Файл: Министерство образования и науки российской федерации башкирский государственный университет нил "гамметт" уфимского государственного.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 04.12.2023

Просмотров: 234

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

СОДЕРЖАНИЕ

§4. Уравнения сильного разрыва и свойства ударных волн. В приложениях возникает необходимость в изучении классов движений, более широких, чем класс гладких движений. Это обобщенные движения, удовлетворяющие системе интегральных уравнений (1.4) с добавленным уравнением состояния. Удобно работать с абстрактным законом сохранения в форме (3.3), проинтегрировав его по t в интервале (t1, t2):  fdi v f ud dttttt 1 20Здесь интегрирование происходит по ограниченной области  R4 с кусочно гладкой границей  и сечениями  t гиперплоскостями tconst, подынтегральное выражение есть дивергенция четырехмерного вектора gff uf vf w,,,1 23. По теореме Остроградского - Гаусса объемный интеграл равен интегралу по граничной трехмерной поверхности  gd0, (4.1) где  – орт внешней нормали к . Если  – орт оси t, n – орт внешней нормали к сечению  t, то cos sin ,n(4.2)где  - угол между векторами l и , значит, cos sin .gffun  Уравнению (4.1) могут удовлетворять не только гладкие функции, с помощью которых оно было получено, но и разрывные функции. 27 Набор функций up, , , , определенных в  Rx t4, , называется обоб-щенным движением газа, если для любой замкнутой кусочно-гладкой ги- перповерхности  R4 эти функции удовлетворяют соотношениям 2 2cos sin0,cos sin0,1 1cos sin0.2 2u nduu n upnduup u nd    (4.3) Соотношения (4.3) получаются из (4.1) путем спецификации функций f ,соответственно законам сохранения (1.4). Если в области определения обобщенного движения существует ги- перповерхность  R4, на которой величины up, , , имеет разрыв первого рода, и вне которой это движение непрерывно, то такое движение называется движением с сильным разрывом, а сечение B(t) гиперпо- верхности  гиперплоскостями tconst называется поверхностью силь-ного разрыва. Поверхность сильного разрыва есть двумерная поверхность, двигающаяся со временем в пространстве R3. Скачки функций на поверхности сильного разрыва удовлетворяют уравнениям сильного раз-рыва. Для вывода этих уравнений на гиперповерхности  рассматривается малая ограниченная область  с гладкой границей  и строится ци- линдрическая поверхность  1 23, где 3 – боковая поверхность цилиндра с направляющей  ,1 и 2 – области параллельные  на расстоянии h от  (рис. 1). t h 1 h 3 y,z 2 x Рис. 1 28 В уравнении (4.1) интеграл разбивается на три интеграла по  1 23,,При предельном переходе h0 интеграл по 3 стремится к нулю, так как подынтегральная функция ограничена, а мера 3 стремится к нулю. Интегралы по 1,2 стремятся к интегралам по разным сторонам  с противоположно направленными нормалями 2 1,   Пусть  2 1aaa – символ скачка функции a на . Тогда из (4.1) следует соотношение cos sin0,nnffud где uu nnnn  , В силу произвольности    и непрерывно- сти подынтегрального выражения на  получается абстрактное уравнение сильного разрыва cos sin0.nnffu(4.4) Рассматривается поверхность сильного разрыва в момент t и tt :  B t B tt, . Пусть точки  MB t, NB tt  лежат на нормали поверхности    B t Ht, – проекция вектора MN на орт нормального вектора n. Скоростью перемещения поверхности  B t в направлении нормали n называется предел  DHttntlim0(4.5) Из рисунка 2 видно, что вектор D nln лежит в касательной плоскости к  и поэтому ортогонален . Из (4.2) следует связь между Dn и четырехмерной нормалью sin cos0.nDТогда (4.4) записывается в виде 29 f uDnnn0 (4.6) tt D nn t M n N x,y,z 0 Рис. 2 Применение (4.6) к конкретным уравнениям (4.3) дает уравнения сильного разрыва uDu uDpnuuDpunnnnnnn0 01 20 2(4.7) Упражнение 1. Показать, что скорость перемещения в направлении нормали n поверхности, заданной уравнением  F x t,0, равна DFnFnt  ,nFF||Пусть u составляющая вектора скорости, лежащая в касательной плоскости к поверхности разрыва B(t). Проектирование на эту плоскость второго из уравнений (4.7) дает соотношение  ()0,1, 2.nnii nnuD uuDuiОтсюда следуют два типа разрывов. Контактный разрыв: uDnn, p0,  un0. Через такой разрыв газ не течет, но 0.u    30 Ударная волна: uDnn, u0. Через такой разрыв газ течет. Вводится скорость течения газа относительно фронта в направлении нормали vuDnn. Из (4.7) следуют уравнения 2 2 1 1vv,(4.8) pvpv2 2 2 21 1 1 2,(4.9) 2 22 22 11 1 12 12 12p Vvp Vv , (4.10) 2 1uu(4.11) Упражнение 2. Вывести полезные соотношения из (4.8)(4.11) 2 22 21 12 11 21 21 22 1,,ppppvv  (4.12) vvppVV2 12 21 12,(4.13) 2 12 11 21 2ppVV , (4.14)       FuuFF2 0(4.15) Пусть  e V p, – уравнение состояния. Тогда вводится функция Гюгонио  HH V p V pe V pe V pVVpp, ;,,,,1 11 11 11 2 с которой уравнение (4.14) принимает вид H V pV p2 21 10,;,. Кривая H V p V p, ;,1 10 на плоскости RV p2, называется адиабатой Гюгонио с центром в точке V p1 1,. Она определяет возможные состояния ударного перехода. Далее формулируются свойства адиабаты Гюгонио для нормального газа. Теорема 1. Адиабата Гюгонио с центром V p1 1, задается трижды непрерывно дифференцируемой функцией  VW pW p V p;,,1 1(4.16) 31 которая однозначно определена и убывает для  p0,Доказательство. В силу (2.7) 2 20 1HeppVV , H  при V . В силу (2.8) He V pV pp 1 11 11 20, при V0. Поэтому для каждого  p0, существует единственное значение  VW p, при котором H=0. Гладкость функции W следует из определения нормального газа, т.е. из гладкости функции e. Дифференцирование тождества  H W p p V p, ;,1 10 дает 2 20 11epp WeW pVVpp ( )(4.17) Из свойств нормального газа следует1 20Vepp , а также 1 11 11 11 11( , )( ,)2 22 22 0.()ppe V pe V peeeepe peWVepppppp pp Из соотношения (4.17) следует неравенство  0.pWpСледствие. Вдоль адиабаты Гюгонио существуют предельные значения  0 10lim,pVW pV  1limpVW pVТеорема 2. Вдоль адиабаты Гюгонию с центром V p1 1, справедливо соотношение   limppS pS pppk1 11 31 0(4.18) Адиабата Гюгонию имеет касание второго порядка с адиабатой Пуассона SS1Доказательство. Вдоль адиабаты Гюгонио из первого закона термодинамики (2.1) и уравнения состояния следуют тождества 32       ,,,,,e pe W p pe V pW pVppTSepWg W p S pp   1 11 11 2Дифференцирование по p дает 2 22 24 21 11 1TSpp WWVT STSpp WT ST STSWpp W           ,,;(4.19) g Wg SgWgW SgSg Wg SVSVVVSSSVS        1 20 22,В точке V p1 1, отсюда получаются выражения для производных       SSSgT gWgWggVVVVVVV1 11 13 11 30 02 01,,,,Формула Тейлора дает формулу (4.18) с kS1 11 6Адиабата Пуассона  VV pопределяется равенством  g V p Sp,1Дифференцирование по p этого тождества дает g VgVg VVVVV   1 02,. Отсюда     WVWV1 11 1,, что доказы- вает касание второго порядка адиабат Пуассона и Гюгонио. Следствие. Из определения скорости звука  afS2, и формул (4.12), (4.13) следуют соотношения вдоль адиабаты Гюгонио при pp2 1: ppauDauDauuppannnnnn2 12 11 21 12 12 12 11 1 1,,,Таким образом, слабые ударные волны (сила скачка  ppp2 1 стремится к нулю) распространяются со скоростью звука относительно потока газа, а скачек энтропии есть величина третьего порядка малости. 33 Теорема 3. Вдоль адиабаты Гюгонио с центром V p1 1, S p0 при pp1(4.20) Доказательство. В силу теоремы 2 неравенство (4.20) справедливо в окрестности точки p1. Пусть  S p2 0, pp2 1,  VW p2 2. Прямая : VVVVpppp1 21 21 1 имеет отрицательный наклон, и в силу свойств адиабаты Пуассона из § 2 на ней имеется лишь одна экстремальная точка для энтропии. Для уравнения состояния вдоль адиабаты Гюгонио   S pW p p , справедливо равенство  VpW p2 0, а вдоль адиабаты Пуассона   SV p pV pVp2 20,Значит,   V pW p2 2 и обе адиабаты касаются прямой  в точке V p2 2, в силу (4.19). Вдоль  справедливы равенства dHdVV dppp dVdpdVTdS1 21 21 1(4.21) Функция H обращается в нуль в точках V p1 1,, V p2 2, и по теореме Ролля dH=0 в точке V p3 3, на прямой . Тогда  dS p3 0 и на прямой имеется две экстремальные точки. Противоречие. Следствие. Адиабата Гюгонио звездна относительно своего центра, т.е. всякий луч, выходящий из центра, может пересечь адиабату Гюгонио в одной точке. Вдоль адиабаты Гюгонио энтропия возрастает с ростом давления. Из второго закона термодинамики в теплоизолированной частице энтропия должна возрастать при переходе через ударную волну. Следовательно, из теоремы 3 возрастает давление и плотность. Теорема 4 (Цемплен). Абсолютная величина нормальной со- ставляющей скорости частицы относительно ударной волны до перехода 34 фронта ударной волны больше скорости звука, а после перехода фронта меньше скорости звука. Доказательство. Пусть состояние 1 – перед фронтом, а состояние 2 – за фронтом. Рассматривается изменение энтропии на отрезке прямой : ppk VV1 1, соединяющей две точки V p1 1, и V p2 2, адиа- баты Гюгонио с центром в точке V p1 1,, pp2 1, kppVV2 12 10. Из соотношения (4.21), справедливого вдоль , следует dS=0 в некоторой точке рассматриваемого отрезка. В силу свойств адиабат Пуассона в этой точке достигается максимум энтропии на отрезке, т.е. SSVV1 20 0,Дифференцирование уравнения состояния ( , )pg V S вдоль  дает соот- ношение kgg SVSV. Так как gS0 для нормального газа, то gkgVV1 2. В силу равенств gaV 2 2, (4.12) неравенства принимают вид: appvappv2 21 22 12 12 21 22 12 12 11 2,, которые рав- носильны утверждению теоремы. Уравнения сильного разрыва связывают семь величин upupDnnn1 11 22 2,,;,,,Теорема 5. Пусть заданы состояние по одну из сторон ударной волны upn1 11,, и еще одна из величин upDnn2 22,,,Тогда уравнения ударного перехода определяют остальные величины и состояние частицы до или после прохождения ударной волны. Доказательство. Пусть задано p2. Если pp pp2 12 1, то частица в состоянии 1 находится до (после) прохождения через ударную волну. По адиабате Гюгонио определяется V2 21. После чего из (4.12) и (4,8) 35 определяются   Dupnn1 21, uDuDnnnn2 12 1. Если нормаль направлена в сторону состояния 1, то выбирается знак +(–). Пусть задано 2. Сравнение с 1 определяет сторону ударной волны. Адиабата Гюгонио определяет p2, если 1 12V или 1 12 0V(4.22) Скорости определяются как при задании p2Пусть задана величина Dn. Определяется aV gV SfSV1 21 21 11 1 ,,. По теореме 4 при va1 1 состояние 1 до прохождения ударной волны, при va1 1 состояние 1 после прохождения ударной волны. В последнем случае должно быть выполнено условие 1 22 11 1 01vp VVV(4.23) Тогда (4.12), (4.14) имеют единственное решение V p2 2,, отличное от V p1 1,, в силу звездности адиабаты Гюгонию. После этого определяется un2 по формуле (4.8). Пусть задана величина un2. Значения V p2 2, определяются как точки пересечения гиперболы (4.13) и адиабаты Гюгонио. Возможны два или одно решение (см. рис.3). p p1 0 V1V0V Рис. 3 36 Точка пересечения с верхней ветвью гиперболы отвечает состоянию 1 частицы до прохождения ударной волны. Точка пересечения с нижней ветвью гиперболы отвечает состоянию частицы после прохождения ударной волны и возможна при условии 2 21 10 1nnuup VV(4.24) Dn определяется как в первом случае. Упражнение 3. Вывести следствие теоремы 1 и ограничения (4.22), (4.23), (4.24). Упражнение 4. Выяснить взаимное расположение адиабаты Гюгонио с центром V p1 1,, хорды соединяющей точки V p1 1, и V p2 2,, адиабат Пуассона SS1 и SS2, адиабаты Гюгонио с центром V p2 2,Упражнение 5. Для каких уравнений состояния возможно, что скорость ударной волны есть линейная функция нормальной скорости. Уравнения сильного разрыва (4.7) выводились из интегральных за- конов сохранения (1.4), которые инвариантны относительно группы G11Следовательно (4.7) инвариантны относительно удвоенной на зависимые переменные группы G11 37 1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   15

§7. Групповой анализ. Уравнения газовой динамики (3.5), (3.6), (3.9) инвариантны при дейст- вии G11 группы Галилея, расширенной растяжением. Существуют ли другие однопараметрические группы преобразований, допускаемые уравнениями газовой динамики? Ответ отрицательный, если уравнение состояния 52  p fS , общего вида. Для специальных уравнений состояния допускаемая группа расширяется. Существует алгоритм вычисления группы, допускаемой дифференци- альными уравнениями. Он основан на соответствии между однопараметри- ческими группами преобразований и линейными дифференциальными опе- раторами первого порядка. Пусть xi i,, , , ,012 3 независимые переменные; u kk,,, ,1 5 зависи- мые переменные, x f x u, a ug x u, a ii kk,,,(7.1) однопараметрическая группа преобразований, т.е. суперпозиция двух преобразований с параметрами a a1 2, есть преобразование из этого же се- мейства с параметром a a a3 12 ,. Функция  задает закон умножения. При a=0 (7.1) задает тождественное преобразование. Тогда функции i ai ak ak au)f u)g(x,,(x,0 0 задают опера- тор дифференцирования вдоль орбиты группы (7.1) в точке a=0: Xixkuik  (7.2) Для каждого оператора (7.2) решается задача Коши aiiakkaxx uux ux ux u   ( ,),,, ( ,),0(7.3) Решение задачи (7.3) есть однопараметрическая группа с канониче-ским законом умножения aa a3 21 (его всегда можно ввести заменой группового параметра). Если однопараметрические группы образуют группу Ли G, то им соот- ветствующие операторы образуют алгебру Ли L – векторное пространство с коммутатором двух элементов 1 21 22 11 2 2 1 1 2 2 1,ikiikkxuX XX XX XXXXX  (7.4) 53 со свойствами билинейности, антисимметричности  XXXX1 22 1,,  и тождеством Якоби XXXXXXXXX1 23 23 13 12 0,,,,,,Группе G11 из § 1 соответствует алгебра Ли L11 с базисом из операто- ров, записанных в декартовой системе координат: XXXXtXtXtXyzvwXzxwuXxyuvXXtxyzxyzxuyvzwzywvxzuwyxvuttxyz1 23 45 67 89 10 11 7 5,,,,,,,,( . ),,Алгоритм отыскания допускаемой группы равносилен разыскиванию операторов (7.2), для которых уравнение газовой динамики являются инва- риантным многообразием, т.е. операторы являются касательными диффе- ренцированиями. Операторы (7.2) предварительно продолжаются на произ- водные по правилу XDu Di xk ui kj ki ju ik ik   , (7.6) где Du ix ik ui k – операторы полного дифференцирования. Вычисления дают следующий классификационный результат. Если уравнение состояния  p fS , общего вида, то максимальная алгебра Ли, допускаемая уравнениями (3.5), (3.6), (3.9), есть L11. Для специальных урав- нений состояния возникают дополнительные операторы, расширяющие ал- гебру L11 до Lk, k – размерность алгебры. Результаты приведены в таблице 1, где f,  – произвольные функции, Yt uv wt uv w0, S – произ- вольная функция энтропии. Таблица 1N p k Дополнительные операторы 1  fS12  pYp2 11 0() 54 2  f S12 Yp p0 23 53,S 13 YYp0 2 ,4 5 3S14 t YxXyXzXt pp0 45 63 5,Y0 2 , Yp5  lnf S12 Yp0 226  fS12 Y1 7 1 3,0,1,S13 YYp p1 01 22 12 1 0,;,,  8 1S13 Y1, Yp p09 S13 Y1, Yp10 lnS13 Y1, Y0 2 11 13S13 Y1, Yp p0 312 SY0 2 ,    Yp pp pНекоторые алгебры в таблице 1 подобны относительно замены пере- менных , p. В таблице 2 указываются подобные пары алгебр Ли из таблицы 1 и приводятся преобразования подобия. Таблица 2 Алгебры Преобразование подобия N=6, N=1 при  1 p pp1,lnN=2, N=1 p pp,,1 1 N=5, N=2   p pp1,lnN=10, N=3  p pp1,lnВ случае бесконечной алгебры N=12 операторы алгебры и уравнения газовой динамики допускают преобразование    p p p,. Эти 55 преобразования подобия позволяют установить конечное число классов по- добных конечномерных подалгебр. Подалгеброй алгебры Ли называется подпространство замкнутое от- носительно коммутатора. Для приложений важно знать всевозможные подалгебры алгебр Ли из таблицы 1. Для каждой подалгебры система уравнений газовой динамики может быть сведена к более простой системе уравнений на инварианты по- далгебры, которая называется подмоделью. Перечисление подалгебр алгебры Ли L производится с точностью до внутренних автоморфизмов алгебры L – однопараметрические линейные преобразования в L, удовлетворяющие задаче a aXX YXX,,,0(7.7) где X X YL,,, в качестве Y можно брать базисные операторы. Вычисле- ние однопараметрических групп для базисных операторов алгебры Ли и их суперпозиции дают полную линейную группу внутренних автоморфизмов. Если взять по одной подалгебре из класса подобных относительно группы внутренних автоморфизмов, то получится оптимальная система подалгебр. Инварианты подобных подалгебр связаны заменой переменных из группы, допускаемой исходными уравнениями, поэтому решения подмоде- лей, построенных на подобных подалгебрах с помощью связанных инвари- антов, связаны той же заменой переменных. Поэтому достаточно строить подмодели для подалгебр из оптимальной системы. Для основных алгебр из Таблицы 1 оптимальные системы построены. В приложении приводится оптимальная система для алгебры L11, взятая из работы [5]. В таблице введены обозначения: r – размерность подалгебры, i – номер подалгебры в данной размерности; в базисах подалгебр оставлены номера операторов (7.5); в колонке Nor поставлен номер подалгебры (r.i) из 56 таблицы, которая является нормализатором подалгебры в строке; знак = у номера подалгебры-нормализатора обозначает, что подалгебра в строке са- монормализована. Нормализатором NorML() подалгебры M алгебры L называется мак- симальная подалгебра в L, для которой M является идеалом. Идеалом J алгебры Ли L называется подалгебра, для каждого элемента которой коммутатор с любым элементом из L принадлежит J. Подмодель подвергается исследованию, так же как и основные уравне- ния газовой динамики. Упрощение происходит за счет уменьшения числа переменных. Усложнения получается ввиду того, что решения подмодели необходимо интерпретировать в физических переменных. Подмодель допус- кает преобразования нормализатора, записанного в инвариантах подалгебры. В дальнейшем проводятся исследование некоторых подмоделей. Под- модели могут быть разных типов, в зависимости от того какие инварианты рассматриваются (точечные или дифференциальные), а также от того, какие выражения для инвариантов получаются. Полное исследование всех подмоделей еще далеко от завершения. Можно лишь констатировать, что ранее исследованные подклассы точных решений системы уравнений газовой динамики вкладываются в систему подмоделей, построенных по оптимальным системам. По оптимальной системе можно построить граф – дерево вложенных подалгебр, учитывая внутренние автоморфизмы. Каждой ветке этого дерева (подалгебра – надалгебра) можно сопоставить вложенные подмодели так, что решения любой подмодели надалгебры порождают точные решениями некоторой подмодели подалгебры. Для этого всегда можно выбрать инвари- анты надалгебры как функции инвариантов подалгебры. Представление группового решения определяется заданием функциональной зависимости 57 одной части инвариантов через другие. Сравнение представлений подалгеб- ры и надалгебры задает связь между решениями подмоделей. Упражнение 1. Доказать, что в любой однопараметрической группе можно ввести канонический параметр. Упражнение 2. Показать, что однопараметрическая группа удовлетво- ряет задачи (7.3). Упражнение 3. Показать, что решение задачи (7.3) образует канониче- скую группу. Упражнение 4. Проверить свойства билинейности, антисимметрично- сти и тождество Якобы для коммутатора (7.4). Упражнение 5. Вывести операторы (7.5) из преобразований 15 §1. Обратно, решая (7.3) для операторов (7.5) получить группу G11Упражнение 6. Продолжить операторы (7.5) на производные и прове- рить, что они допускаются системой уравнений газовой динамики. Упражнение 7. Проверить, что операторы в каждой строке таблицы 1 образуют алгебру Ли, составив таблицу коммутаторов. Упражнение 8. Проверить, что L11 является идеалом в каждой алгебре из таблицы 1. Упражнение 9. Проверить, что операторы таблицы 1 допускаются уравнениями газовой динамики. Упражнение 10. Проверить преобразования подобия из таблицы 2. Упражнение 11. Показать, что преобразования подобия  ( ),( )p p p приводят конечномерные подалгебры бесконечной ал- гебры   Yp к одной из трех:  YY YY YYp pp1 11 2;,;,,Упражнение 12. Найти внутренние автоморфизмы алгебры L11, решая задачи (7.7) для базисных операторов. Упражнение 13. Найти нормализаторы подалгебр из упражнения 11. 58 Упражнение 14. Проверить, что в таблице из приложения операторы в строчках образуют подалгебры, и вычислить для них нормализаторы. Упражнение 15. Показать, что JXX6 16,, есть идеал в L11, а XXN7 11 5,, подалгебра. Составить оптимальную систему для N5: r i Базис Nor r i Базис Nor 5 1 7, 8, 9, 10, 11 =5.1 1 1 7+a11, a  0 2.1 4 1 7, 8, 9, 10 5.1 2 7 3.2 2 7, 8, 9, 11 =4.2 3 7+10 2.2; a =0 3 1 7, 8, 9 5.1 4 10 5.1 2 7, 10, 11 =3.2 5 11 4.2 2 1 7, 11 =2.1 2 7+a11, 10 3.2 3 10, 11 5.1 Упражнение 16. Для каждой подалгебры из таблицы упражнения 15 вычислить стационарную подгруппу автоморфизмов, действующую в J6Упражнение 17. Проверить оптимальную систему из приложения. Упражнение 18. Записать басисные операторы алгебры L11 в цилинд- рической системе координат. §8. Инвариантные подмодели ранга три. Одномерным подалгебрам из оптимальной системы (см. Приложение) сопоставляются инвариантные подмодели ранга три. Необходимо вычислить базис функционально независимых инвариантов оператора, причем выбрать его так, чтобы три инварианта базиса выражались только через независимые переменные, а из остальных инвариантов определились бы все неизвестные функции. Инварианты – функции всех переменных зависимых и независи- мых, которые обращаются в нуль действием операторов из подалгебры. Вы- 59 числять инварианты многомерной подалгебры можно последовательно. Сна- чала вычисляются инварианты одного любого оператора, а остальные опера- торы записываются через инварианты первого. При лишней неинвариантной переменной коэффициенты приравниваются нулю (расщепление). Далее вы- числяются инварианты следующего оператора и так далее. Инварианты можно выбрать так, что инвариантная подмодель ранга три принимает один из следующих двух типов: эволюционный тип Eu u u v u b R Pa vu v v v b R Pa wu w v w aRu Rv RR u vRaPu Pv PAP u va tx yx tx yy tx yt xy xy tx yx y1 1 1 1 1 11 11 1 1 1 1 21 21 11 11 31 11 14 11 11 51 11 11 11 11 11 11 11 1,,,,(R, ),(8.1) где коэффициенты системы bx y ai i(t,,),1 10– квадратичные функции по переменным u v w1 11,,; стационарный тип Su u v u w u b R Pa u v v v w v b R Pa u w v w w w b R Pa u Rv Rw RR u vwRa u Pv Pw Px yz xx yz yx yz zx yz xy zx yz1 1 1 1 1 1 11 11 1 1 1 1 1 21 21 11 11 13 13 11 11 11 41 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 1,,,,AP u vw ax yz(R, ),1 11 51 11(8.2) где by z ai i(x ,,),1 11 0– квадратичные функции по u v w1 11,,Системы (8.1), (8.2) приводятся к симметрическим системам так же, как это было сделано в § 3. По определению из § 5 система (8.1) гиперболи- ческая. 60 Теорема 1. Для системы (8.2) область гиперболичности определяется неравенством b ub vb wa1 11 22 11 23 11 22(8.3) Доказательство. По определению из § 5 для характеристического век- тора   ( , , ) системы (8.2) получается уравнение  3 22 12 22 32 0a b bb, где  u vw1 11 Для гиперболичности системы необходимо, чтобы квадратичная форма по переменным  в квадратных скобках была знако- переменна. Это возможно, если собственные числа матрицы квадратичной формы имеют разные знаки. Уравнение для собственных чисел таково gJJJ( ),3 12 23 0(8.4) где Ja vw bb bJb b b b b b1 21 21 21 21 23 21 2 1 3 2 3(u),a u b bv bb wb bJa b b w b b v b b u b b b2 12 23 12 13 12 12 32 1 2 12 1 3 1 22 3 1 21 2 3()()() ,По теореме Раусса (Ф.Р. Гантмахер. Теория матриц. М. Наука, 1966, с. 475) число k положительных корней многочлена g( ) равно числу перемен знака в ряду выражений, составленных из коэффициентов уравнения (8.4) 1 12 3 1 13,,,JJJ JJПри k=1 возможны три случая 1 00 20 03 00 11 2 33 11 2 33 11 2 33),,;),,;),,JJ JJJJJ JJJJJ JJJПри k=2 возможны еще три случая 61 40 05 00 60 01 1 2 33 11 2 33 11 2 33),,;),,;),,JJ JJJJJ JJJJJ JJJПусть 2 22 22 12 31 11 0,bbb qauvw , иначе переобозначим переменные. В случае 1) из J1 0 следует qbbb2 12 3 и J3 0. Покажем, что не- равенство 1 23J JJ выполняется. Действительно, J Jq bb bb b b b b b q b b1 2 21 23 1 2 1 3 2 3 21 2() ;b b bJ1 2 23 3(q) и достаточно доказать неравенство 2 11 22 12 31 23 31 ()(),qbbbbbbqqb   которое равносильно следующему очевидному неравенству 2 23 23 10qbbqbb   или 1 2 0.b bЗначит, область вне сферы qbbb2 12 3 в пространстве перемен- ных qu aqu aqu a1 11 22 13 31,, является областью гиперболично- сти. Из 2), 3) следует, что область между сферой qbbb2 12 3 и эл- липсоидом q bq bq b1 21 12 22 13 23 11 разбивается на две части поверхно- стью J JJ1 2 3 и обе части являются областями гиперболичности. Таким образом, случаи 1)3) объединяются в одном неравенстве J3 0, равносильном (8.3). В случае 4) следует qb2 3, 62 qbbbb bb bb bb qb qJ JJb b qb2 12 31 2 1 3 2 3 12 22 1 2 31 2 23Отсюда следует противоречивое неравенство q bb qb b2 32 23 10 или b b1 2 0В случаях 5), 6) из неравенств JJ1 30 0, следуют противоречивые нера- венства qb bb qb2 12 32 3, Теорема доказана. Рассматриваются инвариантные подмодели ранга 3, построенные по одномерным подалгебрам оптимальной системы из приложения. Подалгебра 1.1 задает движение с квазиконической спиральной ли-нией уровня инвариантных функций. Для составления уравнений подмоде- ли вычисляются инварианты оператора подалгебры в цилиндрической сис- теме координат. Оператор ataxbtarbtxrU имеет инварианты: xxt ba t y r t za t1 11 11 11 ln ,,ln ;uUxt ba vVr t wt Wr aPp R1 11 11 11 1,,,,Используя инварианты, записываем вид инвариантного решения 1 11 11 11 1,,,,,UuxtbaVvrtWrtwapPR  (8.5) где u v wP R1 11,,, , – функции инвариантов x y z1 11,,Подстановка (8.5) в уравнения газовой динамики (3.5), (3.6),(3.9), запи- санных в цилиндрической системе координат, дает систему стационарного типа (8.2) с bb by1 23 12 1,;a uba av ya ay av y1 11 21 11 1 2 31 11 11 12   ,(w) ,(w)(), 1 41 15 43,ay v aAa  Линия в физическом пространстве Rx r4(t, , , ), соответствующая по- стоянным значениям инвариантов 1 01 01 0,,,xx yr z является линией 63 уровня инвариантных функций u v wP R1 11,,, ,. Проекция этой линии в про- странство R x r3( , , ) задается равенствами xr rx ba rr rr e a0 00 00ln,() Первое уравнение задает поверхность вращения квазилуча (см. рис. 1), пере- секающего ось r в точках r=0 и rr r e ax b1 00 1, и имеющего один мини- мум в точке xba e r r m 1 11 0 1,r r e m1 1 r r1 r m x m 0 x Рис. 1 Второе уравнение задает цилиндр с прямой образующей параллельной оси х и направляющей – логарифмической спиралью. Таким образом, линия уровня есть спираль, намотанная на поверхность вращения квазилуча. При b0 квазилуч становится лучом xr rx0 10. Поверхность вра- щения есть конус. Таким образом, спираль наматывается на коническую по- верхность. Фиксируем переменные t, x, r и меняем  от 0 до 0 2. Мы полу- чим одну и туже точку в физическом пространстве. При этом значения инва- рианта z1 принимает приращение 2. Значит, для того, чтобы решение ин- вариантной подмодели задавало непрерывное течение в физическом про- странстве, необходима 2– периодичность инвариантного решения u v wP R1 11,,, , по переменной z1. В противном случае в течении должны быть поставлены стенки или сильные разрывы. 64 Подалгебра 1.2 задает движение с винтовыми линиями уровня, шаг которых зависит от времени. В цилиндрической системе координат опера- тор имеет вид: at aa xU,;0 инварианты таковы 1,,t xxat 1,, ,, , .r UxtV W p Представление инвариантного решения имеет вид 1 22 2 2 11 11 12 2 2 11;,,,,Uarra tuatr w VvWwatr ra tuR pP(8.6) где u v wP R1 11,,, , – функции инвариантов t x r y,,1 1Подстановка (8.6) в уравнения газовой динамики (3.5), (3.6), (3.9), за- писанных в цилиндрических координатах, дает систему эволюционного типа (8.1), где 2 2 21 21,1;ba t rb 1 41 54,,av raAa 1 11 12 2 2 21,a tatravwurrra t2 21 12 2 2 1,atrawurra t2 2 12 13 11 22 2 22 2 2v a t rra tatrawura tra t Постоянным значениям инвариантов t, x1, r соответствует винтовая линия в физическом пространстве R x r3( , , ). Это линия постоянства инва- риантных функций. При фиксированных переменных t, x, r и меняющимся угле  от 0 до 0 2 инвариант x1 и функция U получают приращение 2at и 2a соот- ветственно. Следовательно, в области движения газа должна быть стенка или поверхность сильного разрыва, сечение которых любым цилиндром r=const есть винтовая линия. Подалгебра 1.3 имеет инварианты t, x, r; U, V, W, p,  в цилиндриче- ских координатах. Инвариантное решение вида 1 11( , ,),Uu t x y 65 11 11 11 11( , ,),( , ,),( , ,),Vv t x y Ww t x ypP t x y1 1( , ,),R t x y1,xx1;yr определяет подмодель эволюционного типа (8.1) с 1 21,bb1 21 11 21 31 14 15 40,,,,aar w ar v w ar v aAa   Линии уровня инва- риантных функций есть окружности, поэтому подмодель называют подмоде- лью вращательно симметричных движений. Подалгебра 1.4 задает движение с винтовыми линиями уровня, шаг которых не зависит от времени. Инварианты в цилиндрической системе координат таковы t x r y xU V W p,,;, ,, , .1 1   Инвариантное решение вида Uv rw ru Vu Ww ru pPR1 11 21 11 11,,,,,где функции u v wP R1 11,,, , зависят от инвариантов t x y,,,1 1 задает эволю- ционного типа подмодель (8.1) с bb r1 22 11 ,;a rr ua ru ru ar u w rr ua ru aA a1 11 11 22 21 11 13 11 12 11 12 41 15 42  (w) ,(w),(w) ,,Если решение подмодели 2– периодическое по y1, то оно задает не- прерывное движение газа. Подалгебра 1.5 задает вращательные движения в однородном поле сил. Инварианты в цилиндрической системе координат таковы xx ty r z at Ut V W p1 21 11 2 ,,,, ,, , . Представление решения в виде Ut u Vv Wa r wR pP 1 11 11;,(),,,где функции u v wR P1 11,,, , зависят от инвариантов x y z1 11,,, задает стационарного типа подмодель (8.2) с bb ba r a1 23 22 11 1 ,;,a a r wa rv wa rv aA a2 21 23 11 14 11 54 12 1  () ,(),,Для непрерывности физического течения нужно потребовать 2a–периодичность по z1 решения подмодели. 66 Уравнения xconst y const z const1 11,, задают вращательное движение точки по цилиндру, равноускоренное в направлении оси цилиндра. Подалгебра 1.6 задает вращательные движения. Инварианты в ци- линдрической системе координат таковы xx yr zt1 11 ,,,U V Wp, ,, , . Представление инвариантного решения в виде Uu1;Vv Wr wR pP1 11,(),,, где функции u v wR P1 11,,, , зависят от x y z1 11,,, определяет стационарного типа подмодель (8.2) с bb br a1 23 21 10,;,a rw2 12 1() ,a rv wa rv aA a3 11 14 11 54 21  (),,Для непрерывности физического течения требуется 2– периодич- ность по z1 решения подмодели. На линии постоянства инвариантов x y z1 11,, точка движется по ок- ружности с постоянной круговой скоростью. Подалгебра 1.7 задает обобщенно конические течения. Инварианты в декартовой системе координат таковы xxt at y yt1 11 1ln ,,z zt uxt v, w,p1 11,,, . Представление инвариантного решения в виде uu xt a v vyt ww ztR pP1 11 11 1,,,,, где функции u v wP R1 11,,, , зависят от x y z1 11,,, определяет стационарного типа подмо- дель (8.2) с bb ba ua1 23 11 1 ;,a va w2 13 1  ,,a aA a4 54 3 ,Линия в Ry, z3(x,) постоянства инвариантов x xy y1 01 0,, zz1 0 есть квазилуч xyyxayy0 00ln (см. Рис. 1) в плоскости z yy z0 0 67 Подалгебра 1.8 задает конические течения. Инварианты в декартовой системе таковы xxt yyt zzt1 11 11 1,,,ux tvwp1, ,,, .Представление инвариантного решения в виде uux t1 1,vvytwwztR pP1 11 1,,,, где функции u v wP R1 11,,, ,зависят от x y z1 11,,, определяет стационарного типа подмодель (8.2) с bb ba u1 23 11 1 ;,a va w2 13 1  ,, a aA a4 54 3 ,Линии постоянства инвариантов x y z1 11,, являются прямыми, прохо- дящими через начало декартовой системы координат. Подалгебра 1.9 задает движения газа в постоянном поле сил. Инва- рианты в декартовой системе координат таковы 2 11 2,xxt y y, z z u t v, w,p1 1;,, . Представление инвариантного решения в виде ut u v v w wR pP 1 11,,,,задает подмодель (8.1) с bb ba aa aa1 23 12 34 51 10 ,,Линии постоянства инвариантов x y z1 11,, есть прямые, параллельные оси x, по которым точки двигаются равноускоренно. Подмодель 1.10 задает стационарные движения газа. В этом случае представление решения есть газодинамические функции, независящие от времени. Получается стационарная подмодель (8.2) с b bb1 23 1,a aa aa1 23 45 0Проведем качественные исследования эталонной простейшей подмо- дели стационарного типа. Индекс 1 у всех переменных опускается в даль- нейшем описании стационарных движений. Линии в Ry, z3(x,), определяемые как интегральные кривые системы обыкновенных дифференциальных уравнений dx udy vdz w 68 называются линиями тока и обозначаются символом L. Из (1.2) следует, что линии тока являются траекториями частиц в стационарном движении. Урав- нения для энтропии (3.8) принимает вид  D SuSvSwSx yz0. От- сюда следует интеграл энтропии: энтропия вдоль линии тока постоянна SS0(L).(8.7) Из уравнения (3.13) после скалярного умножения на скорость u следу- ет равенство  DuD p2 01 21Вводится в рассмотрение энтальпия ipV  В силу первого закона тер- модинамики (2.2) и (8.7) следует равенство D u i2 20 Отсюда получается интеграл Бернулли  u ii L2 02 2(8.8) Так как di daS const2, то Ia d2 20 отличается от 2i на слагаемое, зави- сящее от S. Упражнение 1. Для нормального газа при постоянной S справедливо, что I(a )2 есть однозначная возрастающая функция квадрата скорости звука и I(a )2 0 при a2 0; I(a )2  при   Итак, (8.8) представляется в виде  uIqLm2 22(a ), где qm есть максимально возможная скорость на данной линии тока L. Мак- симальная скорость достигается в точке вакуума a0 и  0. Критической скоростью a0 называется единственный корень уравнения 69 aI aqm2 22()Теорема 2. Для дозвуковых течений u a справедливо неравенство u aa; для сверхзвуковых течений u a следует неравенство u aaДоказательство. I(a )2 – монотонно возрастающая функция. При u a справедлива цепочка неравенств      uI u uI a qLaI a aI a m2 22 22 22 22, откуда следует неравенство u aaПри u a все знаки неравенств заменяются на противоположные. Неравенство (8.3) показывает, что в области сверхзвукового течения система (8.2) является гиперболической. Для определения характеристик подмодели установившихся течений воспользуемся результатами §5. В выражении для характеристической мат- рицы А отсутствуют слагаемое с At. Нормальный характеристический век- тор в Ry, z3(x,) таков n n( , , ),  1 – это единичная нормаль к харак- теристике. Величина     u n un – проекция на нормаль вектора скоро- сти. Уравнение для нахождения характеристического вектора det ( )A n0 распадается на три: un0 – контактные характеристики, которые состо- ят из линий тока; u an  – звуковые характеристики, на которых проек- ция скорости на нормаль по абсолютной величине равна скорости звука. Звуковые характеристики возможны лишь в области сверхзвукового течения, так как u ua n. В областях дозвуковых течений возможны лишь кон- тактные характеристики. 70 Для линии тока L определяется трубка тока Tr, которая образована линиями тока, проходящими через окружность Kr малого радиуса r с цен- тром на линии L и лежащей в плоскости перпендикулярной L (Рис. 2). Пусть K – другое сечение TrTr и  – боковая поверхность u между Kr и K. Поверхность L  образована линиями тока, Kr K поэтому на ней  u n 0, где n - Рис. 2 нормаль к  Интегральный закон сохранения массы для неподвижного объема  с границей  гласит: изменение массы в объеме равно потоку массы через по- верхность   t du nd Для стационарных течений отсюда следует равенство ( )rrKKQ Tu ndu nd(8.9) для расхода Qr(T ), который не зависит от сечения. Пусть площади KKr, есть  r, и существует предел lim rrF0 – площадь сечения. Тогда существует конечный предел QQu Fr rrlim(T )0 1называемый расходом вдоль линии тока L. Из (8.9) следует интеграл F uconst(8.10) 71 Теорема 3. В расширяющейся трубке тока дозвуковая скорость убыва- ет, а сверхзвуковая скорость возрастает; в сужающейся трубке тока, наобо- рот, дозвуковая скорость возрастает, а сверхзвуковая убывает. Доказательство. Дифференциал от (8.8), (8.10) вдоль L дает du d uMMu a()(),;1 2dFFd uu()0. Отсюда получим равенство dFFd u u(M)2 1 . (8.11) Из (8.11) следуют все возможные сочетания знаков: dFMd u dFMd u dFMd u dFMd u0 10 01 00 10 01 0,,;,,;,,;,,,равносильные совокупности всех утверждений о свойствах трубки тока. В установившимся движении поверхность ударной волны неподвижна Dn0 и называется скачком уплотнения. По теореме Цемплена 4.4 состояние 1 перед скачком и состояние 2 за скачком связаны неравенствами ua ua nn1 12 2,Следовательно, перед скачком уплотнения течение сверхзвуковое, а за скач- ком может быть как сверхзвуковым, так и дозвуковым. Из (4.10) следует 1 20 2u pV  или u i2 20, 72 т.е. постоянная в интеграле Бернулли (8.8) не меняется при переходе через скачок    i qm0 0 вдоль линии тока L. Если вектор скорости ортогонален скачку, то скачок называется пря-мым. В этом случае линия тока проходит через скачок гладко. Скачок уп- лотнения называется косым, если вектор скорости образует угол с нормалью скачка. В этом случае вектор скорости меняет направление при переходе че- рез скачок, а линия тока имеет излом, при этом касательная составляющая скоростей не меняется (4.11) (см. Рис. 3). Уравнение (4.15) имеет вид [ ]uh  0 и служит для определения поверхности скачка : ( ),h x0 здесь |[ ]|[].uun Уравнение адиабаты Гюгонио (4.14) или (4.16) удобно записать в виде VVz2 11(( )),где zp V a[ ]1 1 2 - амплитуда скачка. u1vn uu2u Рис. 3 Поведение графика функции Г (z) следует из свойств адиабаты Гюго- нио, установленных в § 4 (Рис. 4.3), в нормальном газе (см. Рис. 4, где zp a1 1 1 11 2). Условия на скачке принимают вид uuznn2 11 1  ( ),a zuzn1 21 2( ). Отсюда 2 22 11() ( ).zMu azИз подобия прямоугольных треугольников на рисунке 3 следует vuquuuuqnnn1 11 21, где 2 22 11 11||,,nuq uqu2 22 2uuv 73 1 11  45Mz1 2 z1 0 z0 z 1 10 1  Рис. 4 Отсюда получается параметрическое представление ударной поляры uqMz1 12 1(),va zzzM2 12 12( ( )), где Mq a1 1 1 1, z - параметр кривой в плоскости ( , )u v (Рис. 5). v 9090 N 90 N' B2' B2B1 M 1u0aq1u u Рис. 5 Из свойства звездности адиабаты Гюгонио следует, что уравнение ( )zMz1 2 при любом M1 1 имеет единственный корень z M0 1(). По- этому ударная поляра определена в интервале 0 0 zz , звездна относи- тельно точки (, ),q1 0 имеет в этой точке производную |/|dvductg1 при z0, где 1 - угол Маха sin1 1 1 1a q В силу звездности угол наклона  скорости u1 к поверхности скачка всегда больше угла Маха 1Точка (u , )0 0, uq qM z0 21 12 01(), соответствует прямому скачку. По теореме Цемплена 4.4 течение за прямым скачком всегда дозвуковое ua0. За косым скачком течение может быть как сверхзвуковым B2, так и 74 дозвуковым B2. Для косых скачков угол поворота вектора скорости не пре- восходит некоторого максимального значения. Ударная поляра при z0 имеет бесконечные ветви в области uq1с асимптотой uu qz1 11(). В этом случае состояние 1 находится за скачком. Подалгебра 1.11 задает сдвиговые движения. Инварианты в декарто- вой системе координат таковы tx xt z y y; u z v w,p,,, ,, .1 1 Представление инвариантного решения в виде uz ut w tv v 1 12 11,,1 12,1wtuwt,,R pP где функции u v wP R1 11,,, , зависят от t x y,,1 1, определяет подмодель эволюционного типа (8.1) с 2 12 1,1,bt b a t u wt aa aa u1 11 22 45 31 21 0,,Линии уровня инвариантных функций есть параллельные прямые, ле- жащие в плоскостях параллельных плоскости (x, z). Направления прямых линий уровня линейно зависит от времени. Подалгебра 1.12 описывает галилеево - инвариантные движения га-за. Инварианты в декартовой системе координат таковы t xy,,1yz ux tv wp1 1,, , , , . Представление инвариантного решения в виде 1 11 1,,,,,uxtw vu wvR pP где u v wP R1 11,,, , зависят от t x y,,1 1, определяет подмодель эволюционного типа (8.1) с bb1 21;aaat w1 23 11 0 ,, a taA a4 15 4 ;Линии уровня инвариантных функций параллельны оси x. Подалгебра 1.13 описывает двумерные движения газа. Инвариант- ное решение имеет представление uw vu w vpPR1 11,,,,, где 75 все функции зависят от t x y, y z,,1 1 и задает подмодель эволюционного типа (8.1) с bb1 21,a aa aa1 23 45 0При w1 0 получаются плоскопараллельные движения газа. В последних двух случаях третье уравнение подмодели отщепляется от системы и может быть решено как линейное уравнение по известному реше- нию оставшихся уравнений. C учетом этого замечания каждая из рассмот- ренных здесь подмоделей ранга три допускает лишь нормализатор алгебры, по которой она построена. При этом операторы нормализатора должны быть записаны в инвариантных переменных, которые остались в системе после отщепления некоторых уравнений. Таблица 1 из §7 не сохраняется для подмоделей. Есть подмодели, когда она сокращается и когда она расширяется с появлением новых уравнений со- стояния, при которых допускаемая подмоделью группа расширяется. Упражнения 2. Подставить представления инвариантных решений для подалгебр 1.1- 1.13, указанные в тексте, в уравнения газовой динамики, и по- лучить подмодели (8.1) и (8.2). Упражнения 3. Перенести некоторые свойства подмодели установив- шихся движений на другие подмодели стационарного типа. Упражнения 4. Найти базисы функционально - независимых инвари- антов для всех подалгебр из приложения. Упражнения 5. Как можно доказать утверждения о двух типа инвари- антных подмоделей, не перебирая все подалгебры? Упражнение 6. Для каждой из подмоделей проверить утверждение о допускаемой алгебре в виде нормализатора. Упражнение 7. Привести подмодели к симметрическому виду. Упражнение 8. Составить таблицы расширений для подмоделей. Упражнение 9. Вывести уравнения характеристик для подмоделей. 76 1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   15

§9. Частично инвариантные подмодели. Для некоторых подалгебр из оптимальной системы нельзя построить инвариантных решений. Это случается, когда из инвариантов подалгебры невозможно определить все газодинамические функции. Число  лишних функций, неопределяемых из выражений для инвариантов, называется де-фектом инвариантности. Инварианты, из которых определяются некоторые газодинамические функции, назначаются функциями от лишних функций и инвариантов, выражающихся через независимые переменные. Число r неза- висимых переменных этих функций называется рангом. В качестве примера рассматривается подалгебра 5.34 из приложения, состоящая из всех переносов и растяжения. Ее инварианты: u, v, w, , p. Ин- вариантное решение ранга ноль есть постоянное решение: u up p0 00,, Частично инвариантное решения подалгебры 5.34 ранга n дефекта n называется n - волной: простая волна при n=1, двойная волна при n=2, тройная волна при n=3. Рассматривается простая волна, для которой представление решения удобно искать в параметрическом виде u up pSS( ),( ),( ),( ),   где (t, )x – новая иско- мая функция. Поверхности уровня простой волны есть гиперповерхности (t, )x const, на них газодинамические функции постоянны. Из уравнений газовой динамики (3.5), (3.6), (3.8) следует переопределенная система урав- нений        Duu DpS D0 00,,(9.1) 77 Условия совместности системы (приведение в инволюцию) порождают новые уравнения. Часть из них образует систему обыкновенных дифферен- циальных уравнений для u p, , , остальные уравнения есть пассивная систе- ма уравнений для Последнее уравнение системы (9.1) приводит к альтернативе: либо D 0, либо  S0В первом вырожденном случае p const. Изобарические течения бу- дут рассмотрены позже. Теорема 1. Невырожденная простая волна есть изоэнтропическое без- вихревое движение. Поверхности уровня являются гиперплоскостями и зву- ковыми характеристиками. Доказательство. Во втором случае альтернативы Sconst,  p0, r ot u uku     0,, где  k t x,0 – фиксированная функция. Скалярное умножение второго уравнения (9.1) на  в силу первого урав- нения дает    (D )2 20p или (D )2 22 0 aВ силу (5.2) уравнение  const задает звуковую характеристику. Скалярное умножение второго уравнения (9.1) на u в силу первого уравнения дает 2 2   u p(9.2) Так как Du ku u tt      , то из первого уравнения (9.1) получаем в силу (9.2) t k u up ku     1,(9.3) Отсюда следует, что нормаль к поверхности  const имеет одно и тоже направление для всех ее точек, т.е. эта поверхность является гиперплоско- 78 стью. Из доказательства теоремы 1 следует, что система обыкновенных диф- ференциальных уравнений для u p S, , , есть  S0, (9.2) и уравнение со- стояния pfS( , ). Имеется произвол в решении в 3 функции одного пере- менного. Система (9.3) есть пассивная система для . Для поверхности уров- ня =const имеем уравнение с постоянными коэффициентами 0 1    ddxdtk udxu up dtt Интегрирование приводит к неявному заданию функции 1( )x ut u upF , если определены u pF( ), ( ), ( ), ( )  Рассматривается другой пример частично инвариантного решения для всей допускаемой алгебры L11. Имеется только два инварианта , p. Изоба- рические течения p=const есть частично инвариантные решения ранга ноль дефекта 4. Уравнения газовой динамики становятся переопределенной сис- темой для лишних функций DDu divu 0 00,,(9.4) Для описания таких движений удобно ввести лагранжевы переменные (1.2) dx dt u x t xt ( , ),0(9.5) Тогда определяются все искомые функции         ,,,u ux t u(9.6) а последнее уравнение системы (9.4) в силу равенств (3.2), (9.6) принимает вид 1 12 13   det det det,Itut trut truutu 79 где I – единичная матрица. Отсюда следуют три уравнения для начальных скоростей, которые в декартовой системе координат таковы uvwuuvvuuwwvvwwuuuvvvwww0 00,,(9.7) Для системы (9.7) найдено общее решение (Л.В. Овсянников. Изобарические движения газа. Дифференциальные уравнения. 1994. Т.30, № 10. С.1792-1799). Пусть r r ank u . Теорема 2. Любое решение системы (9.7) принадлежит одному из трех классов: r0 – постоянное решение, r1 – простая волна, r2 – двойная волна. Поверхности уровня простой волны есть цилиндрические поверхности в R3( ). Линии уровня двойной волны есть плоские кривые второго порядка. Решения типа простой волны зависят от двух произвольных функций одного переменного и одной произвольной функции двух переменных. Ре- шения типа двойных волн зависят от трех произвольных функций двух пе- ременных. Доказательство. Если r0, то u const. Если r1, то  u u ( ) – простая волна. Подстановка в (9.7) дает   u ( ),0 (9.8) 80 т.е. поверхность  const есть цилиндр с образующей параллельной векто- ру u ( ). Общее решение (9.8) можно представить в виде:  u, v v(u), w w(u);   w v(u,), где v, w,  – произвольные функции своих аргументов. Если r2, то  u u , – двойная волна. Подстановка в (9.7) дает u u    0, (9.9) u u    0(9.10) Двойную волну можно задать равенством f (u, v, w) =0, f (u () , v (), w ())=0. Отсюда следуют равенства   u uu f u f u fm u u0 0,,с некоторым множителем m . Для линий уровня  const,  const имеем     d dd n0 0,,, с некоторым множителем n . В силу (9.10) имеем  u f d0, и после интегрирования вдоль линии тока получаем   u fg u( ), (9.11) т.е. линии уровня есть плоские кривые в R3( ).Дифференцирование (9.11) по  дает   ufA uA u()(),0 где 2 2,uuuAfgf   – матрица из вторых производных. Скалярное умножение на u u, с учетом (9.9) дает BB     0, BA uuA u uAuu ()()(). Отсюда Bl    с некоторым множителем l  0 и dB 0. Так как 81 dBdAuuA duuuudA ()() u uA d, то A d0. Интегрирование вдоль линии уровня да- ет равенство     u uf gh(u2 2), (9.12) которое показывает, что линии уровня есть плоские кривые второго порядка. Пусть fv)w,u,v,(u, тогда (9.11), (9.12) задают общее решение уравнений (9.7)   u vuu uv vv uv gv),g gh(u, v), (u,2 22 22(9.13) зависящее от трех произвольных функций. Упражнение 1. Записать уравнения (9.7) в полярных координатах, свя- занных с цилиндрическими формулами VQWQcos ,sin , ;,,rRx t t t t t t0 00Упражнение 2. Вывести представление решения (9.7) для r0 1 2, , в полярной системе координат: rUuVv wWv w 0 00 00 0:,cos sin ,sin cos ;rQQRU R 1 22 21 2:sin(),cos() ,/    где t gQQ (Q) ,(U), (U),1 – произвольные функции; rUQRRQg QQ2 1:,,cos()sin()( , );    RR QR QR QR QRRQh(QQQQQQ2 22 22 21 21 22 21 22 22cos ()sin ()sin ()sin ()sin ()cos()g sin()g, ).             82 §10. Дифференциально инвариантные подмодели. Для подгрупп большей размерности точечных инвариантов становится мало, для того чтобы существовало представление конструктивно вычисляе- мого группового решения. Число инвариантов можно увеличить с помощью продолжения операторов подалгебры на производные по формулам (7.6). Такие инварианты называются дифференциальными. Для любой алгебры операторов существует базис дифференциальных инвариантов, из которого все остальные получаются с помощью операторов инвариантного дифферен- цирования и функциональными операциями [6, стр. 319]. Уравнения газовой динамики записываются через дифференциальные инварианты базиса, тем самым определяются независимые инварианты бази- са. Дифференциально инвариантной подмоделью ранга rr1 называ- ется представление уравнений газовой динамики как многообразие размер- ности rr1 в пространстве независимых дифференциальных инвариантов, проекция которого в пространство инвариантов нулевого порядка имеет раз- мерность r . Величина r ограничена сверху числом независимых переменных и ог- раничена снизу числом инвариантов, зависящих только от независимых пе- ременных. Величина r1 ограничена сверху числом независимых дифферен- циальных инвариантов базиса. Для каждой подалгебры из оптимальной системы можно рассмотреть более общее определение дифференциально – инвариантных решений: до- полнительные соотношения на дифференциальные инварианты. Эти соот- ношения называют инвариантными дифференциальными связями. Рассматривается известный пример такого представления. Нетрудно проверить, что векторное уравнение 83 r ot u0 (или  0) (10.1) инвариантно относительно всей алгебры L11, продолженной на производ- ные. Оно может быть записано через дифференциальные инварианты. Дви- жения газа, удовлетворяющие (10.1), называются безвихревыми. Из анализа известно, что (10.1) равносильно существованию потенциала  ( , ):x t u ,(10.2) поэтому безвихревое движение называют также потенциальным. Лемма. При непрерывном безвихревом движении нормального газа выполняется соотношение    S0. (10.3) Доказательство. Из уравнения (3.14) для вихря Du divu p    ()2в силу равенства    p afSS2 при  0 получается (10.3). Если движение газа баротропно ( )pp, непрерывно и в начальный момент безвихревое, то оно будет безвихревым во все моменты времени. Для безвихревого изэнтропического движения уравнение импульсов интегрируется. Действительно, Sconst из (2.2) следует dp di  или  p i. Уравнение (3.13) принимает вид t ui1 20 2. Отсюда получается интеграл Коши - Лагранжа t ib  1 22( )(t). (10.4) Без ограничения общности b(t) можно считать равным нулю. Вместе с урав- нением неразрывности получается замкнутая подмодель Dt      ,(10.5) где  div – оператор Лапласа. 84 Из (10.4), (10.5) исключается ; получается квазилинейное дифферен- циальное уравнение второго порядка: Da t 1 20 22( ),где  должно быть найдено из (10.4), Dt   В декартовой системе координат имеем          ttxx tyytzztxx xyyyzzzxyx yxzx zyzyzaaa2 22 22 20 22 22 22()()()(10.6) Уравнение (10.6) имеет только две звуковые характеристики. Следова- тельно, в потенциальном движении слабый разрыв распространяется только по звуковым характеристикам, а на поверхностях из линий тока всякий сла- бый разрыв есть контактный разрыв. Для установившегося потенциального течения интеграл Коши-Лагранжа (10.4) совпадает с интегралом Бернулли (8.8)  2 22Iq m(a ),(10.7) где qm не зависит от линий тока. Из (10.6) получим (u)(v)(w)2 22 22 22 22 0a aa uv uw vw xx yy zz xy xz yz(10.8) Характеристическая квадратичная форма для единичного нормального вектора имеет вид:    2 2a. Так как u  , то в области течения с дозвуковыми скоростями уравнение (10.8) имеет эллиптический тип. Ес- ли u a, то квадратичная форма разлагается на два действительных мно- жителя, т.е. (10.8) имеет гиперболический тип. В области течения с транс- звуковыми скоростями Mu a 1 уравнение (10.8) имеет смешанный эл- липтико - гиперболический тип. 85 Уравнения газовой динамики вместе с (10.1) допускают L11. Значит, уравнение (10.6) допускает аналог L11, записанный для производных от функции  (это алгебра контактных преобразований). Уравнения (10.8) до- пускают аналог нормализатора алгебры X10 из оптимальной системы, т.е. подалгебру 8.1, записанную в переменных x, y, z. На группе вращений рассматривается особое инвариантное решение с представлением вида  u xr rx(r ),Подстановка в (10.8) и (10.7) дает  d adr rd2 2, 2 22Iq m(a )(10.9) Подстановка в первое равенство дифференциала второго равенства dad2 21 20 и интегрирование дает rQconst2 0, (10.10) где 4Q есть расход газа через сферу радиуса r. Итак, имеется два интеграла (10.9), (10.10) для описания движения. Для конечных значений  и  из (10.10) следует, что rr. Минимум 1/2rQa  вычисляется y функции 1 42 22 21 02,mrQqadдостигается для критической скорости при aau и равен 1/2rQa  При r либо 0, либо 0 при этом  q m (Рис. 1).Таким образом, при  > 0, Q > 0 ( < 0, Q < 0) получаются два возможных неточечных звуковых источника (стока). В случае 0a течение вне источника (стока) дозвуковое, в случае aq m течение сверхзвуковое. 86 r r Рис. 1 0 a q mУскорение частицы в рассматриваемом радиальном течении вычисля- ется по формуле auux rx raa   1 22 2 22 12(). При rr получаем aa a ,Таким образом, течение двулистно и происходит с дозвукового листа на сверхзвуковой лист через звуковую сферу rr с бесконечным ускоре- нием. Поверхность, на которой ускорение бесконечно, называется предель-ной поверхностью и физически реализоваться не может. До ее появления в течении образуется поверхность слабого или сильного разрыва, по которой примыкает другое решение уравнений газовой динамики или какой-то дру- гой модели. Другой пример дифференциально - инвариантного решения есть дви- жение газа с не изменяющимся объемом Jt0 или di vu0 (см. (3.2)). Это уравнение инвариантно относительно всей алгебры L11Из уравнений газовой динамики и закона (2.2) следует 0,0.DiDui  Эта переопределенная подмодель изохорических движений не приведена в инволюцию. Упражнение 1. Продолжить операторы алгебры L11 на производные. 87 Упражнение 2. Проверить инвариантность относительно L11 равенств rot u0,di v u0Упражнение 3. Построить решение уравнений газовой динамики с div u0Упражнение 4. Построить все инвариантные подмодели ранга 2 для уравнения (10.6). Упражнение 5. Вычислить характеристическую квадратичную форму для уравнения (10.8). 1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   15

§13. Двумерные установившиеся течения. 1. Рассматривается хорошо изученная инвариантная подмодель ранга 2 смешанного типа (12.2), построенная на подалгебре 2.17 (см. Приложение). В этом случае bb1 21,a aa1 23aa4 50 Третье уравнение отщепляется. Далее индекс 1 опускаем и записываем подмодель в виде uu vu puv vv pu vv uSvSp fSx yx xy yx yx yx y1 10 00 0,,(u),,( , ).(13.1) Линии тока L для системы (13.1) есть интегральные кривые дифферен- циального уравнения dx udy v(13.2) 108 Частицы двигаются вдоль линий тока. Вводятся операторы дифферен- цирования вдоль линий тока Du vl xy и по нормали к линиям тока Dv un xy , а также функция тока  x y, с помощью формул  x yv,u . Условие совместности для  есть третье уравнение сис- темы (13.1), таким образом  определено с точностью до постоянного сла- гаемого. Вдоль линии тока функция тока постоянна, так как Dl 0.Расход между двумя линиями тока: L1 и L2 определяется так   Q LLu n dsAAA A1 22 11 2,, где ALALA A1 12 21 2,,– кривая между линиями тока, n - нормаль к кривой A A1 2. Расход не зависит от кривой A A1 2 и от точек AA1 2, на лини- ях тока LL1 2,Так же как в любом установившимся движении имеется интеграл эн-тропии  SS, (13.3) интеграл Бернулли   u vI a qm2 22 2(13.4)Система (13.1) равносильна одному уравнению для функции тока:      2 2 22 2 22 22 2 22 0aaaaf Syx xxyx yxyyxyS,(13.5) где функция   ,x y2 2 определяется из (13.4). 2. Для безвихревых движений vu xy из леммы § 9 следует x yy xSS0. 109 Если  = const, то получаются классические безвихревые течения не- сжимаемой жидкости, которые в газовой динамике играют роль приближен- ной модели. Случай S =const дает изоэнтропические течения, которые рассматрива- ются далее подробно. В случае =(S) система (13.1) интегрируется. Для этого делается заме- на  d( )0и вводятся новые независимые переменные   y,u(x y)u y,v(x y)v y,;,,, Отсюда x yv u p ,, ( ),  ( ),и (13.1) принимает вид , , u p vv p u v uv vu yy y 1 10 Интегрирование дает с точностью до переноса по y up y, v py pd p    1 21 2 21 2 20()()(13.6) Линии тока для этого решения есть концентрические окружности (x)( )x yp d0 22 12(13.7) Итак, безвихревые не изоэнтропические течения бывают лишь специ- ального вида (13.6), (13.7). Упражнение 1. Вывести формулу (13.6) и доказать, что xconst0 в (13.7). Упражнение 2. Показать, что безвихревое изоэнтропическое течение является изоэнергетическим, т.е. постоянная в интеграле Бернулли (13.4) не зависит от 3. Безвихревые изоэнтропические течения определяются системой из двух уравнений, которые следуют из (13.1) после исключения  110 u vu a u uvu va v yx xy y0 20 22 22,, (13.8) где a2выражается через uv2 2из интеграла Бернулли uvIq m2 22 2(a ) с постоянной величиной qm (Упр. 2). Потенциал скоростей u vx y, вместе с функцией тока  удовле- творяет системе уравнений равносильной (13.8)  xyyx ,, (13.9) где  определяется из равенства  x ymI a qa f2 22 22,Линии тока (x, y)const и эквипотенциали (x, y)const образу- ют ортогональную сеть, так как    0. Соотношение сторон прямо- угольных ячеек этой сети дается равенством DDn l  Исключение  из (13.9) дает уравнение для потенциала скоростей (u)(v)2 22 22 0a uv axx xy yy(13.10) Система (13.8) линеаризуется, если значения u, v рассматривать как но- вые независимые переменные;преобразование годографа uu(x y), v v(x y).,,Из интеграла Бернулли (13.4) следует, что годограф любого течения v находится внутри круга радиуса qm (Рис. 1). Сверхзвуковым те- чениям соответствует кольцо Дозвуко- aq qm , где qu v2 22, вые течения aq m u дозвуковым течениям – круг Сверхзвуковые qa, окружность qq m отве- течения Рис. 1 чает состояние вакуума. 111 Постоянному течению uu vv0 0, соответствует точка плоскости годо- графа. Якобиан годографа есть Ju v u v xy yx(13.11) Он равен нулю для простых волн u = F(v) или v =G(u). Годограф простой волны есть кривая. Если течение в области не постоянно и не есть простая волна, то ее годограф есть взаимно-однозначное отображение на область в Rv).2(u,Годограф (13.8) таков x yu a y uvx va x vu vv u,2 22 22 0(13.12) Здесь тоже можно ввести потенциал xy uv,, которой связан с (x, y) преобразованием Лежандра  xu yvСистема (13.12) переходит в линейное уравнение для потенциала (u)(v)2 22 22 0a uv avv uv uuВ полярной системе координат в плоскости годографа uq vqcos ,sin уравнение принимает вид ()(q)1 02 2Mq qqq, (13.13) где Mq a/ – число Маха. Линейное уравнение (13.13) можно решить ме-тодом разделения переменных, т.е. в виде Q q( ) ( ). Оно имеет гипер- болический тип, если M > 1 (сверхзвуковое течение); эллиптический тип, ес- ли M <1 (дозвуковое течение), и вырождается при M =1,Линейное уравнение Чаплыгина может быть получено для функции тока ())1 02 1Mq(q q q (13.14) 112 Упражнение 3. Вывести уравнение (13.14) из системы (13.9), переходя последовательно к переменным ( , ; ,(u,, )(q, ; , )    x y)v;( , ;), q, получая промежуточные формулы: dudxvdydvdxudydxqdqddyqdqd     ,;cos()sin,sin()cos1 11 1(13.15)   () (),,() (),qMqqqqMqqq1 21 12 11 1(13.16) В уравнении (13.14) делается замена k q dq qa0 1:K ( ), 0 (13.17) с функцией Чаплыгина KM( )()(k)1 20 2Упражнение 4. Показать, что (q) – монотонная функция lim (q),lim(q)q qq mm 0 0Упражнение 5. Показать, что KKKm( ),()(k) ,()0 00 0 2  Таким образом, график коэффициента K ( ) показан на Рис. 2, а область годографа Рис. 1 переходит в полуполосу Рис. 3. K  (k)0 0 2Дозвуковые теченияm 0 Сверзвуковые 2течения Рис. 2 Рис. 3 113 4. Для дозвуковых течений эффективен метод разделения переменных при решении краевых задач газовой динамики. Рассмотрим его применение для задачи об изоэнтропическом истечении симметричной струи из беско- нечного сосуда с прямолинейными стенками Рис.4. A' y AB, A'B' – стенки симмет- ричного относительно оси B' C' x сосуда, с углом наклона q=0 2 0h 0 2h x 0, BB' – отверстие ширины a =a0 B C 2 0h, из которого вытекает газ. qq a a1 1, Вверх по течению A (x)  заданы q =0, 0, Рис. 4 qIm2 02(a ). Интеграл Бернулли принимает вид qII2 20 2(a )(a ). Из него определяется критическая ско- рость a, критическая плотность  и критическое давление p. На свобод- ных границах B'C', BC задано давление pp fS1 00 0(,) и определяется 1 1, a и q1 из интеграла Бернулли qII1 21 20 2(a )(a ). Предполагается, что v q a1 1 или q a1 или p pp1 0 = – Q Требуется определить течение, величину расхода газа 2Q через любое 0 u сечение струи, минимальное сужение A’A  = 0 q1 a струи 2h: Qh q1 1 Годограф течения есть круговой сектор (Рис. 5). Из симметрии задачи следуют краевые условия Рис. 5 (q, ), (q , )(q,)0 01 0  Qи достаточно решить эту задачу Дирихле в секторе ABC. B C   QC' B'’ 114 Для вспомогательной функции Q0, разделяя переменные находим частное решение уравнения (13.14), обращающееся в нуль при 0 0,,   n nn nz nn(q) sin(),,, , ...0 12, где zn(q) – ограниченное решение обыкновенного дифференциального уравнения (q)(()z   1 21 21 0z q)Mn nn(13.18) Решение задачи задается рядом  n n nn z1(q) sin() , если коэффициенты n удовлетворяют краевому условию   n n nn z1 10 01 0(q ) sin(),Разложение в ряд Фурье правой части равенства определяет 1 21( )nnnz q . Итак, искомая функция тока равна  Qz zn nn nn nn0 11 02(q)(q )sin(),(13.19) Для обоснования полученного представления решения, необходимо выяс- нить асимптотическое поведение функций zn(q) при n . Для решений уравнений (13.18) оно таково zRb nq nn n(q)(q)(q),1где RqMMMdq q(q)exp,//1 21 12 11 21 2 22 1 2 0 115 bn(q) – ограниченные функции в интервале 0 q a. (А.Н.Тихонов., А.Б.Васильева., А.Г.Свешников. Дифференциальные уравнения. М. Наука. 1980, стр. 201). Отсюда следует, что ряд (13.19) абсолютно сходится в облас- ти ABB'A' и его можно почленно дифференцировать по q и . Значит, (13.19) дает решение задачи. По формулам перехода (13.15), (13.16) можно вычислить величины в плоскости течения. Например, h находится интегрированием вдоль BC (Рис. 4) hh dy qd dh q zzBCq nn nn nn0 11 01 11 01 01 01 11 20 02 11   sin(q , ) sin sin(q )(q )()Решение (13.19) пригодно для qa1. Можно показать, что оно спра- ведливо при qa1, причем в этом случае струя выравнивается на конеч- ном расстоянии от отверстия (Л.В. Овсянников. Об одном газовом течении с прямой линией перехода. ПММ. Т. 13, Вып. 5. 1949. С. 537-542). Упражнение 6. Решить задачу об истечении струи из несимметричного сосуда с прямолинейными стенками. Упражнение 7. Решить задачу о симметричном струйном обтекании клиновидной стенки конечной длины. Упражнение 8. Решить задачу о лобовом столкновении двух свободных струй. 5. Для сверхзвуковых безвихревых изоэнтропических течений выпол- няется условие гиперболичности (12.3). Поэтому для системы (13.1) можно найти характеристики и условия на них. Удобно пользоваться плоскостью потенциала (, ), которая связана с плоскостью течения формулами (13.15). Система (13.16) записывается в матричном виде 116 00 00 02  q ct g qq q, (13.20) где sin,,MMqa1 1 - угол Маха. Пусть характеристика  ( ) имеет нормаль (, ),1d d; характеристическая матрица такова Aq ct g q( )2Характеристическое уравнение det( ))Aq(ct g 2 22 0 имеет реше- ния   t g. Левые собственные векторы матрицы A( ) можно взять в виде ( ,).1t g Умножение на них (13.20) дает условие на характеристиках Cd dt g rconstCd dt g lconst :,(q),:,(q),    где (q)q ct g dq aq1Переход в плоскость течения по формулам (13.15) дает CdydxtgrqconstCdydxtglqconst:(),( );:(),( )    (13.21) Так как qa sin,  то отсюда следует, y C a что абсолютная величина проекции nu вектора скорости на нормаль к харак- N n a теристике равна скорости звука (Рис. 6). C Простые волны для системы (13.16) 0 Рис. 6 x имеют свойства такие же как для  117 одномерных нестационарных течений. Теорема 1. В простой волне одни из инвариантов Римана r или l сохра- няет постоянное значение. Если rconst, r – волна, ( l const, l –волна), то линии уровня простой волны являются прямолинейными характеристиками C(C ). Обратно, если в области непостоянного течения один из инвариан- тов Римана постоянен, то течение есть простая волна. Доказательство. В простой волне qq(     ),( );( , ). Под- становка в (13.16) дает qq q ct g q    0 02,Непостоянное решение  возможно лишь при qq ct g2 22 20   или 0r l  Пусть rr const (q)0, тогда q q ct g t g     ,0 Значит,  постоянно вдоль характеристики C, но на C постоянно l. Зна- чит, на C постоянны r, l или q,  или , . Следовательно уравнение харак- теристики C интегрируется и получаются прямые линии    t gFy x t gF1(q),()(q).(13.22) Пусть l lconst (q),0 тогда получаются прямые характери- стики C   t gGy x t gG1(q),()(q).(13.23) Наконец, если в некотором непостоянном течении rconst l const(), то величина  зависит от q. Значит, параметр простой волны равен q. Теорема 2. Если в непрерывном безвихревом изэнтропическом плоском течении есть характеристика C(C ), вдоль которой вектор скорости по- стоянен, то к ней примыкает либо постоянное течение, либо простая l – вол- на (r – волна). 118 Доказательство. Пусть вдоль C постоянно q. Так как вдоль C посто- янно r, то величины , l тоже постоянны (см. (13.21)). Через каждую точку C проходят характеристики C заполняя некоторую область, в которой lconst. Значит, в этой области имеется либо l – волна, либо постоянное течение. Простая волна называется центрированной, если все ее прямолинейные характеристики проходят через одну точку. Упражнение 9. Вывести уравнения центрированной r – волны:     (q),(),r t g yx t g0(13.24) и центрированной l – волны:    ( ),(),qltgyxtg0(13.25) Центрированные плоские простые волны называются течениями Прантля-Мейера. Упражнение 10. С помощью центрированной простой волны решить за- дачу обтекания выпуклого угла. Простая волна называется волной сжатия (волной разрежения), если вдоль линии тока в направлении вектора скорости плотность возрастает (убывает). Так как в указанном направлении d 0, то волну определяет знак производной: 0 – течение сжатия, 0 – течение разрежения. Лемма 1. Угловые коэффициенты dy dx dd, прямолинейных характери- стик в простой волне с ростом  либо оба возрастают, либо оба убывают. Доказательство. Для r – волны имеем, используя интеграл Бернулли,    dydxtg()cos ()(),2 119  mqqq ctgqmff2 22 1sin sin cos,,Отсюда выражения для производных 2,2 sin cosdymqdxq ddtgmqq()sin cos2 2 и имеют один и тот же знак. Для l - волны выражения для производных отличаются знаком. Таким образом, геометрический критерий различия простых волн сжа- тия и разрежения на плоскости течения и на плоскости потенциала формули- руются одинаково. Теорема 3. Простая волна является волной сжатия (разрежения), если и только если прямолинейные характеристики сходятся (расходятся) в направ- лении течения (Рис. 7). r – волны  l – волны сжатие разрежение разрежение сжатие направление  течения CC CC  Рис. 7 Доказательство. Прямолинейные характеристики в простых волнах сходятся (расходятся) в направлении d 0, если d d0 0() (см. Рис. 7). Вычисления из леммы 1 dd t g m ()sin cos2 23показывают, что 0 0(). 120 В простой волне сжатия наступает градиентная катастрофа, т.е. про- изводные функций стремятся к бесконечности при неограниченном сближе- нии прямолинейных характеристик. Упражнение 11. Найти место наступления градиентной катастрофы в простой волне сжатия. 6. Для анализа сверхзвуковых течений общего характера плоскость го- дографа преобразуют в плоскость инвариантов Римана по формулам rq lqqq ctgdqaq  ( ),( ), ( )1Выведем дифференциальное уравнение, равносильное уравнению (13.14). Вдоль C меняется только l, т.е. уравнение характеристики Cd t g d    равносильно   lltg. Вдоль C меняется только r и ее уравнение дает   r rt g . Величины ,  зависят только от q, по- этому их можно выразить как функции разности lr. Исключение  из по- лученных уравнений дает уравнение Дарбу lrlrG lr()(),0(13.26) где zGm mz2 28 28 3,(z)sin cos при z0. Как пример постановки краевой задачи для (13.26), рассматривается за- дача об истечении сверхзвуковой струи из прямолинейной трубы ширины 2 0y, в которой течет постоянный поток газа с параметрами 0 00 0,,p qaВне струи покоится газ с давлением pp1 0. Граница струи с покоящимся газом считается контактным разрывом. Пока течение в струе непрерывно, оно является безвихревым и изоэнтропическим. Постоянная в интеграле Бернулли определяется данными задачи qqIm2 02 02(a ). На границе струи давление равно p1, из уравнения состояния определяется плотность 1 и скорость звука a1, из интеграла Бернулли определяется модуль скорости 121 qIq m1 21 22(a ). Ось трубы является осью симметрии задачи, примем ее за ось x и положим на этой линии тока  =0. Граница течения есть тоже линия тока с 0 0 0 0q y Рис. 8 В плоскости потенциала получается краевая задача для нелинейной системы (13.16) в полуполосе 0 00  , с начальными данными q(q0 00 0, ), ( , )  и граничными условиями q(q  ,), ( , )0 10 0Область течения разбивается на подобласти 0, 1,...10,... (Рис. 8), в кото- рых решение либо задается явными формулами, либо ставится классическая краевая задача. К области 0 постоянного течения qq0 0, вдоль харак- теристики C примыкает центрированная простая r – волна (область 1 – A B N1 1 1) rr y yx t g   (q)(q ),().0 10В ней можно найти точку пересечения B1 первой C – характеристики yy x t g 0 0 с осью x, характеристику C, выходящую из B1, точку пе- ресечения C – характеристики B N1 1 с прямой C – характеристикой A N1 1. В области 2 формируется постоянное течение qq1,2 10()()qq. Эта область ограничена прямыми A N1 1: yy x t g0 21(),A A1 2: yy x t g0 2 и прямой C – характери- стикой A N2 1, примыкающей l – волны области 4: lqqqlyx tgG q  ( )()(),()( )2 15 20 1 0 2 4 N1y0q0 > 0 p0x А1А2А3А4 5 N2 7 N3 9 8 10 11 6 q1, p1 < p0B1B2B3B4 3 y 122 К области 4 примыкает постоянное течение (область 5 – B N B2 23) с qq5 0,C – характеристика N B1 2, ее точка пересечения B2 с осью x определяются из решения общей краевой задачи в области 3 – B N B1 12 для уравнения (13.26). Вдоль C – характеристики B N1 1, постоянен l инвариант rr1, и определяется B2N1l2 функция 1( )l, вдоль C – ха- 3 рактеристики N B1 2 постоянен ин-  0  1( )l вариант ll2, на оси B B1 2 заданы N1B1 угол наклона скорости    0r l и функция тока  0 (Рис. 9). r1 r При замене переменных  r l, Рис. 9   уравнение (13.26) остается инвариантным, треугольник B N B2 1 1 переходит в треугольник B N B2 1 1, симметричный относительно биссектрисы r l 0, граничное условие N Bl1 11( ) перейдет в граничное условие  N Br1 11(). Таким об- разом, в прямоугольнике B N B N2 1 1 1 получается задача Гурса, которая имеет единственное решение. Если решение этой задачи найдено, то определяется C – характеристика N B1 2 и параметры на ней. Значит, определяются пара- метры простой l – волны в области 4, в частности C – характеристика A N2 2Аналогично области 3 в области 6 ставится краевая задача для уравне- ния (13.26), из которой определяется C – характеристика N A2 3 и парамет- ры на ней. Далее строится простая l – волна в области 7 и т.д. Упражнение 12. Поставить краевые задачи в областях 3, 6, 9. Написать формулы для простых волн в областях 1, 4, 7, 10. Определить постоянные 123 течения в областях 2, 5, 8, 11. Симметрична ли фигура A B B A1 1 44 относи- тельно прямой параллельной оси y, проходящей через точку N2 (Рис. 8)? Упражнение 13. Вывести уравнение ударной поляры для политропно- го газа. Упражнение 14. Нарисовать ударные поляры для aq qm1Упражнение 15. Показать, что окружность qa пересекает ударную поляру в точке, находящейся на большем расстоянии от центра, чем точка максимального угла поворота потока. Упражнение 16. Решить задачу обтекания тупого угла сверхзвуковым постоянным потоком газа с присоединившимся прямым скачком уплотне- ния. Упражнение 17. Решить задачу об отражении косого скачка от прямо- линейной стенки с помощью еще одного отраженного скачка (регулярное отражение). Упражнение 18. Показать, что из точки схождения трех ударных волн обязательно должен выходить контактный разрыв. 8. Установившееся течение газа в окрестности звуковой линии назы- вается околозвуковым. Звуковая линия на данном решении определяется одним из равносильных равенств q(x y)a y), q(x y)a,(x,,, My)(x,1 Если к звуковой линии примыкает сверхзвуковое течение, то в каждой точке звуковой линии характеристики C и C образуют с вектором скоро- сти угол 90 (13.21), так как sin 1 Теорема 4 (Никольский, Таганов). В плоском потенциальном потоке при движении вдоль звуковой линии, не совпадающей с линией тока, вектор скорости поворачивается монотонно. Доказательство. Из уравнений (13.15), (13.16) следуют равенства для Якобианов 124       (x,( ,(x,( , )( , )( ,()y)q)y)q)q qMq 1 10 2 3 22 22при M1,  const ;   ( ,(x,( ,(x,(x,(x,q)y)q)q)q)y)q x q const y x const0 Выберем локальную систему координат так, как показано на Рис.10. y y Если двигаться по q < a x линии qa, q < a qa чтобы дозвуковая qau область остава- u x лась слева, то а) б) а) q yx0 0,, Рис. 10 б) qyx0 0,Следовательно, вектор u поворачивается по часовой стрелке. Если к звуковой линии примыкает область сверхзвукового течения и двигаться так, чтобы эта область оставалась справа, то вектор скорости по- ворачивается по часовой стрелке. Если с обоих сторон звуковой линии течение дозвуковое или сверхзву- ковое, то на ней  const q aconst,, значит, эта линия эквипотенци- аль d 0Теорема 5. Пусть в области непрерывного течения к звуковой линии примыкает простая волна. Тогда звуковая линия является прямой двойной характеристикой C. Вектор скорости ортогонален этой прямой. Доказательство. Пусть к звуковой линии L примыкает r – волна с уравнением (13.21)  (q)r0. Так как (a )0, то  r0 вдоль L, т.е. L есть линия уровня простой волны, совпадая с некоторой характеристикой Cdy dx t g t g ct g r :()(r) 0 02. Отсюда следует, что LC – 125 прямая yy xr yL  0 00 00(x)ct g, (x ,) Характеристика C, проходя- щая через точку (x ,)0 0y, определяется из уравнений dy dx t g y(x y(),) 0 0. Прямая L удовлетворяет этой задачи, значит, LCC. Никакая другая характеристика не пересекает L. Касательный вектор к L есть l rr(sin, cos),0 0 а вектор скорости та- ков u ar r(cos , sin)0 0. Следовательно,  l u 0. Из доказанных утверждений следует, что непрерывное обтекание стенки с местной сверхзвуковой зоной неустойчиво. Действительно, пусть q < a на участке AB стенки возникла сверхзвуковая зона и имеется M N M прямолинейный участок CA BA B1 1 (Рис. 11), имеющий u q > a C угол наклона равный 0. В A A1 0 B1 B точке 0 1 1 00A B q q:, Из точки 0 выходят две харак- Рис. 11 теристики: CC:(q)(q ),:(q)(q ),  0 00 0 которые пересека- ют звуковую линию в точках MM,, так что M0 0(q ), M0 0(q ). Отсюда MM2 0. При изменении положения точки 0 на A B1 1 точки MM, на звуковой линии смещаются, причем ddMM0. По теореме 1 знаки d dMMи одинаковы, значит, ddMM0 и q const0 на отрезке A B1 1. В характеристическом треугольнике A NB1 1 должно быть постоянное течение 0 0, q q. К постоянному течению примыкают простые волны, которые достигают звуко- вой линии. По теореме 5 звуковая линия есть прямая C характеристика в 126 этих простых волнах, что противоречит ее пересечению характеристиками в точках MM,Итак, непрерывное течение невозможно с местной сверхзвуковой зо- ной, в которой есть прямолинейный участок стенки. В такой зоне должны возникать скачки уплотнения. Упражнение 19. Рассмотреть качественную картину течения в канале с переходом через звуковую линию (сопло Лаваля). Изобразить годограф те- чения. Упражнение 20. Качественно построить картину истечение сверхзву- ковой струи с переходом через звуковую линию из симметричного беско- нечного сосуда с прямолинейными стенками. 1>1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   15

§17. Автономные подмодели ранга один. Подалгебра 3.26 задает представление инвариантного решения 1 1( ),uxtu s ( ),( ),v v s ww s1( ),( ),ln .s SS s sxtt Из уравнений газовой динамики получается решение с точностью до гали- леевых переносов по y и z 1 10 0( ),0,( ),,( ,),uxtu s vws SS pfS   где функции 1( ), ( )u ss удовлетворяют квазилинейной системе обыкновен- ных дифференциальных уравнений 1 11 11 1 1''1,''uuu ufu    Система не разрешается относительно производных, если определитель из коэффициентов при производных равен нулю (особое решение): 2 21 11 10,,ufaaadxtD ua  Особые решения возможны для любого уравнения состояния и являются плоскими центрированными простыми волнами. Если система уравнений разрешается относительно производных 1()ua, то она сводится к уравнению Риккати 2 22 21 22,,0,duufuud  и квадратуре 1 2dusC Случай 0 сводится к постоянному течению. Замена 2 1, ( )( )fg   приводит уравнение Риккати к каноническому виду 1 12 22 22 22duugugugd (17.1) 163 Для нормального газа уравнение состояния )(f p, 0 имеет свойства 0f,f,0f,0f,0f0,f0 0Для функции 0),(g p отсюда получим 0 0g,0g g,0g,0g,0g0,gЧерез каждую точку области 0проходит единственное гладкое решение 2u уравнения (1). В области 1 22ugоно монотонно убывает, граница области состоит из точек минимумов решений. В областях ug2 1 2||/, ug2 1 2 ||/ решение u2 монотонно возрастает. В области 1 22ug решение 2u при 1   (полюс). Действительно, справедливо неравенство 1 21 12 20 02 22 12 0exp exp,duu ugdugdgd   Интегрируя неравенство, получим 1 12 20 00 11 12 22 0exp exp0ugduugdd ,1Точки перегиба расположены на кривой 3 12 22 0.ug ugСуществует отрицательная ветвь этой кривой с асимптотой 2 0.uВ области 1 22ug вдоль интегральных кривых 2 0u  при ,  зна- чит 2 0u(см. рисунок 1). 164 Пусть 2u монотонная ограниченная функция при 0().  То- гда 2 22 22ufu   и следует противоречие. Значит, 2u  при 0. Имеется два типа интегральных кривых. Первый тип (I) имеет две вертикальные асимптоты 1 0,  Вто- рой тип (II) имеет одну вертикальную асимптоту 0 и одну горизонталь- ную асимптоту 2 0.u Имеется разделительная кривая типа II(0), не имею- щая точек минимума. В соответствии с этим имеются два типа кривых 2 2( ).uu Для второго типа кривых (II и 0) 2 0uпри0. Из уравне- ния следует 2 22 2(0)(0).uu  Если 2(0)0,u то 2 23 21 21 20ucuc  и имеем разделительную кривую. Если 2 2(0),u  то 2 22 2,0uu  и имеем кривую типа II (см. рисунок 2). Каждая кривая 2 21( )uuu вместе с квадратурой I 0 u2 0 Рис. 1 II 165 1`1 1( )uudCs   (17.2) задает решение, обобщающее простую центрированную волну (0). Для разделяющего решения (0) в окрестности вакуума (0) имеем 1 11 12((0) ...), ( )(0)uff Уравнение (17.2) опреде- ляет функцию ( ).s При 0sC   (вакуум). Квазилуч 1 0lnsxtts является изохорой. Мировые линии определяются из уравнения 1 10( )ln2lnu sdstCВакуумная линия (0) совпадает с мировой линией. Все мировые линии исходят из начала 0, касаются оси x, имеют бесконечные отрицательные ско- рости при t0 и пересекают изохоры. Это мгновенный точечный источ- ник. В окрестности вакуумной линии мировые линии ведут себя как кривые 0lnxitCtCtМгновенный точечный источник в нуле (t=0) c бесконечными скоро- стями частиц можно физически объяснить как начальные движения частиц u2 0 II Рис. 2 0 -arctg(2) I 166 при t = из точек полупрямой x < 0. Одну из мировых линий можно взять в качестве двигающегося поршня. Сначала поршень вытягивает газ из отрезка, а затем толкает его в вакуум без образования ударной волны (см. рисунок 3). Для кривых типа II поведение таково 1 1(0) ln...,uf    , 1 1( )2(0)ln(0)fCfs      Значит, функ- ция ( )s двузначна, определена для s < C. (см. рисунок 4): 1 20( ),( ),mmss  где m – минимум функции ( ).Ветвь 2( )s похожа на разделяющее решение. Между этими реше- ниями может быть инвариантный ударный переход. Решение 1( )s принци- пиально другое решение. Вакуум наступает при s  Квазилуч, отве- чающий минимальной плотности не является мировой линией. Его можно трактовать как движущийся источник. Для кривых типа I поведение в окрестности полюса таково 0 t Рис. 3 s=C, =0 Мировая линия S=s0x 167 1 11 11( )ln 1    при 1,1 12 21( )ff d при ,  Имеются два решения аналогично кривым типа II. Отличие состоит в том, что первая ветвь отграничена от нуля 1 1( )ms Значит, при s  вакуум не достигается. Подалгебра 3.25 задает инвариантное решение, отличающееся от пре- дыдущего случая подалгебры 3.26 только тем, что 1 1lnvtu ds Проекция мировой линии на ось y такова: 0 02 lnyC tyПодалгебра 3.22 дает 1 11ln( ),ln( ),uzttu s vtv s1 1( ),wztw s( )s , 0,SS1ln .syttИз уравнений газовой динамики получается решение с точностью до галилеева переноса по x: 1 11 1ln ln,ln( ),uzttww vtv s1 1( ),wztw s( )s , 0,SS2 11||,wCvs , где функции 1( ), ( )v ss удов-Рис.4 () sms s m C 0 arctg(f(0)) m 0 m 1 1(s) II I 0 2(s) 168 летворяют квазилинейной системе обыкновенных дифференциальных урав- нений 1 11()1,vvs    1 11()vsvf   Особое решение получается, когда определитель системы равен нулю: 1 2 ,vs 2 0,f1 0exp2,s , 1 10expwws и возможно лишь при линейном уравнении состояния 2 0( )pfp Мировые линии таковы 0 2lnyttty, 1 00 0exp( ),zwysign ttz 1 00 00ln ||xzwytx Плотность в частице изменяется по закону 2 10 0exp2ty  Ла- гранжевыми координатами частиц являются 0 00,,;x y z при этом выполня- ются равенства 2 11 00 0det1exp( ) ,xtwysign tx0 01.txrankxПри 0t частицы сосредоточены на прямой 0yz  (коллапс - мгновенный источник). Траектория есть квазилуч, лежащий в плоскости 1 10 00 00 00()ln ||exp( ) .z xxzwyzwysign tПроекция движения частицы на ось y есть квазилуч отличный от квазилуча – изохоры. При 0y  квазилуч и квазилуч – изохора с 0 совпадают с полупрямой 0y. Картина движения похожа на Рис. 4. Если 2 1()fs , то система уравнений сводится к уравнению Абеля 2-го рода 2 22 22 2,vvfdvdv2 1,vvs   (17.3) и квадратуре 169 22 12 22 22fv ddsCvvv   . (17.4) Интегральная кривая 0 отделяет полуплоскость 0 физических решений. Имеется три особые точки: 1.  = v2 = 0 (седло), 2.  = 0, v2 = -(узел), 3. v2 = ,  = 1, f(1) = 2. Пусть  = 92 - 81f(1), тогда получа- ется 3a) узел при  > 0, 3в) фокус при  < 0, 3б) вырожденный узел при  = 0 (см. рисунок 5). Для каждого  > 0 имеется две точки экстремума у кривой v2 = v2(). При v2 = , 2v . Для каждой однозначной ветви функции v2 = v2() по- лучается зависимость  = (s) из квадратуры (17.4). Также как это делалось v2=-+2kРис.5:)0(f k1, 2 11 23v2 1v2=k-б) v2=+-(-1) v2 -0 a) 1v2=++(-1) -в) v2 1 1  170 при рассмотрении подалгебры 3.26, можно рассмотреть течения между ква- зилучами – изобарами. Если  = 0, то уравнение (17.3) интегрируется и решения представля- ются квадратурами 1 2vvs , 1 32 22(4)vCfd , 1 13 32 21 22 2(4)(4)sCCfdCfddМировые линии определяются из равенств )s(tz z1, )1t(ln tx x1; где функции ss t( ) , zz s1 1( ), xx t1 1( ) удовлетво- ряют дифференциальным уравнениям 2( )dsdtv st, dzw sv sds1 12( )( ), dxdtzww1 11 1()ln||. Подалгебра 3.21 задает представление )s(u tx u1, 1( )yvv st , wztw s1( ) , )s(, )s(SS, tln tx sИз уравнений газовой динамики получаются интегралы S = S0, 3 31 1()vCu, )u(D1 33 1и подмодель ранга 1 11 11()uufu , 3)u(u1 1Особое решение возможно лишь при 0 для уравнения состояния 2 10 4pp :3 12,u1 0exp6s , где 0, p0 - постоянные. Мировые линии задаются равенствами: 3 2(ln)xtta, ybtCesi gn ta()( )1 20 31 3, zctDesi gn ta()( )1 20 1 3 3, где a, b, c – постоянные. 171 При 0t частицы сосредотачиваются на прямой x = 0, Dy = Cz (коллапс – мгновенный источник). Плотность в частице изменяется по закону 3a3 0t e. Траектория частицы есть пространственный квазилуч. Если f)u(2 1, то система уравнений сводится к уравнению Абеля 2-го рода 3u2f3u ud du1 12 11и к квадратуре 1 11 13ln( ).sCuudF   Уравнение Абеля отличается от уравнения (17.3) лишь коэффициента- ми, поэтому картина интегральных кривых такая же как на Рис. 5. При  = 0 уравнение Абеля интегрируется )d f3C(u2 02 1Из этой формулы следует, что плотность отграничена от нуля. Например, при Bf, 2 1, имеем 2 12 02 11)2B3C(u, 2 10 0)CB3 2(; 2 12 10C3)(F, при , 2 10 0)))(2(C()(F, при 0. Отсюда следует 0 2Cs, su1t x 0 Рис.6 x=1/3C1t 172 при s; )2(C)s3C(0 21 0, s3Cu1 1 при 1C3 1s. Движение частицы в проекции на ось x таково: вблизи прямой tC3 1x1 плотность 0, 2 21tCtC3 1x, при s имеем 2 2Cx,  (см. рисунок 6). Получается фокусировка газа к заданной плотности  = 0Подалгебра 3.14 задает представление 1 1UU ( ),xts1( )sin(ln | |( ))VQ sts , WQ sts( ) cos(ln| |( )) 1, )s(, )s(SS; 1 1lnsxttИз уравнений газовой динамики следуют интегралы: S = S0, Q = Q0, 0 11 1u ds при 0Q0. Если Q0 = 0, то (s) – произвольная функ- ция.Вращение вокруг оси x делает 0 = 0. После замены 1 11,uU1 получается подмодель та- кая же, как для подалгебры 3.26. Подалгебра 3.8 задает представление 1 1UlnU ( ),ts1 1( )sin(ln | |( )),VrtQ sts WQ sts( ) cos(ln| |( )) 1, )s(, )s(SS; 1 1ln .sxttИз уравнений газовой динамики получаются интегралы: S = S0,  exp,QD, 3 11()QCUs  и подмодель ранга один 1 11 1()2,UUs    1 11 11()UsUf   Особое решение возможно лишь для уравнения состояния 2 21 04pp   и 0: 1 31 2,Us 1 0exp6,s 1 0exp2,QQs1 2s  173 Мировая линия задается формулами: 1 30 2(ln ),xt xt1 11 10 00 00(2)exp2,tgxtgQx Rt2 21 12 12 00 00 00 00cos exp2sin exp4cos,rtRQxQxгде 0 00,,x R – лангранжевы координаты. Вдоль мировой линии плотность изменяется по закону 0 63 10 0exp6Xx et При t = 0 частицы сосредоточены на логарифмической спирали x = 0, 1 02 0,exp(xrQ  (коллапс – мгновенный источник). Проекция мировой линии на плоскость (t,x) есть квазилуч (см. рисунок 3), проекция на (t, r) есть гипербола с асимптотами 1 10 00 00cos exp2sinrtRQx  и экстремальной точкой 1 11 00 00 2exp2sin(2 ),mtQ Rx1 00 0exp2cos,mrQx про- екция на плоскость (t,) есть монотонно возрастающая кривая 1 10 02 2x  Таким образом, особое решение типа мгновенного источника задает разлет частиц в вакууме по сложной пространственной траектории. Если 1 2 1() ,fUs  то система уравнений сводится к уравне- нию Абеля 2-го рода вида (17.3) 2 12 21 23,2UfdUdU1 21UUs и квадратуре вида (17.4) UUdsC2 21 13  Исследование интегральных кривых проводиться так же как при рас- смотрении подалгебры 3.22. Подалгебра 3.5 задает представление 174 )s(UU1, V = V(s), W = W(s), )s(, )s(SS; expsrИз уравнений газовой динамики получаются 4 типа решений. а) V = 0,  0, W = 0, p = p0 - постоянная,  = (s), U1 = U1(s) – про- извольные функции. Решение описывает течение аналогичное решению, по- строенному по подалгебре 3.7 a). б) V = 0,  = 0, 1 2p rW, p(r) (0)r(p), (s), U1(s) – произвольные функции. Мировые линии определяются равенствами r = r0, 0 01 02 10 00 2x t))r(U()r(r)r(p t2 1x, 0 21 00 0)r(r)r(p tПри  = 0 траектории есть винтовые линии на цилиндре с шагом 2 00 00 12 12U r rrp r( )( ) ( ( ))Два таких решения с  = 0 можно сопрячь через скачок уплотнения. Действительно, пусть h(x,r,) = 0 есть уравнение поверхности скачка уплот- нения. Тогда 0nD, nuuu n , nuu n , 1nhh   и из условия на скачке  0u следует h r = 0,   const kWrUh hx. Значит, 1kx hслед скачка на цилиндре r = r0 есть винтовая линия с шагом 1 2 k. Уравне- ния (4.12) - (4.15) на скачке принимают вид   p)1r k()WkrU(1 22 22 11,     2 12 22pW)1r k(,   WkrU, 0),p;,p(H1 12 2 - уравнение Гюгонио, где 1 12 1r pW, 2 22 2r pW. Если задать k, 1, p1 ( p1/ > 0), то из уравнения Гюго- нио определяется 1 12 12)r,p(V, 1 2p p. Другие уравнения определяют U1, U2 и остается обыкновенное дифференциальное уравнение для нахожде- ния p2(r): 175 2 11 12 2 2 2 22 22 21 11 1(1)()()(1)r k rVppp V VV p k rrОтсюда следует, что 0p2 Итак, для сопряжения двух решений через винтовой скачок уплотне- ния с заданным шагом (след скачка на цилиндре r = r0 есть винтовая линия с шагом, не зависящем от r0) можно взять решение перед скачком с произ- вольными функциями 1(r), p1(r) (0p1). Тогда 2(r), p2(r), U2(r), U1(r) опре- деляются из уравнений на скачке при этом 0p2 В зависимости от знака [W] есть две конфигурации течений: со стенкой перед скачком и со стенкой за скачком (см. рисунок 7). Стенки образованы винтовыми линиями траекторий. в)  = 0, V  0, S = S0, rV = E, Rw =D, 2 12 22 2VdpCr D, 1 11 0( )UUDCr r dr. Это решение задает четыре истечения из ци- линдрического источника аналогичное решению, построенному на подал- гебре 3.6 б), и отличающееся от него лишь движением источника вдоль оси x. При  = 0 контактный разрыв отсутствует. г)  0, V W, S = S0, 1 10ln()UUsVW, 2 21 22VWdpC - интегралы движения. Подмодель ранга один (особое решение рассмотрено в а)) сводиться к автономному уравнению у.в. 2u1uРис.7 у.в. 176 )WV(VW)VW(f)WV(W)WV(f dWdV2 (17.5) и к квадратуре 1 11ln WW dV   , или )(WdWdV1, (17.6) где sln1 1,  - постоянная. При  = 0 течение безвихревое и не является простой волной подмоде- лей ранга 2 или ранга 3. В полярных координатах плоскости годографа cos ,VQsinWQ уравнения (17.5), (17.6) принимают вид: 2 2C)(i2Q, f i, 0Qf)]sin(cos sinQf[Q2, (17.7) 1 11ln ln sinQctg Q dQ     (17.8) Физические кривые уравнения (17.5) должны лежать в круге Q < C. Окружность Q = C интегральная кривая, на ней  = 0,  1sin expsDТраектория на этом решении является границей с вакуумом 0)(d)cos sin(sin rd cos drПри const0вакуумные траектории есть прямые 0 00sin cos exp()C yz  , зависящие от параметра 0. При 1arctg вакуумная траектория есть логарифмическая спираль  0exprr, где 2 10 1exprDarctg, являющаяся огибаю- щей семейства прямых и одновременно некоторой линией уровня. Уравнение (17.5) допускает инверсию VV, -WW, значит, кар- тина интегральных кривых симметрична относительно начала координат. Имеется 5 особых точек уравнения: 1) V = W = 0, 0, 2i() = C2 – фокус и точка торможения; 177 2) W = 0, V = ±C,  = 0 – узелы при   2 с касательными интегральных кривых m:WVC1 2(); - вырожденные узелы при  = 2, где f() , при   0; 3) 2 1CV, 2 1CW,  = 0 – два седла с сепаратрисами касатель- ными к окружности VWC2 22 и к прямым lVWC :(())()()  1 21 11 22 (см. рисунок 8). Рис. 8 Непрерывный кусок течения может быть в области (фундаментальная область), заключенная между разными спиральными линиями уровня. Урав- нения разных линий уровня таковы 1 10ln r    , 2 00; или  0exprr, 0 1exp 2r Теорема 17.1. Линия тока не может быть продолжена за точку касания с линией уровня. Доказательство. Линии уровня удовлетворяют уравнению V W C V=αW S R P F 000l+ m− 178 1r drd  или 0d1, и являются логарифмическими спиралями 1 1ln rconst   Линии тока по решению уравнений (17.5), (17.6) или (17.7), (17.8) оп- ределяются из равенств WrdVdr или d ctg rdr или 1 11 1dVWd . (17.9) Условия касания линии тока и линии уровня имеют вид V = W или ctg (0). Интегральные кривые уравнения (17.5) пересекают прямую V = W под постоянным углом dVdWVW2 12. В полярных координатах плос- кости годографа подмодель имеет вид f)1()sin(cosQQfQ2 22 1, f)1()sin(cosQ)sin(cos sinQf2 22 21Отсюда следует   1 02 21 0 , QQ  1 02 21 0Значит, если двигаться вдоль линии тока в сторону увеличения 1 че- рез точку касания линии тока с линией уровня, то угол наклона вектора ско- рости к вектору точки положения монотонно убывает, а модуль скорости монотонно возрастает. Если линия тока лежит по одну сторону от линии уровня и касается ее, то соседняя линия уровня пересекает ее в двух точках, в которых  одинако- во, и получается противоречие с монотонностью изменения угла наклона вектора скорости к вектору точки положения. Пусть линия тока пересекает линию уровня и касается ее в точке пере- сечения. Так как угол между вектором точки положения на линии уровня и 179 линией уровня постоянен и равен 0, то угол между вектором точки на ли- нии тока с линией тока имеет экстремум в точке касания. Получается проти- воречие с монотонностью изменения  при переходе через точку касания. Из этой теоремы следует, что интегральные кривые уравнения (17.5) нужно рассматривать лишь по одну сторону от прямой V = W (см. рису- нок 8). Каждый кусок интегральной кривой дает непрерывное течение в об- ласти, ограниченной двумя разными линиями уровня. Знак d1 определяется знаком выражения )1(f)sin(cosQ2 22На кривой  = 0 меняется направление возрастания 1 и ускорение обра- щается в бесконечность. Уравнение  = 0 равносильно уравнению 1 0sin()sinaQ ,  – угол Маха, т.е. 0. Дифференциро- вание по  приводит к равенству 2 21sin 2(2)ma QQ Q . При  = 0 и 2 кривая  = 0 (овал, эллипс для политропного газа) касается окруж- ностей Q = C и aQ. Для точек близких к окружности Q = C выполняется неравенство  > 0. Направление возрастания 1 при движении вдоль инте- гральных кривых показано стрелками на рисунке 8. Рассмотрим пример построения линии тока для интегральной кривой SPF, идущей из седла в фокус, которая задается уравнением ( )QQ, ),(0 0 . При движении от S к F значение переменной 1 убывает. За начальную точку линии тока возьмем точку P, для которой , Q = Qp и скорость направлена к центру по лучу. Пусть для этой точки 0 = 0, этого можно добиться поворотом начального луча полярной системы координат. Линия тока задается равенствами 1 0()ctgQ dQ     , 180 1 11 1ln QctgdQQ dQ    , где  - параметр,  задает начальную линию уровня P, которую можно выбрать произвольно (см. рисунок 9). Из уравнения (17.7 ) для ),(0 следует неравенство 1 1fQ1QQ1 22 1, где ),(ctgВ силу этого равенства получим F0F0F0 1Qln1dQQQ1ctgQln1)(0, 0 0)sin(ln1dQQQ)(ctg)(0 00 00uSuPuF1R1SP1P1FPРис. 9 181 и линия тока наворачивается из бесконечности, где приближается к линии уровня F1 Для ),(0 воспользуемся равенствами C1 1Q0, pQ1Q, C)(Q0, pQ)(Q и априорным представлением о картине интегральных кривых (Рис. 8), в частности, для интегральной кривой, иду- щей из седла, справедливы неравенства 1QQ1 1. Тогда 0 0)sin(ln dQQ)(ctg)(0 10 10 00; s1 11 00 1d)QQ(ctgCln)(0, где интеграл сходится, так как в особой точке 0 или ctg подынтегральное выражение )QQ(ctg1 12p2p2Qa имеет конечный предел. Итак, линия тока разворачивается в бесконечность при 0, при- ближаясь к линии уровня s1 Другие линии тока получаются перенесением скоростей вдоль линии уровня. Такое перенесение можно сделать неограниченно далеко в беско- нечность и неограниченно близко к нулю, если все линии уровня в этом те- чении различны. Для этого необходимо выполнение условия 0 0dQQ1ctgQCln1 2)()(F0 10 1, которое можно удовлетворить выбором . В этом случае получается закру- ченное течение между спиральными линиями уровня с переходом через ско- рость звука (R1 - звуковая линия уровня) из бесконечности в бесконеч- ность с разворотом потока (Рис. 9). Любая линия тока наворачивается из бес- конечности, где она асимптотически приближается к линии уровня F1и, которую можно считать стенкой; на некотором витке она разворачивается, 182 пресекает звуковую линию, и далее разворачивается в бесконечность асим- птотически приближаясь к линии уровня S1, за которой вакуум. Если 2FS, то получается однолистное течение. Если 2FS, то непрерывный кусок течения возможен только на одном витке. Но можно представить и многолистное течение, когда 0 и имеется движение частиц в направлении перпендикулярном плоскости пере- менных r,  Две разные линии тока задают бесконечное скрученное сопло, которое можно обрезать на любом витке. 1   ...   7   8   9   10   11   12   13   14   15


49 или
 






t
MN
t Nm


 


1 1
0 1
( )
exp
. Тогда неравенство (6.13) принима- ет вид
 


m t
M
t Nm






( ) exp
0 1
Отсюда следует
(6.9) с




k
M m
TN m

1 2
2
exp
Следствие. Если


U
V

на

0
при t=0, то это равенство верно в любой точке
 

x t
,

Если
 

t – гладкая гиперповерхность класса
C
1
, то на ней (6.8) может выполняться в виде равенства, т.е. она, есть характеристика на решении

U
, тогда

называется областью определенности задачи Коши.
Обобщенная задача Коши. Значения искомых функций задаются на гиперповерхности

, в каждой точке которой выполнено строгое неравенст- во (6.8) для ее нормали. Если же некоторые бихарактеристики лежат в ги- перповерхности

или касаются ее, то обобщенная задача Коши может быть некорректной.
Задача о поршне. Вместе с начальными данными на гиперплоскости t=0 задают контактную характеристику

:
( , )
0,
0
t
h t x
h
u
h

  
. Через

газ не течет и ее сечение гиперплоскостью t=const задает движение дефор- мирующегося поршня. Скорость движения этого сечения в направлении нормали при t=0 может не совпадать с нормальной компонентой скорости частиц газа. В этом случае возникает сильный разрыв. Если скорость сечения в начальный момент совпадает с нормальной компонентой скорости, то вы- полняются условия согласования нулевого порядка и возможен слабый раз- рыв производных, который будет двигаться по звуковой характеристике.
При согласовании первых производных, могут рваться вторые производные и т.д. Задача о поршне с условием согласования корректна в малом по t воз- можно со слабым разрывом, распространяющимся по звуковой характери- стике, проходящей через сечение

с гиперплоскостью t=0. Если же условия

50 согласования не выполнены, то непрерывного течения не существует и реа- лизуется движение с сильным разрывом и центрированными волнами разре- жения.
Задача обтекания. Частный случай задачи о поршне, когда поверх- ность

неподвижна и непроницаема. Если

задается уравнением
 
h x


0, то условие непроницаемости таково

u
h
 


0.
(6.14)
Набегающий поток газа задается параметрами газа на бесконечности.
Задача со свободной границей. Задаются начальные данные. Разы- скивается контактная характеристика

, на которой задается давление. Если

определяется уравнением
 
h x t

,

0
, то условия на свободной поверхно- сти таковы
 
h
uh
vh
wh
p
p x t
t
x
y
z





0 0
,
, .

(6.15)
Разрешимость таких задач изучена слабо.
Задача Гурса. Все граничные данные задаются на характеристиках и удовлетворяют условиям на характеристиках. Например, пусть задана глад- кая поверхность
 
 
R x
3

, расположенная на гиперплоскости t=0. Через нее проходят две звуковые характеристики


и


разных семейств, на кото- рых заданы значения газодинамических величин








U
u p
U
u p










,
,
,
,
,


как функции класса
 
C
1


с выпол- ненными условиями на характеристиках. Требуется определить решение в области

, ограниченной характеристиками


и


. Если выполнены усло- вия согласования на поверхности

, то в области

содержится контактная характеристика

0
, на которой может образоваться слабый разрыв. Если граничные данные непрерывны на

, то вдоль характеристики

0
распро- страняется разрыв производных. Если на

непрерывны первые производные

51 граничных значений, то вдоль характеристики

0
распространяется разрыв вторых производных и т.д. Если условие согласования не выполнены, то в

необходимо возникают особенности.
Задача Гурса корректна в малом по t для времени подобных областей, для которых прямая параллельная оси t выпущенная из точек

лежит внут- ри области

. В противном случае для пространственно подобных областей на граничных характеристиках должны выполняться условия согласования: мировая линия частицы пересекающая характеристики имеет в точках пере- сечения согласованные скорости.
Задача с особенностями. Если начальные данные (6.1) не являются непрерывными, то для любого t в решении появятся особенности, характер которых зависит от структуры функций (6.1). К таким задачам приводятся физические задачи взаимодействия различных движений газа или соприкос- новение газа с внешними телами; сосредоточенное взаимодействие на газ в точке, на линии или на поверхностях, на которых задаются интегральные ха- рактеристики: поток массы, импульса или энергии; асимптотического пове- дения параметров газа в точке, на линии, на поверхности при t
 
Задача отыскания периодических решений. Начальные данные (6.1) есть периодические функции. Требуется найти решение, являющееся перио- дическим для t
t

0
Могут быть и другие ограничения на решения. С ними познакомимся далее.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   15

§7. Групповой анализ.
Уравнения газовой динамики (3.5), (3.6), (3.9) инвариантны при дейст- вии
G
11
группы Галилея, расширенной растяжением. Существуют ли другие однопараметрические группы преобразований, допускаемые уравнениями газовой динамики? Ответ отрицательный, если уравнение состояния

52
 
p f
S
 
,
общего вида. Для специальных уравнений состояния допускаемая группа расширяется.
Существует алгоритм вычисления группы, допускаемой дифференци- альными уравнениями. Он основан на соответствии между однопараметри- ческими группами преобразований и линейными дифференциальными опе- раторами первого порядка.
Пусть x
i i
,
, , , ,

012 3
независимые переменные; u k
k
,
,
, ,

1 5

зависи- мые переменные,




x f x u, a u
g x u, a i
i k
k




,
,
,
(7.1)
однопараметрическая группа преобразований, т.е. суперпозиция двух преобразований с параметрами a a
1 2
,
есть преобразование из этого же се- мейства с параметром


a a a
3 1
2
 
,
. Функция

задает закон умножения.
При a=0 (7.1) задает тождественное преобразование.
Тогда функции




i a
i a
k a
k a
u)
f u)
g
(x,
,
(x,




0 0
задают опера- тор дифференцирования вдоль орбиты группы (7.1) в точке a=0:
X
i
x
k
u
i
k


 
 
(7.2)
Для каждого оператора (7.2) решается задача Коши








a
i
i
a
k
k
a
x
x u
u
x u
x u
x u




 

 
 

( ,
),
,
, ( ,
)
,
0
(7.3)
Решение задачи (7.3) есть однопараметрическая группа с канониче-
ским законом умножения a
a a
3 2
1


(его всегда можно ввести заменой группового параметра).
Если однопараметрические группы образуют группу Ли G, то им соот- ветствующие операторы образуют алгебру Ли L – векторное пространство с
коммутатором двух элементов






1 2
1 2
2 1
1 2 2 1 1 2 2 1
,
i
k
i
i
k
k
x
u
X X
X X
X X
X
X
X
X

 

 






(7.4)

53 со свойствами билинейности, антисимметричности

 

X
X
X
X
1 2
2 1
,
,
 
и тождеством Якоби












X
X
X
X
X
X
X
X
X
1 2
3 2
3 1
3 1
2 0
,
,
,
,
,
,



Группе
G
11
из § 1 соответствует алгебра Ли
L
11
с базисом из операто- ров, записанных в декартовой системе координат:
X
X
X
X
t
X
t
X
t
X
y
z
v
w
X
z
x
w
u
X
x
y
u
v
X
X
t
x
y
z
x
y
z
x
u
y
v
z
w
z
y
w
v
x
z
u
w
y
x
v
u
t
t
x
y
z
1 2
3 4
5 6
7 8
9 10 11 7 5




















































,
,
,
,
,
,
,
,
( . )
,
,
Алгоритм отыскания допускаемой группы равносилен разыскиванию операторов (7.2), для которых уравнение газовой динамики являются инва- риантным многообразием, т.е. операторы являются касательными диффе- ренцированиями. Операторы (7.2) предварительно продолжаются на произ- водные по правилу



X
D
u D
i x
k u
i k
j k
i j
u i
k i
k




 
 

 
,
(7.6) где
D
u i
x i
k u
i k




– операторы полного дифференцирования.
Вычисления дают следующий классификационный результат. Если уравнение состояния
 
p f
S
 
,
общего вида, то максимальная алгебра Ли, допускаемая уравнениями (3.5), (3.6), (3.9), есть
L
11
. Для специальных урав- нений состояния возникают дополнительные операторы, расширяющие ал- гебру L
11
до L
k
, k – размерность алгебры. Результаты приведены в таблице
1, где f,

– произвольные функции,
Y
t u
v w
t u
v w
0








,
S – произ- вольная функция энтропии.
Таблица 1
N p k
Дополнительные операторы
1
 
f
S



12

 






p
Y
p
2 1
1 0
(
)

54 2
 
f S

12
Y
p p
0 2


3 5
3
,
S

 

13
Y
Y
p
0 2
 

,
4 5 3
S

14


t Y
xX
yX
zX
t p
p
0 4
5 6
3 5








,
Y
0 2
 

, Y
p
5
 
ln
f S



12
Y
p
0 2
2





6
 
f
S


12
Y
1 7
1 3
,
0,
1,
S






13




Y
Y
p p
1 0
1 2
2 1
2 1 0
,
;
,
,










 

 

8 1
S



13
Y
1
, Y
p p
0





9
S


13
Y
1
, Y
p
10 ln
S


13
Y
1
, Y
0 2
 

11 1
3
S


13
Y
1
, Y
p p
0 3





12
S

Y
0 2
 

,
 
 
 
Y
p p
p p









Некоторые алгебры в таблице 1 подобны относительно замены пере- менных

, p. В таблице 2 указываются подобные пары алгебр Ли из таблицы
1 и приводятся преобразования подобия.
Таблица 2
Алгебры
Преобразование подобия
N=6, N=1 при
 
1





p p
p
1
,
ln
N=2, N=1










p p
p
,
,
1 1
N=5, N=2
 

 

p p
p
1
,
ln
N=10, N=3
 



p p
p
1
,
ln
В случае бесконечной алгебры N=12 операторы алгебры и уравнения газовой динамики допускают преобразование
 
 
 




p p p
,
. Эти

55 преобразования подобия позволяют установить конечное число классов по- добных конечномерных подалгебр.
Подалгеброй алгебры Ли называется подпространство замкнутое от- носительно коммутатора.
Для приложений важно знать всевозможные подалгебры алгебр Ли из таблицы 1. Для каждой подалгебры система уравнений газовой динамики может быть сведена к более простой системе уравнений на инварианты по- далгебры, которая называется подмоделью.
Перечисление подалгебр алгебры Ли L производится с точностью до внутренних автоморфизмов алгебры L – однопараметрические линейные преобразования в L, удовлетворяющие задаче



a a
X
X Y
X
X



,
,
,
0
(7.7) где
X X Y
L
,
,

, в качестве Y можно брать базисные операторы. Вычисле- ние однопараметрических групп для базисных операторов алгебры Ли и их суперпозиции дают полную линейную группу внутренних автоморфизмов.
Если взять по одной подалгебре из класса подобных относительно группы внутренних автоморфизмов, то получится оптимальная система
подалгебр.
Инварианты подобных подалгебр связаны заменой переменных из группы, допускаемой исходными уравнениями, поэтому решения подмоде- лей, построенных на подобных подалгебрах с помощью связанных инвари- антов, связаны той же заменой переменных. Поэтому достаточно строить подмодели для подалгебр из оптимальной системы.
Для основных алгебр из Таблицы 1 оптимальные системы построены.
В приложении приводится оптимальная система для алгебры
L
11
, взятая из работы [5]. В таблице введены обозначения: r – размерность подалгебры, i – номер подалгебры в данной размерности; в базисах подалгебр оставлены номера операторов (7.5); в колонке Nor поставлен номер подалгебры (r.i) из

56 таблицы, которая является нормализатором подалгебры в строке; знак = у номера подалгебры-нормализатора обозначает, что подалгебра в строке са- монормализована.
Нормализатором
Nor
M
L
(
)
подалгебры M алгебры L называется мак- симальная подалгебра в L, для которой M является идеалом.
Идеалом J алгебры Ли L называется подалгебра, для каждого элемента которой коммутатор с любым элементом из L принадлежит J.
Подмодель подвергается исследованию, так же как и основные уравне- ния газовой динамики. Упрощение происходит за счет уменьшения числа переменных. Усложнения получается ввиду того, что решения подмодели необходимо интерпретировать в физических переменных. Подмодель допус- кает преобразования нормализатора, записанного в инвариантах подалгебры.
В дальнейшем проводятся исследование некоторых подмоделей. Под- модели могут быть разных типов, в зависимости от того какие инварианты рассматриваются (точечные или дифференциальные), а также от того, какие выражения для инвариантов получаются.
Полное исследование всех подмоделей еще далеко от завершения.
Можно лишь констатировать, что ранее исследованные подклассы точных решений системы уравнений газовой динамики вкладываются в систему подмоделей, построенных по оптимальным системам.
По оптимальной системе можно построить граф – дерево вложенных подалгебр, учитывая внутренние автоморфизмы. Каждой ветке этого дерева
(подалгебра – надалгебра) можно сопоставить вложенные подмодели так, что решения любой подмодели надалгебры порождают точные решениями некоторой подмодели подалгебры. Для этого всегда можно выбрать инвари- анты надалгебры как функции инвариантов подалгебры. Представление группового решения определяется заданием функциональной зависимости

57 одной части инвариантов через другие. Сравнение представлений подалгеб- ры и надалгебры задает связь между решениями подмоделей.
Упражнение 1. Доказать, что в любой однопараметрической группе можно ввести канонический параметр.
Упражнение 2. Показать, что однопараметрическая группа удовлетво- ряет задачи (7.3).
Упражнение 3. Показать, что решение задачи (7.3) образует канониче- скую группу.
Упражнение 4. Проверить свойства билинейности, антисимметрично- сти и тождество Якобы для коммутатора (7.4).
Упражнение 5. Вывести операторы (7.5) из преобразований 1

5

§1.
Обратно, решая (7.3) для операторов (7.5) получить группу
G
11
Упражнение 6. Продолжить операторы (7.5) на производные и прове- рить, что они допускаются системой уравнений газовой динамики.
Упражнение 7. Проверить, что операторы в каждой строке таблицы 1 образуют алгебру Ли, составив таблицу коммутаторов.
Упражнение 8. Проверить, что
L
11
является идеалом в каждой алгебре из таблицы 1.
Упражнение 9. Проверить, что операторы таблицы 1 допускаются уравнениями газовой динамики.
Упражнение 10. Проверить преобразования подобия из таблицы 2.
Упражнение 11. Показать, что преобразования подобия
 




( ),
( )
p p p приводят конечномерные подалгебры бесконечной ал- гебры
 
 
Y
p

к одной из трех:
 




Y
Y Y
Y Y
Y
p p
p
1 1
1 2
;
,
;
,
,
Упражнение 12. Найти внутренние автоморфизмы алгебры
L
11
, решая задачи (7.7) для базисных операторов.
Упражнение 13. Найти нормализаторы подалгебр из упражнения 11.

58
Упражнение 14. Проверить, что в таблице из приложения операторы в строчках образуют подалгебры, и вычислить для них нормализаторы.
Упражнение 15. Показать, что


J
X
X
6 1
6

,
,

есть идеал в
L
11
, а


X
X
N
7 11 5
,
,


подалгебра. Составить оптимальную систему для
N
5
: r i
Базис
Nor r i
Базис
Nor
5 1
7, 8, 9, 10, 11
=5.1 1
1 7+a11, a

0 2.1 4
1 7, 8, 9, 10 5.1 2
7 3.2 2
7, 8, 9, 11
=4.2 3
7+10 2.2; a =0 3
1 7, 8, 9 5.1 4
10 5.1 2
7, 10, 11
=3.2 5
11 4.2 2
1 7, 11
=2.1 2
7+a11, 10 3.2 3
10, 11 5.1
Упражнение 16. Для каждой подалгебры из таблицы упражнения 15 вычислить стационарную подгруппу автоморфизмов, действующую в
J
6
Упражнение 17. Проверить оптимальную систему из приложения.
Упражнение 18. Записать басисные операторы алгебры
L
11
в цилинд- рической системе координат.
§8. Инвариантные подмодели ранга три.
Одномерным подалгебрам из оптимальной системы (см. Приложение) сопоставляются инвариантные подмодели ранга три. Необходимо вычислить базис функционально независимых инвариантов оператора, причем выбрать его так, чтобы три инварианта базиса выражались только через независимые переменные, а из остальных инвариантов определились бы все неизвестные функции. Инварианты – функции всех переменных зависимых и независи- мых, которые обращаются в нуль действием операторов из подалгебры. Вы-

59 числять инварианты многомерной подалгебры можно последовательно. Сна- чала вычисляются инварианты одного любого оператора, а остальные опера- торы записываются через инварианты первого. При лишней неинвариантной переменной коэффициенты приравниваются нулю (расщепление). Далее вы- числяются инварианты следующего оператора и так далее.
Инварианты можно выбрать так, что инвариантная подмодель ранга три принимает один из следующих двух типов: эволюционный тип
E




u u u v u b R P
a v
u v v v b R P
a w
u w v w a
R
u R
v R
R u v
Ra
P
u P
v P
A
P u v
a t
x y
x t
x y
y t
x y
t x
y x
y t
x y
x y
1 1 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1 1 2
1 2
1 1
1 1
1 3
1 1
1 1
4 1
1 1
1 5
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1























,
,
,
,
(R, )
,
(8.1) где коэффициенты системы b
x y a
i i
(t,
,
)
,
1 1
0

– квадратичные функции по переменным u v w
1 1
1
,
,
;
стационарный тип
S


u u v u w u b R P
a u v v v w v b R P
a u w v w w w b R P
a u R
v R
w R
R u v
w
Ra u P
v P
w P
x y
z x
x y
z y
x y
z z
x y
z x
y z
x y
z
1 1 1 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1 1 1 2
1 2
1 1
1 1
1 1
3 1
3 1
1 1
1 1
1 4
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1























,
,
,
,






A
P u v
w a
x y
z
(R, )
,
1 1
1 5
1 1
1
(8.2) где b
y z a
i i
(x ,
,
)
,
1 1
1 0

– квадратичные функции по u v w
1 1
1
,
,
Системы (8.1), (8.2) приводятся к симметрическим системам так же, как это было сделано в § 3. По определению из § 5 система (8.1) гиперболи- ческая.

60
Теорема 1. Для системы (8.2) область гиперболичности определяется неравенством
b u
b v
b w
a
1 1
1 2
2 1
1 2
3 1
1 2
2






(8.3)
Доказательство. По определению из § 5 для характеристического век- тора


  

( , , ) системы (8.2) получается уравнение




 



3 2
2 1
2 2
2 3
2 0




a b b
b
, где
 





u v
w
1 1
1
Для гиперболичности системы необходимо, чтобы квадратичная форма по переменным

в квадратных скобках была знако- переменна. Это возможно, если собственные числа матрицы квадратичной формы имеют разные знаки.
Уравнение для собственных чисел таково g
J
J
J
( )
,









3 1
2 2
3 0
(8.4) где
J
a v
w b
b b
J
b b b b b b
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
3 2
1 2 1 3 2 3











(u
)
,
















a u b b
v b
b w
b b
J
a b b w b b v b b u b b b
2 1
2 2
3 1
2 1
3 1
2 1
2 3
2 1 2 1
2 1 3 1 2
2 3 1 2
1 2 3
(
)
(
)
(
) ,
По теореме Раусса (Ф.Р. Гантмахер. Теория матриц. М. Наука, 1966, с.
475) число k положительных корней многочлена g( )

равно числу перемен знака в ряду выражений, составленных из коэффициентов уравнения (8.4)
1 1
2 3 1 1
3
,
,
,




J
J
J J
J
При k=1 возможны три случая
1 0
0 2
0 0
3 0
0 1
1 2 3
3 1
1 2 3
3 1
1 2 3
3
)
,
,
;
)
,
,
;
)
,
,
J
J J
J
J
J
J J
J
J
J
J J
J
J









При k=2 возможны еще три случая

61 4
0 0
5 0
0 6
0 0
1 1 2 3
3 1
1 2 3
3 1
1 2 3
3
)
,
,
;
)
,
,
;
)
,
,
J
J J
J
J
J
J J
J
J
J
J J
J
J









Пусть


2 2
2 2
2 1
2 3
1 1
1 0
,
b
b
b q
a
u
v
w

 




, иначе переобозначим переменные.
В случае 1) из
J
1 0

следует
q
b
b
b
2 1
2 3



и
J
3 0

. Покажем, что не- равенство
1 2
3
J J
J

выполняется. Действительно,




J J
q b
b b
b b b b b b q b b
1 2 2
1 2
3 1 2 1 3 2 3 2
1 2








(
) ;
b b b
J
1 2 2
3 3
(q
)


и достаточно доказать неравенство


2 1
1 2
2 1
2 3
1 2
3 3
1 (
)(
)
,
q
b
b
b
b
b
b
q
q
b




  







которое равносильно следующему очевидному неравенству



2 2
3 2
3 1
0
q
b
b
q
b
b
 
 

или
1 2 0.
b b

Значит, область вне сферы
q
b
b
b
2 1
2 3



в пространстве перемен- ных q
u a
q
u a
q
u a
1 1
1 2
2 1
3 3
1






,
,
является областью гиперболично- сти.
Из 2), 3) следует, что область между сферой
q
b
b
b
2 1
2 3



и эл- липсоидом q b
q b
q b
1 2
1 1
2 2
2 1
3 2
3 1
1






разбивается на две части поверхно- стью
J J
J
1 2 3

и обе части являются областями гиперболичности.
Таким образом, случаи 1)

3) объединяются в одном неравенстве
J
3 0

, равносильном (8.3).
В случае 4) следует q
b
2 3

,

62





q
b
b
b
b b
b b
b b
b q
b q
J J
J
b b q
b
2 1
2 3
1 2 1 3 2 3 1
2 2
2 1 2 3
1 2 2
3












Отсюда следует противоречивое неравенство



q b
b q
b b
2 3
2 2
3 1
0





или b b
1 2 0

В случаях 5), 6) из неравенств J
J
1 3
0 0


,
следуют противоречивые нера- венства q
b b
b q
b
2 1
2 3
2 3




,
Теорема доказана.
Рассматриваются инвариантные подмодели ранга 3, построенные по одномерным подалгебрам оптимальной системы из приложения.
Подалгебра 1.1 задает движение с квазиконической спиральной ли-
нией уровня инвариантных функций. Для составления уравнений подмоде- ли вычисляются инварианты оператора подалгебры в цилиндрической сис- теме координат. Оператор


at
ax
bt
ar
b
t
x
r
U











имеет инварианты: x
xt ba t y r t z
a t
1 1
1 1
1 1
1



 




ln ,
,
ln ;

u
U
xt ba v
V
r t w
t Wr a
P
p R
1 1
1 1
1 1
1 1














,
,
,
,

Используя инварианты, записываем вид инвариантного решения


1 1
1 1
1 1
1 1
,
,
,
,
,
U
u
xt
ba
V
v
rt
W
rt
w
a
p
P
R






 

 




(8.5) где u v w
P R
1 1
1
,
,
, ,
– функции инвариантов x y z
1 1
1
,
,
Подстановка (8.5) в уравнения газовой динамики (3.5), (3.6),(3.9), запи- санных в цилиндрической системе координат, дает систему стационарного типа (8.2) с b
b b
y
1 2
3 1
2 1




,
;
a u
ba a
v y
a a
y a
v y
1 1
1 2
1 1
1 1 2 3
1 1
1 1
1 1
2
 

 


 






,
(w
) ,
(w
)(
),
1 4
1 1
5 4
3
,
a
y v a
Aa

  

Линия в физическом пространстве R
x r
4
(t, , , ),

соответствующая по- стоянным значениям инвариантов
1 0
1 0
1 0
,
,
,
x
x y
r z




является линией

63 уровня инвариантных функций u v w
P R
1 1
1
,
,
, ,
. Проекция этой линии в про- странство R x r
3
( , , )

задается равенствами x
r r
x b
a r
r r
r e a










0 0
0 0
0
ln
,
(
)
 
Первое уравнение задает поверхность вращения квазилуча (см. рис. 1), пере- секающего ось r в точках r=0 и r
r r e ax b




1 0
0 1
, и имеющего один мини- мум в точке x
ba e r r m
 



1 1
1 0 1
,
r r e m


1 1
r r
1
r m
x m
0 x
Рис. 1
Второе уравнение задает цилиндр с прямой образующей параллельной оси х и направляющей – логарифмической спиралью. Таким образом, линия уровня есть спираль, намотанная на поверхность вращения квазилуча.
При
b

0
квазилуч становится лучом x
r r
x


0 1
0
. Поверхность вра- щения есть конус. Таким образом, спираль наматывается на коническую по- верхность.
Фиксируем переменные t, x, r и меняем

от

0
до


0 2

. Мы полу- чим одну и туже точку в физическом пространстве. При этом значения инва- рианта z
1
принимает приращение 2

. Значит, для того, чтобы решение ин- вариантной подмодели задавало непрерывное течение в физическом про- странстве, необходима 2

– периодичность инвариантного решения u v w
P R
1 1
1
,
,
, ,
по переменной z
1
. В противном случае в течении должны быть поставлены стенки или сильные разрывы.

64
Подалгебра 1.2 задает движение с винтовыми линиями уровня, шаг
которых зависит от времени. В цилиндрической системе координат опера- тор имеет вид: at a
a x
U







,
;
0 инварианты таковы
1
,
,
t x
x
at

 
1
,
, ,
, , .
r U
xt
V W p



Представление инвариантного решения имеет вид




1 2
2 2 2 1
1 1
1 1
2 2 2 1
1
;
,
,
,
,
U
a
r
r
a t
u
atr w V
v
W
w
atr r
a t
u
R p
P















(8.6) где u v w
P R
1 1
1
,
,
, ,
– функции инвариантов t x r y
,
,
1 1

Подстановка (8.6) в уравнения газовой динамики (3.5), (3.6), (3.9), за- писанных в цилиндрических координатах, дает систему эволюционного типа
(8.1), где
2 2 2
1 2
1
,
1;
b
a t r
b

 

1 4
1 5
4
,
,
a
v r
a
Aa

 

1 1
1 1
2 2 2 2
1
,
a t
atr
a
v
w
u
r
r
r
a t













2 2
1 1
2 2 2 1
,
atr
a
w
u
r
r
a t











2 2 1
2 1
3 1
1 2
2 2 2
2 2 2
v a t r
r
a t
atr
a
w
u
r
a t
r
a t

 










Постоянным значениям инвариантов t, x
1
, r соответствует винтовая линия в физическом пространстве R x r
3
( , , )

. Это линия постоянства инва- риантных функций.
При фиксированных переменных t, x, r и меняющимся угле

от

0
до


0 2

инвариант x
1
и функция U получают приращение 2

at и 2

a соот- ветственно. Следовательно, в области движения газа должна быть стенка или поверхность сильного разрыва, сечение которых любым цилиндром r=const есть винтовая линия.
Подалгебра 1.3 имеет инварианты t, x, r; U, V, W, p,

в цилиндриче- ских координатах. Инвариантное решение вида
1 1
1
( , ,
),
U
u t x y


65 1
1 1
1 1
1 1
1
( , ,
),
( , ,
),
( , ,
),
V
v t x y W
w t x y
p
P t x y



1 1
( , ,
),
R t x y


1
,
x
x

1
;
y
r

определяет подмодель эволюционного типа (8.1) с
1 2
1,
b
b


1 2
1 1
1 2
1 3
1 1
4 1
5 4
0,
,
,
,
a
a
r w a
r v w a
r v a
Aa





 
 

Линии уровня инва- риантных функций есть окружности, поэтому подмодель называют подмоде- лью вращательно симметричных движений.
Подалгебра 1.4 задает движение с винтовыми линиями уровня, шаг
которых не зависит от времени. Инварианты в цилиндрической системе координат таковы t x r y x
U V W p
,
,
;
, ,
, , .
1 1

  

Инвариантное решение вида
U
v r
w r
u V
u W
w r
u p
P
R











1 1
1 2
1 1
1 1
1
,
,
,
,
,

где функции u v w
P R
1 1
1
,
,
, ,
зависят от инвариантов t x y
,
,
,
1 1
задает эволю- ционного типа подмодель (8.1) с b
b r
1 2
2 1
1

 

,
;
a r
r u
a r
u r
u a
r u w r
r u
a r
u a
A a
1 1
1 1
1 2
2 2
1 1
1 1
3 1
1 1
2 1
1 1
2 4
1 1
5 4
2




 


 









(w
) ,
(w
),
(w
) ,
,
Если решение подмодели 2

– периодическое по y
1
, то оно задает не- прерывное движение газа.
Подалгебра 1.5 задает вращательные движения в однородном поле
сил. Инварианты в цилиндрической системе координат таковы x
x t
y r z a
t U
t V W p
1 2
1 1
1 2
 




,
,
,
, ,
, , .


Представление решения в виде
U
t u V
v W
a r w
R p
P
 






1 1
1 1
1
;
,
(
),
,
,

где функции u v w
R P
1 1
1
,
,
, ,
зависят от инвариантов x y z
1 1
1
,
,
, задает стационарного типа подмодель (8.2) с b
b b
a r a
1 2
3 2
2 1
1 1



 

,
;
,
a a r w
a r
v w
a r
v a
A a
2 2
1 2
3 1
1 1
4 1
1 5
4 1
2 1


 

 




(
) ,
(
),
,
Для непрерывности физического течения нужно потребовать 2

a
–
периодичность по z
1
решения подмодели.

66
Уравнения x
const y const z const
1 1
1



,
,
задают вращательное движение точки по цилиндру, равноускоренное в направлении оси цилиндра.
Подалгебра 1.6 задает вращательные движения. Инварианты в ци- линдрической системе координат таковы x
x y
r z
t
1 1
1


 
,
,
,

U V W
p
, ,
, , .

Представление инвариантного решения в виде
U
u

1
;
V
v W
r w
R p
P





1 1
1
,
(
),
,
,

где функции u v w
R P
1 1
1
,
,
, ,
зависят от x y z
1 1
1
,
,
, определяет стационарного типа подмодель
(8.2) с b
b b
r a
1 2
3 2
1 1
0





,
;
,
a r
w
2 1
2 1


(
) ,
a r
v w
a r
v a
A a
3 1
1 1
4 1
1 5
4 2
1
 

 



(
),
,
Для непрерывности физического течения требуется 2

– периодич- ность по z
1
решения подмодели.
На линии постоянства инвариантов x y z
1 1
1
,
,
точка движется по ок- ружности с постоянной круговой скоростью.
Подалгебра 1.7 задает обобщенно конические течения. Инварианты в декартовой системе координат таковы x
xt a
t y yt
1 1
1 1





ln ,
,
z zt u
xt v, w,
p
1 1
1




,
,
, .

Представление инвариантного решения в виде u
u xt a v v
yt w
w zt
R p
P












1 1
1 1
1 1
,
,
,
,
,

где функции u v w
P R
1 1
1
,
,
, ,
зависят от x y z
1 1
1
,
,
, определяет стационарного типа подмо- дель (8.2) с b
b b
a u
a
1 2
3 1
1 1



 

;
,
a v
a w
2 1
3 1
 
 
,
,
a a
A a
4 5
4 3
 

,
Линия в R
y, z
3
(x,
) постоянства инвариантов x x
y y
1 0
1 0


,
, z
z
1 0

есть квазилуч x
y
y
x
a
y
y








0 0
0
ln
(см. Рис. 1) в плоскости
z y
y z
0 0


67
Подалгебра 1.8 задает конические течения. Инварианты в декартовой системе таковы x
xt y
yt z
zt
1 1
1 1
1 1






,
,
,
u
x t
v
w
p


1
, ,
,
, .

Представление инвариантного решения в виде
u
u
x t



1 1
,
v
v
yt
w
w
zt
R p
P








1 1
1 1
,
,
,
,

где функции u v w
P R
1 1
1
,
,
, ,
зависят от x y z
1 1
1
,
,
, определяет стационарного типа подмодель (8.2) с b
b b
a u
1 2
3 1
1 1



 
;
,
a v
a w
2 1
3 1
 
 
,
, a a
A a
4 5
4 3
 

,
Линии постоянства инвариантов x y z
1 1
1
,
,
являются прямыми, прохо- дящими через начало декартовой системы координат.
Подалгебра 1.9 задает движения газа в постоянном поле сил. Инва- рианты в декартовой системе координат таковы
2 1
1 2
,
x
x
t
 
y y, z z u t v, w,
p
1 1



;
,
, .

Представление инвариантного решения в виде u
t u v v w w
R p
P
 




1 1
1
,
,
,
,

задает подмодель
(8.1) с b
b b
a a
a a
a
1 2
3 1
2 3
4 5
1 1
0



 




,
,
Линии постоянства инвариантов x y z
1 1
1
,
,
есть прямые, параллельные оси x, по которым точки двигаются равноускоренно.
Подмодель 1.10 задает стационарные движения газа. В этом случае представление решения есть газодинамические функции, независящие от времени. Получается стационарная подмодель (8.2) с b b
b
1 2
3 1



,
a a
a a
a
1 2
3 4
5 0





Проведем качественные исследования эталонной простейшей подмо- дели стационарного типа. Индекс 1 у всех переменных опускается в даль- нейшем описании стационарных движений.
Линии в
R
y, z
3
(x,
),
определяемые как интегральные кривые системы обыкновенных дифференциальных уравнений dx u
dy v
dz w



68 называются линиями тока и обозначаются символом L. Из (1.2) следует, что линии тока являются траекториями частиц в стационарном движении. Урав- нения для энтропии (3.8) принимает вид
 



D S
uS
vS
wS
x y
z
0. От- сюда следует интеграл энтропии: энтропия вдоль линии тока постоянна
S
S

0
(L).
(8.7)
Из уравнения (3.13) после скалярного умножения на скорость

u следу- ет равенство




 


D
u
D p
2 0
1 2
1


Вводится в рассмотрение энтальпия i
pV
 

В силу первого закона тер- модинамики (2.2) и (8.7) следует равенство





D u i

2 2
0
Отсюда получается интеграл Бернулли
 

u i
i L
2 0
2 2


(8.8)
Так как di d
a
S const




2
, то I
a d


2 2
0



отличается от 2i на слагаемое, зави- сящее от S.
Упражнение 1. Для нормального газа при постоянной S справедливо, что I(a )
2
есть однозначная возрастающая функция квадрата скорости звука и
I(a )
2 0

при a
2 0

; I(a )
2
 
при
  
Итак, (8.8) представляется в виде
 

u
I
q
L
m
2 2
2


(a )
, где q
m есть максимально возможная скорость на данной линии тока L. Мак- симальная скорость достигается в точке вакуума a

0 и
 
0.
Критической скоростью a


0
называется единственный корень уравнения

69
a
I a
q
m




2 2
2
(
)
Теорема 2. Для дозвуковых течений

u a

справедливо неравенство

u a
a



; для сверхзвуковых течений

u a

следует неравенство

u a
a



Доказательство. I(a )
2
– монотонно возрастающая функция. При

u a

справедлива цепочка неравенств
 
 
 
 
 



u
I u u
I a q
L
a
I a a
I a m
2 2
2 2
2 2
2 2
2










, откуда следует неравенство

u a
a



При

u a

все знаки неравенств заменяются на противоположные.
Неравенство (8.3) показывает, что в области сверхзвукового течения система (8.2) является гиперболической.
Для определения характеристик подмодели установившихся течений воспользуемся результатами §5. В выражении для характеристической мат- рицы А отсутствуют слагаемое с
A
t
. Нормальный характеристический век- тор в
R
y, z
3
(x,
)
таков


n n


( , , ),
  
1 – это единичная нормаль к харак- теристике. Величина
   
 
u n u
n
– проекция на нормаль вектора скоро- сти. Уравнение для нахождения характеристического вектора det ( )
A n


0 распадается на три: u
n

0
– контактные характеристики, которые состо- ят из линий тока; u a
n
 
– звуковые характеристики, на которых проек- ция скорости на нормаль по абсолютной величине равна скорости звука.
Звуковые характеристики возможны лишь в области сверхзвукового течения, так как

u u
a n


. В областях дозвуковых течений возможны лишь кон- тактные характеристики.

70
Для линии тока L определяется трубка тока
T
r
, которая образована линиями тока, проходящими через окружность
K
r малого радиуса r с цен- тром на линии L и лежащей в плоскости перпендикулярной L (Рис. 2).
Пусть K – другое сечение
T
r
T
r и

– боковая поверхность

u между
K
r и K. Поверхность
L

образована линиями тока,
K
r
K поэтому на ней
 
u n
 
0
, где

n -
Рис. 2 нормаль к

Интегральный закон сохранения массы для неподвижного объема

с границей

гласит: изменение массы в объеме равно потоку массы через по- верхность
  




t d
u nd




 
Для стационарных течений отсюда следует равенство
( )
r
r
K
K
Q T
u nd
u nd










(8.9) для расхода
Q
r
(T )
, который не зависит от сечения.
Пусть площади
K
K
r
,
есть
 
r
,
и существует предел lim r
r
F


0


–
площадь сечения.
Тогда существует конечный предел
Q
Q
u F
r r
r




lim
(T )
0 1



называемый расходом вдоль линии тока L.
Из (8.9) следует интеграл
F u
const


(8.10)

71
Теорема 3. В расширяющейся трубке тока дозвуковая скорость убыва- ет, а сверхзвуковая скорость возрастает; в сужающейся трубке тока, наобо- рот, дозвуковая скорость возрастает, а сверхзвуковая убывает.
Доказательство. Дифференциал от (8.8), (8.10) вдоль L дает d
u d u
M
M
u a
(
)
(
),
;








1 2
dF
F
d u
u


(
)




0.
Отсюда получим равенство dF
F
d u u


(M
)
2 1

 .
(8.11)
Из (8.11) следуют все возможные сочетания знаков: dF
M
d u dF
M
d u dF
M
d u dF
M
d u












0 1
0 0
1 0
0 1
0 0
1 0
,
,
;
,
,
;
,
,
;
,
,
,




равносильные совокупности всех утверждений о свойствах трубки тока.
В установившимся движении поверхность ударной волны неподвижна
D
n

0
и называется скачком уплотнения.
По теореме Цемплена 4.4 состояние 1 перед скачком и состояние 2 за скачком связаны неравенствами u
a u
a n
n
1 1
2 2


,
Следовательно, перед скачком уплотнения течение сверхзвуковое, а за скач- ком может быть как сверхзвуковым, так и дозвуковым. Из (4.10) следует
1 2
0 2

u pV
 






или



u i
2 2
0


,

72 т.е. постоянная в интеграле Бернулли (8.8) не меняется при переходе через скачок
   
i q
m
0 0


вдоль линии тока L.
Если вектор скорости ортогонален скачку, то скачок называется пря-
мым. В этом случае линия тока проходит через скачок гладко. Скачок уп- лотнения называется косым, если вектор скорости образует угол с нормалью скачка. В этом случае вектор скорости меняет направление при переходе че- рез скачок, а линия тока имеет излом, при этом касательная составляющая скоростей не меняется (4.11) (см. Рис. 3).
Уравнение (4.15) имеет вид
[ ]

u
h
  
0
и служит для определения поверхности скачка

: ( )
,
h x


0
здесь |[ ]|
[
].

u
u
n

Уравнение адиабаты
Гюгонио (4.14) или (4.16) удобно записать в виде
V
V
z
2 1
1


(
( )),

где
z
p V a


[ ]
1 1 2
- амплитуда скачка.

u
1
v

n
u

u
2

u


Рис. 3
Поведение графика функции Г (z) следует из свойств адиабаты Гюго- нио, установленных в § 4 (Рис. 4.3), в нормальном газе (см. Рис. 4, где z
p a
1 1 1 1
1 2




).
Условия на скачке принимают вид
u
u
z
n
n
2 1
1 1

  
( ),
a z
u
z
n
1 2
1 2


( ). Отсюда
2 2
2 1
1
(
) ( ).
z
M
u a
z




Из подобия прямоугольных треугольников на рисунке 3 следует
v
u
q
u
u
u
u
q
n
n
n





1 1
1 2
1
, где
2 2
2 1
1 1
1
|
|
,
,
n
u
q u
q
u




2 2
2 2
u
u
v



73

1 1
1
 



45

M
z
1 2
 

z
1 0 z
0
z
1 1
0 1
 


Рис. 4
Отсюда получается параметрическое представление ударной поляры
u
q
M
z



1 1
2 1
(
),
v
a z
z
zM
2 1
2 1
2



( ( )
),

где
M
q a
1 1 1 1


,
z - параметр кривой в плоскости ( , )
u v (Рис. 5). v
90

90

N
90

N'
B
2

'


B
2
B
1
M

1
u
0
a

q
1
u

u
Рис. 5
Из свойства звездности адиабаты Гюгонио следует, что уравнение

( )
z
M
z


1 2
при любом
M
1 1

имеет единственный корень
z M
0 1
(
).
По- этому ударная поляра определена в интервале 0 0
 
z
z , звездна относи- тельно точки
(
, ),
q
1 0
имеет в этой точке производную |
/
|
dv
du
ctg


1
при
z

0,
где

1
- угол Маха sin

1 1 1 1


a q
В силу звездности угол наклона

скорости

u
1
к поверхности скачка всегда больше угла Маха

1
Точка
(u , )
0 0
, u
q q
M z
0 2
1 1
2 0
1




(
)
, соответствует прямому скачку.
По теореме Цемплена 4.4 течение за прямым скачком всегда дозвуковое u
a
0


. За косым скачком течение может быть как сверхзвуковым
B
2
, так и

74 дозвуковым

B
2
. Для косых скачков угол поворота вектора скорости не пре- восходит некоторого максимального значения. Ударная поляра при z

0 имеет бесконечные ветви в области u
q

1
с асимптотой u
u q
z




1 1
1
(
)
. В этом случае состояние 1 находится за скачком.
Подалгебра 1.11 задает сдвиговые движения. Инварианты в декарто- вой системе координат таковы t
x x
t z y y; u z v w,
p
,
,
, ,
, .
1 1
 



Представление инвариантного решения в виде u
z u
t w t
v v
 



1 1
2 1
1
,
,
1 1
2
,
1
w
tu
w
t



,
,
R p
P



где функции u v w
P R
1 1
1
,
,
, ,
зависят от t x y
,
,
1 1
, определяет подмодель эволюционного типа (8.1) с
2 1
2 1
,
1,
b
t b
 

a t u w
t a
a a
a u
1 1
1 2
2 4
5 3
1 2
1 0







,
,
Линии уровня инвариантных функций есть параллельные прямые, ле- жащие в плоскостях параллельных плоскости (x, z). Направления прямых линий уровня линейно зависит от времени.
Подалгебра 1.12 описывает галилеево - инвариантные движения га-
за. Инварианты в декартовой системе координат таковы
t x
y
,
,
1

y
z u
x t
v w
p
1 1



,
, , , , .

Представление инвариантного решения в виде
1 1
1 1
,
,
,
,
,
u
xt
w v
u w
v
R p
P








где u v w
P R
1 1
1
,
,
, ,
зависят от t x y
,
,
1 1
, определяет подмодель эволюционного типа (8.1) с
b
b
1 2
1


;
a
a
a
t w
1 2
3 1
1 0


 

,
, a t
a
A a
4 1
5 4
 


;
Линии уровня инвариантных функций параллельны оси x.
Подалгебра 1.13 описывает двумерные движения газа. Инвариант- ное решение имеет представление u
w v
u w v
p
P
R





1 1
1
,
,
,
,
,

где

75 все функции зависят от t x y, y z
,
,
1 1


и задает подмодель эволюционного типа (8.1) с b
b
1 2
1


,
a a
a a
a
1 2
3 4
5 0





При w
1 0

получаются плоскопараллельные движения газа.
В последних двух случаях третье уравнение подмодели отщепляется от системы и может быть решено как линейное уравнение по известному реше- нию оставшихся уравнений. C учетом этого замечания каждая из рассмот- ренных здесь подмоделей ранга три допускает лишь нормализатор алгебры, по которой она построена. При этом операторы нормализатора должны быть записаны в инвариантных переменных, которые остались в системе после отщепления некоторых уравнений.
Таблица 1 из §7 не сохраняется для подмоделей. Есть подмодели, когда она сокращается и когда она расширяется с появлением новых уравнений со- стояния, при которых допускаемая подмоделью группа расширяется.
Упражнения 2. Подставить представления инвариантных решений для подалгебр 1.1- 1.13, указанные в тексте, в уравнения газовой динамики, и по- лучить подмодели (8.1) и (8.2).
Упражнения 3. Перенести некоторые свойства подмодели установив- шихся движений на другие подмодели стационарного типа.
Упражнения 4. Найти базисы функционально - независимых инвари- антов для всех подалгебр из приложения.
Упражнения 5. Как можно доказать утверждения о двух типа инвари- антных подмоделей, не перебирая все подалгебры?
Упражнение 6. Для каждой из подмоделей проверить утверждение о допускаемой алгебре в виде нормализатора.
Упражнение 7. Привести подмодели к симметрическому виду.
Упражнение 8. Составить таблицы расширений для подмоделей.
Упражнение 9. Вывести уравнения характеристик для подмоделей.

76
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   15

§9. Частично инвариантные подмодели.
Для некоторых подалгебр из оптимальной системы нельзя построить инвариантных решений. Это случается, когда из инвариантов подалгебры невозможно определить все газодинамические функции. Число

лишних функций, неопределяемых из выражений для инвариантов, называется де-
фектом инвариантности. Инварианты, из которых определяются некоторые газодинамические функции, назначаются функциями от лишних функций и инвариантов, выражающихся через независимые переменные. Число r неза- висимых переменных этих функций называется рангом.
В качестве примера рассматривается подалгебра 5.34 из приложения, состоящая из всех переносов и растяжения. Ее инварианты: u, v, w,

, p. Ин- вариантное решение ранга ноль есть постоянное решение:


u u
p p



0 0
0
,
,
 
Частично инвариантное решения подалгебры 5.34 ранга n дефекта n называется n - волной: простая волна при n=1, двойная волна при n=2,
тройная волна при n=3.
Рассматривается простая волна, для которой представление решения удобно искать в параметрическом виде


u u
p p
S
S




( ),
( ),
( ),
( ),

  


где

(t, )

x
– новая иско- мая функция. Поверхности уровня простой волны есть гиперповерхности

(t, )

x const

, на них газодинамические функции постоянны. Из уравнений газовой динамики (3.5), (3.6), (3.8) следует переопределенная система урав- нений


   

  


  



D
u
u D
p
S D


0 0
0
,
,
(9.1)

77
Условия совместности системы (приведение в инволюцию) порождают новые уравнения. Часть из них образует систему обыкновенных дифферен- циальных уравнений для

u p
, , ,

остальные уравнения есть пассивная систе- ма уравнений для

Последнее уравнение системы (9.1) приводит к альтернативе: либо
D
 
0, либо
 
S
0
В первом вырожденном случае p const

. Изобарические течения бу- дут рассмотрены позже.
Теорема 1. Невырожденная простая волна есть изоэнтропическое без- вихревое движение. Поверхности уровня являются гиперплоскостями и зву- ковыми характеристиками.
Доказательство. Во втором случае альтернативы
S

const,
 
p
0, r ot u u
ku



    
 

0,
, где
 
k t x
,


0 – фиксированная функция.
Скалярное умножение второго уравнения (9.1) на

в силу первого урав- нения дает

   


(D )
2 2
0
p или
(D )

2 2
2 0

 
a
В силу (5.2) уравнение
 
const задает звуковую характеристику.
Скалярное умножение второго уравнения (9.1) на


u в силу первого уравнения дает


2 2

   
u p
(9.2)
Так как D
u ku u t
t
 


   

 

 
, то из первого уравнения (9.1) получаем в силу (9.2)


t k u u
p ku
 
  




  





1
,
(9.3)
Отсюда следует, что нормаль к поверхности
 
const имеет одно и тоже направление для всех ее точек, т.е. эта поверхность является гиперплоско-

78 стью.
Из доказательства теоремы 1 следует, что система обыкновенных диф- ференциальных уравнений для

u p S
, , ,

есть
 
S
0, (9.2) и уравнение со- стояния p
f
S

( , ).

Имеется произвол в решении в 3 функции одного пере- менного. Система (9.3) есть пассивная система для

. Для поверхности уров- ня

=const имеем уравнение с постоянными коэффициентами
0 1

  


 

 










d
dx
dt
k u
dx
u u
p dt
t






 
Интегрирование приводит к неявному заданию функции



1
( )
x u
t u u
p
F






 


, если определены

u p
F
( ), ( ), ( ), ( )
  


Рассматривается другой пример частично инвариантного решения для всей допускаемой алгебры
L
11
. Имеется только два инварианта

, p. Изоба- рические течения p=const есть частично инвариантные решения ранга ноль дефекта 4. Уравнения газовой динамики становятся переопределенной сис- темой для лишних функций
D
Du divu
 


0 0
0
,
,


(9.4)
Для описания таких движений удобно ввести лагранжевы переменные (1.2) dx dt u x t x
t

 





( , ),
0

(9.5)
Тогда определяются все искомые функции
 
 
 
  





 


 


 
,
,
,
u u
x t u
(9.6) а последнее уравнение системы (9.4) в силу равенств (3.2), (9.6) принимает вид
1 1
2 1
3







  














 

det det det
,
I
t
u
t tr
u
t tr
u
u
t
u





















79 где I – единичная матрица. Отсюда следуют три уравнения для начальных скоростей, которые в декартовой системе координат таковы
u
v
w
u
u
v
v
u
u
w
w
v
v
w
w
u
u
u
v
v
v
w
w
w































0 0
0
,
,
(9.7)
Для системы (9.7) найдено общее решение (Л.В. Овсянников. Изобарические движения газа. Дифференциальные уравнения. 1994. Т.30, № 10. С.1792-
1799). Пусть r r ank u





 .
Теорема 2. Любое решение системы (9.7) принадлежит одному из трех классов: r


0
– постоянное решение, r


1
– простая волна, r


2
– двойная волна.
Поверхности уровня простой волны есть цилиндрические поверхности в R
3
( )


. Линии уровня двойной волны есть плоские кривые второго порядка.
Решения типа простой волны зависят от двух произвольных функций одного переменного и одной произвольной функции двух переменных. Ре- шения типа двойных волн зависят от трех произвольных функций двух пе- ременных.
Доказательство. Если r


0,
то

u const

. Если r


1
, то
 



u u

 
( ) – простая волна. Подстановка в (9.7) дает


  
u ( )
,

0
(9.8)

80 т.е. поверхность
 
const есть цилиндр с образующей параллельной векто- ру


u ( )

. Общее решение (9.8) можно представить в виде:
 


u, v v(u), w w(u);
 




 
 
w v
(u,
), где v, w,

– произвольные функции своих аргументов.
Если r


2
, то
 


u u

 
,
– двойная волна. Подстановка в (9.7) дает


u u


  
  
0,
(9.9)






u u



    
0
(9.10)
Двойную волну можно задать равенством f (u, v, w) =0, f (u (


) , v (


), w (


))=0. Отсюда следуют равенства


 

 











u u
u f u f u f
m u u




0 0
,
,
с некоторым множителем m


. Для линий уровня
 
const
,
 
const имеем


 

 


  
d d
d n






0 0
,
,
, с некоторым множителем n


. В силу (9.10) имеем
 



u f d

0, и после интегрирования вдоль линии тока получаем



  

u f
g u
( ),
(9.11) т.е. линии уровня есть плоские кривые в R
3
( ).


Дифференцирование (9.11) по


дает



 

 





u
f
A u
A u
(
)
(
)
,


0 где
2 2
,
u
u
u
A
f
g
f

 
 

– матрица из вторых производных.
Скалярное умножение на


u u


,
с учетом (9.9) дает


B
B
     
0,










B
A u
u
A u u
A
u
u
 






(
)
(
)
(
).






Отсюда



B
l
   
с некоторым множителем l

0 и d
B


 

0. Так как

81








d
B
d
A
u
u
A d
u
u
u
u
d
A












 






















(
)
(
)




 






u u
A d



, то


A d



0
. Интегрирование вдоль линии уровня да- ет равенство









   
 

u u
f g
h(u
2 2
),
(9.12) которое показывает, что линии уровня есть плоские кривые второго порядка.
Пусть f
v)
w,
u,
v,







(u,
тогда (9.11), (9.12) задают общее решение уравнений (9.7)



 

 


u v
uu uv vv u
v g
v),
g g
h(u, v),

 





(u,
2 2
2 2
2
(9.13) зависящее от трех произвольных функций.
Упражнение 1. Записать уравнения (9.7) в полярных координатах, свя- занных с цилиндрическими формулами
V
Q
W
Q


cos ,
sin ,



 











;
,
,
r
R
x t t t t t t
0 0
0
Упражнение 2. Вывести представление решения (9.7) для r


0 1 2
, ,
в полярной системе координат: r
U
u
V
v w
W
v w





 

0 0
0 0
0 0
:
,
cos sin ,
sin cos ;








r
Q
Q
R
U R


 







1 2
2 2
1 2
:
sin(
)
,
cos(
) ,
/


  

  
где t g
Q
Q




 


(Q
) ,
(U), (U),
1
– произвольные функции;


r
U
Q
R
RQ
g Q
Q









2 1
:
,
,
cos(
)
sin(
)
( , );

 
  

 
























R
R Q
R Q
R Q
R Q
R
RQ
h(Q
QQ
Q
Q
Q
2 2
2 2
2 2
1 2
1 2
2 2
1 2
2 2
2
cos (
)
sin (
)
sin (
)
sin (
)
sin (
)
cos(
)g sin(
)g
, ).
  
  
  
  
  
 
 






82
§10. Дифференциально инвариантные подмодели.
Для подгрупп большей размерности точечных инвариантов становится мало, для того чтобы существовало представление конструктивно вычисляе- мого группового решения. Число инвариантов можно увеличить с помощью продолжения операторов подалгебры на производные по формулам (7.6).
Такие инварианты называются дифференциальными. Для любой алгебры операторов существует базис дифференциальных инвариантов, из которого все остальные получаются с помощью операторов инвариантного дифферен- цирования и функциональными операциями [6, стр. 319].
Уравнения газовой динамики записываются через дифференциальные инварианты базиса, тем самым определяются независимые инварианты бази- са.
Дифференциально инвариантной подмоделью ранга
r
r

1
называ- ется представление уравнений газовой динамики как многообразие размер- ности r
r

1
в пространстве независимых дифференциальных инвариантов, проекция которого в пространство инвариантов нулевого порядка имеет раз- мерность r .
Величина
r
ограничена сверху числом независимых переменных и ог- раничена снизу числом инвариантов, зависящих только от независимых пе- ременных. Величина
r
1
ограничена сверху числом независимых дифферен- циальных инвариантов базиса.
Для каждой подалгебры из оптимальной системы можно рассмотреть более общее определение дифференциально – инвариантных решений: до- полнительные соотношения на дифференциальные инварианты. Эти соот- ношения называют инвариантными дифференциальными связями.
Рассматривается известный пример такого представления.
Нетрудно проверить, что векторное уравнение

83 r ot u


0
(или

 
0
)
(10.1) инвариантно относительно всей алгебры
L
11
, продолженной на производ- ные. Оно может быть записано через дифференциальные инварианты. Дви- жения газа, удовлетворяющие (10.1), называются безвихревыми. Из анализа известно, что (10.1) равносильно существованию потенциала
 

( , ):

x t

u
 
,
(10.2) поэтому безвихревое движение называют также потенциальным.
Лемма. При непрерывном безвихревом движении нормального газа выполняется соотношение
   
S
0.
(10.3)
Доказательство. Из уравнения (3.14) для вихря
D
u divu p










  

  

(
)
2
в силу равенства
 
  
p a
f
S
S
2
при

 
0
получается (10.3).
Если движение газа баротропно
( )
p
p


, непрерывно и в начальный момент безвихревое, то оно будет безвихревым во все моменты времени.
Для безвихревого изэнтропического движения уравнение импульсов интегрируется. Действительно, S
const

из (2.2) следует dp di
 
или
 
p i

. Уравнение (3.13) принимает вид









t u
i
1 2
0 2

. Отсюда получается интеграл Коши - Лагранжа


t i
b
  

1 2
2
( )
(t).
(10.4)
Без ограничения общности b(t) можно считать равным нулю. Вместе с урав- нением неразрывности получается замкнутая подмодель
D
t
 


     
,
(10.5) где
 

div
– оператор Лапласа.

84
Из (10.4), (10.5) исключается

; получается квазилинейное дифферен- циальное уравнение второго порядка:
D
a t


 






1 2
0 2
2
( )
,

где

должно быть найдено из (10.4),
D
t

   

В декартовой системе координат имеем

 
 
 






  
  
  
tt
x
x t
y
yt
z
zt
x
x x
y
yy
z
zz
x
y
x y
x
z
x z
y
z
yz
a
a
a














2 2
2 2
2 2
0 2
2 2
2 2
2
(
)
(
)
(
)
(10.6)
Уравнение (10.6) имеет только две звуковые характеристики. Следова- тельно, в потенциальном движении слабый разрыв распространяется только по звуковым характеристикам, а на поверхностях из линий тока всякий сла- бый разрыв есть контактный разрыв.
Для установившегося потенциального течения интеграл Коши-
Лагранжа (10.4) совпадает с интегралом Бернулли (8.8)
 

2 2
2
I
q m
(a )
,
(10.7) где q
m не зависит от линий тока. Из (10.6) получим
(u
)
(v
)
(w
)
2 2
2 2
2 2
2 2
2 0










a a
a uv uw vw xx yy zz xy xz yz






(10.8)
Характеристическая квадратичная форма для единичного нормального вектора имеет вид:



   
2 2
a
. Так как


u
  

, то в области течения с дозвуковыми скоростями уравнение (10.8) имеет эллиптический тип. Ес- ли

u a

, то квадратичная форма разлагается на два действительных мно- жителя, т.е. (10.8) имеет гиперболический тип. В области течения с транс- звуковыми скоростями
M
u a


1
уравнение (10.8) имеет смешанный эл- липтико - гиперболический тип.

85
Уравнения газовой динамики вместе с (10.1) допускают
L
11
. Значит, уравнение (10.6) допускает аналог
L
11
, записанный для производных от функции

(это алгебра контактных преобразований). Уравнения (10.8) до- пускают аналог нормализатора алгебры X
10
из оптимальной системы, т.е. подалгебру 8.1, записанную в переменных x, y, z.
На группе вращений рассматривается особое инвариантное решение с представлением вида
 





u x
r r
x

(r ),
Подстановка в (10.8) и (10.7) дает
 


d a
dr r
d
2 2


,

2 2
2


I
q m
(a )
(10.9)
Подстановка в первое равенство дифференциала второго равенства
d
a
d



2 2
1 2
0



и интегрирование дает

r
Q
const
2 0



,
(10.10) где 4

Q есть расход газа через сферу радиуса r.
Итак, имеется два интеграла (10.9), (10.10) для описания движения.
Для конечных значений

и

из (10.10) следует, что r
r


. Минимум


1/2
r
Q
a


 

вычисляется y функции
1 4
2 2
2 2
1 0
2
,
m
r
Q
q
a
d
















достигается для критической скорости при
a
a
u



и равен


1/2
r
Q
a


 

При r

либо

0, либо

0 при этом
 
q m
(Рис. 1).
Таким образом, при

> 0, Q > 0 (

< 0, Q < 0) получаются два возможных неточечных звуковых источника (стока).
В случае
0




a течение вне источника (стока) дозвуковое, в случае a
q m




течение сверхзвуковое.

86 r r

Рис. 1 0 a

q m

Ускорение частицы в рассматриваемом радиальном течении вычисля- ется по формуле





a
u
u
x r
x r
a
a

  
 




1 2
2 2 2
2 1
2



(
)
. При
r
r


получаем
a
a a

 

,

Таким образом, течение двулистно и происходит с дозвукового листа на сверхзвуковой лист через звуковую сферу
r
r


с бесконечным ускоре- нием. Поверхность, на которой ускорение бесконечно, называется предель-
ной поверхностью и физически реализоваться не может. До ее появления в течении образуется поверхность слабого или сильного разрыва, по которой примыкает другое решение уравнений газовой динамики или какой-то дру- гой модели.
Другой пример дифференциально - инвариантного решения есть дви- жение газа с не изменяющимся объемом
J
t

0
или di vu


0 (см. (3.2)). Это уравнение инвариантно относительно всей алгебры
L
11
Из уравнений газовой динамики и закона (2.2) следует
0,
0.
Di
Du
i

  
Эта переопределенная подмодель изохорических движений не приведена в инволюцию.
Упражнение 1. Продолжить операторы алгебры
L
11
на производные.

87
Упражнение 2. Проверить инвариантность относительно
L
11
равенств
rot u


0,
di v u


0
Упражнение 3. Построить решение уравнений газовой динамики с div u


0
Упражнение 4. Построить все инвариантные подмодели ранга 2 для уравнения (10.6).
Упражнение 5. Вычислить характеристическую квадратичную форму для уравнения (10.8).
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   15

§11. Приближенные подмодели.
Оптимальная система подалгебр позволяет строить множество точных решений уравнений газовой динамики, а также конструировать подмодели.
На практике часто необходимо рассмотреть близкие к точным решения или более подробно выяснить поведение решений подмодели в малых областях особых многообразий. В обоих случаях в уравнениях газовой динамики или ее подмоделях вводится малый параметр. Формальное введение малого па- раметра может осуществляться с помощью некоторой группы преобразова- ний, не допускаемой исходными уравнениями.
Если малый параметр ввели в систему, то далее производится асимпто- тическое разложение решений по этому параметру. Члены наименьшего по- рядка образуют приближенную подмодель. Основная трудность состоит в оценке младших членов, что сделано лишь в редких случаях простейших краевых задач.
1

. Наиболее часто встречающийся приближенный метод есть линеа- ризация на точном решении. Пусть

 



u u x t p p x t x t S
S x t




0 0
0 0
( , ),
( , ),
( , ),
( , )
 
(11.1) есть решение уравнений газовой динамики.

88
Разыскивается другое решение вида



u u
u p p
p
S
S
S












0 0
0 0


 


,
,
,
,
(11.2) где

– малый параметр,

   
u p
S
,
, ,

– новые неизвестные функции перемен- ных t x
, ,


Подстановка (11.2) в (3.5), (3.6), (3.8) и в уравнение состояния, сокра- щение на общий множитель дает










D
u
di v u
di v u
u
di v u
D u
u
u
p
p
u
u
D S
u
S
u
S
p
f
S
S
f
S
0 0
0 0
0 0
0 1
0 1
0 0
0 1
0 0
0 0
0 0
0
      

 
    

 
    





   
    
    

    
 



 











 



















,
(
)
,
,
,
,
,
(11.3) где
D
u t
0 0


 


Основное предположение, обоснование которого делает законным процесс линеаризации, заключается в следующем. Функции

   
u p
S
,
,
,
,

как решения точных уравнений (11.3), их производные имеют конечные пре- дельные значения при

:
( , , )
( , ),
u t x
u t x



( , , )
( , ),
t x
t x





( , , )
( , )
S t x
S t x



. Если предположение оправдано, то предельный пере- ход в (11.3) дает уравнения для возмущений основного движения
0 0
0 0
1 2
0 0
0 0
0 2
0 0
0 0
0,
0,
0,
,
S
D
divu
u
divu
D u
u
u
p
p
D S
u
S
p
a
f S
 



 




  

  
 
 
  


(11.4) где f f
S
a f
S
S
S
0 0
0 0
2 0
0


(
,
),
(
,
)



– квадрат скорости звука основного дви- жения. Приближенная подмодель (11.4) является линейной системой для предельных возмущений.
Рассмотрим пример постоянного основного решения

u p
S
0 0
0 0
0

,
,
,

– постоянные.

Смотрите также файлы