Файл: Министерство образования и науки российской федерации башкирский государственный университет нил "гамметт" уфимского государственного.pdf

99 u
l const u a
x x
t t



 



(a)
,
0 0
0
(12.18)
Центрированные простые волны дают пример решений с особенно- стью. Из (12.17), (12.18) следует, что основные величины не являются непре- рывными в центре волны
(x ,
)
0 0
t
, а область существования решения есть сектор, не содержащий прямой t t

0
Упражнение 2. С помощью центрированных волн решить задачу об истечении покоящегося газа в вакуум.
Простая волна называется волной сжатия (волной разрежения), если плотность

в частице со временем возрастает
D
0 0
 
(убывает
D
0 0
 
).
Теорема 3. Простая волна является волной сжатия (волной разреже- ния), если и только если для углового коэффициента k u
a
 
соответст- вующего семейства прямолинейных характеристик выполняется неравенство k
x x


0 0
(k
).
Доказательство. Для r – волны (l – волны) из (12.15) ((12.16)) имеем




u a
u a
x x
x x




0 0
(
)
. Дифференцирование равенства a f
2


по x дает a m
u a
m u
x x
x x
 





2 2
, где m f
f




 
1 0 для нормального газа.
Отсюда k m u x
x






1 1
2
и из уравнения неразрывности системы (12.12) получим равенство k
m
D
x
 

2 2
0


, из которого следует утверждение теоремы. t

C

C






На Рис. 2 изображены вееры прямолинейных характери-
x стик для l – волны сжатия и

100 разряжения. В волнах сжатия характеристики при некотором t
1
пересекают- ся: k
x
 
при t
t

1
. Происходит неограниченный рост градиентов ос- новных величин. Такое явление типично для нелинейных гиперболических уравнений и называется градиентной катастрофой. Оно может произойти в непрерывных движениях общего характера. В действительности такие осо- бенности отсекаются сильными разрывами.
Упражнение 3. Вычислить время наступления градиентной катастро- фы в простых волнах сжатия.
5

. Если инварианты Римана r r
t l l
t


(x, ),
(x, ) имеют ненулевой якобиан j
r l r l x t t x



0,
то в (12.13) удобно поменять местами зависимые и независимые переменные, т.е. выразить x x
l t t
l


(r , ),
(r , ) (переход в плоскость инвариантов Римана). В силу (12.13) j
ar l x x

2
. Якобиан j обра- щается в нуль либо при r
r r
x t



0 0
(r
),
либо при l
l l
l x
t



0 0
(
),
либо r
r l
l r
l l
x t
x t






0 0
0
(r
,
).
Значит, прямым r
r l
l


0 0
;
и точке r r
l l


0 0
,
в плоскости инвариантов Римана соответствует в про- странстве R
t
2
(x, ) r – волна, l – волна и постоянное течение соответственно.
Так как вдоль
C

меняется только l, то уравнение характеристики
C

: dx = (u + a) dt равносильно уравнению x a
l l


(u
)t . Аналогично, вдоль C

меняется только r, значит, x
a r
r


(u
)t .
Получается система линейных уравнений, которую можно привести к гиперболическому уравнению Дарбу
t
H
l t
r l r
l




(r
)(t
)
,
0
(12.19) где функция H(z) определяется параметрически z
H
a




2 1
8 2
1

(a), (z)
(m(a)
).
Упражнение 4. Пользуясь определением инвариантов Римана вывести уравнение (12.19) или равносильное самосопряженное уравнение
(ht )
(ht )
,
l r r l


0
где h(z a
)
 

101
Упражнение 5. Свести задачу о взаимодействии двух центрирован- ных волн к задаче Гурса для уравнения (12.19). Применить метод Римана для решения задачи Гурса.
Далее рассматривается классическое решение газодинамической зада- чи с использованием простых волн и сильных разрывов.
6

. Задача о распаде произвольного разрыва формулируется так: при t =0 заданы разрывные начальные данные u
u p
p u
u p
p








1 1
1 2
2 2
0 0
,
,
(x
);
,
,
(x
),
 
 
где u p
j j
j j
,
,
,
,


1 2, – постоянные. Задача инвариантна относительно рас- тяжения 5

группы
G
11
из § 1, поэтому ее решение разыскивается как инва- риантное: u
u(
p p
xt





   


),
( ),
( );
1
(12.20)
Простые волны возникающие при решении задачи всегда центриро- ванные. Линии уровня газодинамических функций и линии сильных разры- вов на плоскости R
t
2
(x, ) есть прямые, проходящие через начало.
В простых волнах величину

можно рассматривать как функцию
 

( ).
p
В r – волне выполняется соотношение u
p u
p u
a



 



( )
(
),
0 0
,
(12.21) в l – волне выполняется соотношение u
p u
p u
a



 



( )
(
),
0 0
,
(12.22) где
(u ,
)
0 0
p
– состояние перед волнами.
В плоскости (p,u) имеются две кривые для простых волн. Ветви, для которых p
p p
p


0 0
(
)
, соответствуют волнам сжатия (разрежения).
( ,
p u) – диаграмма простых волн с центром
(u ,
)
0 0
p симметрична относи- тельно прямой u
u

0
(Рис. 3). Верны следующие равенства для производ- ных

102 du dp a
d u dp m
a m
f f

 



1 2
2 2
2 2 3





,
,
,
(12.23) где верхний знак для r – волны, нижний знак для l – волны. p сжатие l – волна r – волна p
0
разрежение
Рис. 3 0 u
0
u
Для ударных волн равенства (4.8), (4.13), (4.14) принимают вид
(u
)V
(u
)V



D
D
0 0
(12.24)
(u
)
(
)(V
),




u p
p
V
0 2
0 0
(12.25) e
p e
p p
p
V
(V, )
(V ,
)
(
)(V
),




0 0
0 0
1 2
(12.26) где D – скорость ударной волны.
Уравнение (12.26) задает адиабату Гюгонио
V
W p V p

( ;
,
)
0 0
с цен- тром в
(
,
)
p
V
0 0
, уравнение (12.25) после исключения V задает (p, u) – диа-
грамму ударных волн с центром (u ,
).
0 0
p
Величина V
0
определяется из уравнения состояния p
g
S
S
0 0
0 0

(V ,
),
– энтропия непрерывного изоэн- тропического течения, являющаяся параметром (p, u) – диаграмм. (p, u) – диаграмма ударных волн симметрична относительно прямой u
u

0
(см.
(12.25)).
Дифференцирование (12.25) дает
2 0
0 0
(u
)
(
)





u du dp
V
W
p p
dW
dp
,
(12.27)

103 2
2 2
0 2
2 2
0 2
2
(
)
(
)
u
u
d u
dp
du
dp
dW
dp
p
p
d W
dp







  


(12.28)
В точке
(
,
)
u p
0 0
получается формула du dp dW
dp a





  





 
0 2
0 0
2 0
2 1

,
(12.29) где последнее равенство следует из теоремы 2 § 4. Значит, через центр
(
,
)
u p
0 0
проходят две ветви (p, u) – диаграммы ударных волн.
Из (12.27) в силу (12.25) получается неравенство
(u
)(
)



u p
p du dp
0 0
0.
(12.30)
Отсюда и из теоремы 1 § 4 следует, что ветви есть монотонные кривые, вдоль которых принимаются все значения давления,
0

 
p
Закон сохранения массы (12.24) записывается в виде
(u
)V
(D
)(V
)




u u
V
0 0
0 0
Отсюда следует, что знак произведение
(u
)(
)


u p
p
0 0
совпадает со зна- ком величины
D
u

0
. Для волн, обращенных вправо (x
),

0
D
u


0 0
, для волн, обращенных влево (x
)

0 , D
u


0 0. волна влево p волна вправо
В силу неравенства (12.30) это "0" перед фронтом означает, что du dp

0 для волн, обращенных вправо; p
0
du dp

0 для волн, обращенных "0" за фронтом влево (Рис. 4). u
0
u
Дифференцирование (12.28) с учетом формул из теоремы 2 § 4 дает

104
d u
dp
m
a
2 2
0 0
2 0
3 2
2





  


(12.31)
Таким образом, (p, u) – диаграммы простых волн и ударных волн с од- ним центром
(u ,
)
0 0
p имеют касание второго порядка в центре (см. (12.23),
(12.29), (12.31)).
Теорема 4. Задача о распаде произвольного разрыва в нормальном газе при любых начальных данных имеет единственное инвариантное решение вида (12.20).
Доказательство. По теореме единственности из § 6 в окрестности лу- чей t
x t
x




0 0
0 0
,
;
,
имеются постоянные решения u
u

1
,
 
 





1 1
2 2
2
,
;
,
,
p p
u u
p p Эти решения могут измениться либо непрерывным образом в некоторых центрированных волнах разрежения, ли- бо через ударные волны. (p, u) - диаграммы изменений таковы p p
Ударная волна обра- щена вправо
Ударная волна p
2 2
обращена влево l – волна p
1 1 r – волна разрежения разрежения u
1
b
1
u
b
2
u
2
u
Рис. 5 Рис. 6
Из свойств нормального газа и адиабаты Гюгонию (теорема 1 § 4) сле- дует, что диаграммы определены в интервале
0

 
p
, монотонные, при- чем вдоль ударных волн u
 
при p
 
Если совместить Рис. 5 и Рис. 6, то существует единственная точка 3 пересечения диаграмм, за исключением случая b
b
1 2


105
Точка пересечения
(u ,
)
3 3
p дает решение задачи. Оба газа 1 и 2 после переходов 1-3 и 2-3 имеют одинаковую скорость u
3
и давление p
3
, поэтому их можно связать контактным разрывом, идущим по лучу x
u t

3
, вдоль ко- торого могут претерпевать разрыв

и S. Возможны 10 типов конфигураций распада произвольного разрыва в зависимости от расположения точек 1, 2, 3 на совмещенных рисунках 5, 6. Например, p t контактный ударная волна разрыв p
3' 3" простая волна
2 x
1
x
2
x
3
x
4
x p
3 3 1 u
1 2 x
0 b
2
u
3
b
1
u x
1
x
2
x
3
x
4
x
Рис. 7 рассмотрим распад, изображенный на Рис. 7. Ударная волна обращена влево
D
u

1
, поэтому из (12.24) следует D
u

3
. На задней стороне центрирован- ной l – волны

3 3
3 3



u a
u
. Значит, луч контактного разрыва
x
u t

3
находится между ударной волной и l – волной.
Случай
b
b
1 2

возможен, когда

1 0

или

2 0

, т.е. вместо одного из газов находится вакуум. Происходит истечение в вакуум с помощью цен- трированной простой волны.
Единственность инвариантного решения следует из того, что
C
0
– тра- ектория вида x
t
 
может быть только одна. Точнее, две контактные инва- риантные характеристики
C
0
: x
t
 
1
,
x t
 
2
,


1 2

возможны только в случае, если между ними находится вакуум. Действительно, масса газа меж- ду ними равна

106
 

  




x t
dx t
d t
t







1 2
1 2
и не должна зависеть от t, что возможно только когда интеграл равен нулю, т.е.
 
( )

0
в интервале

 
1 2
 
. Если есть
C
0
– характеристика x
u t

3
, то состояния по каждую ее сторону получаются из состояния 1 с помощью волн, обращенных влево, из состояния 2 с помощью волн, обра- щенных вправо. В инвариантном решении не может быть двух последова- тельных волн (ударных или простых), обращенных в одну сторону. Напри- мер, пусть две ударные волны, обращенные вправо, двигаются со скоростями
D D D
D
2 2
2 2
,
,

 
(Рис. 8). Тогда D
u
2 2
 
,
  
D
u
2 2
,
по теореме 4 t (Цемплена) из § 4

D
2
D
u a D
u a
2 2
2 2
2 2
   
    
,
. Откуда
 
D
D
2 2
, что противоречит предпо-
2' D
2
ложению. Для двух центрированных
2 простых волн, идущих в одну сторону x последняя характеристика
Рис. 8 одной волны и первая характеристика второй волны совпадают, так что есть только одна простая волна. Аналогич- но рассматриваются другие комбинации волн, идущих в одну сторону.
Если есть только по одной волне, идущих в разные стороны, то со- стояние между ними определяется точкой пересечения (p, u) – диаграмм. В противном случае были бы нарушены условия контактного разрыва.
Упражнение 6. Рассмотреть все случаи теоремы 4.
Упражнение 7. Написать формулы для кривых на Рис. 5,6.
Упражнение 8. Два покоящихся газа разделены заслонкой. При t =0 заслонку мгновенно убирают. Описать движение газов и рассчитать их пара- метры при t > 0.

107
Упражнение 9. В трубе газ перекрыт поршнем. В момент t =0 поршень начинает двигаться с постоянной скоростью. Рассчитать параметры газа при t >0.
Упражнение 10. В трубе закрытой жесткой стенкой и заполненной по- коящимся газом двигается ударная волна с постоянной скоростью. Найти па- раметры отраженной ударной волны.
Упражнение 11. Рассчитать взаимодействие ударной волны и контакт- ного разрыва в покоящемся газе.
Упражнение 12. Рассчитать взаимодействие двух ударных волн в по- коящемся газе.
Упражнение 13. Рассчитать взаимодействие ударной волны и простой волны в акустическом приближении, когда (p, u) – диаграммы заменяются прямыми – касательными в центре диаграммы.