ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.12.2023
Просмотров: 22
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
| | | |
Степенно-показательная функция
– это функция, имеющая вид степенной функции
y = uv,
у которой основание u и показатель степени v являются некоторыми функциями от переменной x:
u = u(x); v = v(x).
Эту функцию также называют показательно-степенной или сложной показательной функцией.
Заметим, что степенно-показательную функцию можно представить в показательном виде:
Поэтому ее также называют сложной показательной функцией.
Далее мы покажем, что производная степенно-показательной функции определяется по формуле:
Найдем производную степенно-показательной функции
где
и 
есть функции от переменной 
.
Для этого логарифмируем уравнение (2), используя свойство логарифма:
Дифференцируем по переменной x:
Применяем правила дифференцирования сложной функции и произведения:
Подставляем в (3):
Отсюда
Итак, мы нашли производную степенно-показательной функции:
Если показатель степени
являются постоянной, то 
Тогда производная равна производной сложной степенной функции:
Если основание степени
являются постоянной, то 
Тогда производная равна производной сложной показательной функции:
Когда
и 
являются функциями от
x, то производная степенно-показательной функции равна сумме производных сложной степенной и показательной функций.
Вычисление производной приведением к сложной показательной функции.
Теперь найдем производную степенно-показательной функции
представив ее как сложную показательную функцию:
Дифференцируем произведение:
Применяем правило нахождения производной сложной функции:
И мы снова получили формулу (1).
Пример 1.
Найти производную следующей функции:
Решение:
Вычисляем с помощью логарифмической производной. Логарифмируем исходную функцию:
Из таблицы производных находим:
По формуле производной произведения имеем:
Дифференцируем (П1.1):
Поскольку
То
Ответ:
Пример 2.
Найдите производную функции
Решение:
Логарифмируем исходную функцию:
Из таблицы производных находим:
Применяем правило дифференцирования сложной функции:
Дифференцируем (П2.1), применяя формулу производной произведения двух функций:
Поскольку
То
Ответ:
| | | |