть и неоднородной  – с «довесками» в виде функций    и   в правых частях:



Но, и в том, и в другом случае нужно обратить внимание на два принципиальных момента условия:

1. 
   Речь идёт только о частном решении.
   
2. 
   В скобочках начальных условий   находятся строго нули, и ничто другое.
   

Общий ход и алгоритм будет очень похож на решение дифференциального уравнения операционным методом. Из справочных материалов потребуется в решении линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений таблица преобразований Лапласа.

Глава 2. Эмпирические аспекты курсовой работы
2.1. Пример №1 решения линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений
С помощью операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений,  соответствующее  заданным начальным условиям.

.

Решение: Начало такое: с помощью таблицы преобразования Лапласа перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям. В задаче с системами ДУ  данный переход обычно прост:

Используя табличные формулы,  учитывая начальное условие 

, получаем:

---

С переменную y проделываем тот же самый путь, меняя в таблице «x» на «y». Используя те же преобразования, учитывая начальное условие  , находим:





Подставим найденные изображения в исходное уравнение:  :



Теперь в левых частях уравнений нужно собрать все слагаемые, в которых присутствует   или  . В правые частиуравнений необходимо перенести  все остальные слагаемые:



Далее в левой части каждого уравнения проводим вынесение за скобки:

При этом на первых позициях следует разместить  ,  а на вторых позициях  :



Полученную систему уравнений с двумя неизвестными  обычно решают по формулам Крамера. Вычислим главный определитель системы:



В результате расчёта определителя получен многочлен  .

Далее идет важный технический прием.  Данный многочлен лучше сразу же попытаться разложить на множители. В этих целях следовало бы попробовать решить квадратное уравнение , но сразу можно заметить, что  .

Таким образом, наш главный определитель системы:

, значит система имеет единственное решение.

Дальнейшее решение проведем по методу Крамера:

---

В итоге получаем операторное решение системы:



Преимуществом рассматриваемого задания является та особенность, что дроби обычно получаются несложными, и разбираться с ними значительно проще, нежели с дробями в задачах нахождения частного решения ДУ операционным методом. Далее решаем методом неопределенных коэффициентов, с помощью которого раскладываем каждую дробь на элементарные дроби:

1. 
   Разбираемся с первой дробью:
   

Таким образом: 

2. 
   Вторую дробь разваливаем по аналогичной схеме, при этом корректнее использовать другие константы (неопределенные коэффициенты):
   

Таким образом:  .

В результате операторное решение системы:



Также операторное решение можно записать в следующем виде:
 – так будет понятней завершающий этап – обратное преобразование Лапласа.

Перейдем от изображений к соответствующим оригиналам:









Подставим полученные изображения в операторное решение системы:



По правилам можно вынести за скобки, и тогда мы получим правильный ответ.

---

Смотрите также файлы

• Анализ внешних и внутренних факторов среды системы менеджмента качества организации.pdf

• Методические указания по выполнению курсовой работы по дисциплине Управление организацией (предприятием).pdf

• Курсовая работа по дисциплине Микроэкономика.docx

• Отчет научноисследовательской работы ( 1 семестр) по направлению подготовки 44. 04. 01 Педагогическое образование.docx

• Жизнь и творчество Николая Гоголя.docx