Файл: Российской федерации федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования.pdf

---

---

---

---

КЛАСТЕРНЫЙ АНАЛИЗ В МОДИФИЦИРОВАННОЙ ЗАДАЧЕ
МАРКОВИТЦА ДЛЯ ОПТИМАЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯ
Данилова Н. В., Житников Д. И.
ФГАОУ ВО «Южный федеральный университет»,
Институт математики, механики и компьютерных наук
им. И. И. Воровича
E-mail: nvdanilova@sfedu.ru, zhitnikov@sfedu.ru
Аннотация
Рассматривается проблема нахождения оптимального портфеля. Ре- шению данной проблемы в различных еѐ постановках посвящено много статей, что говорит об еѐ актуальности. Для решения задачи производится разбиение выборки случайных доходностей активов на кластеры с после- дующим построением эллипсоида в каждом кластере. В качестве алгорит- ма кластеризации используется дихотомический метод максимального правдоподобия. Для построения эллипсоида используются выборочный средний вектор и выборочная ковариационная матрица; радиус рассчиты- вается исходя из предположения, что элементы выборки имеют нормаль- ный закон распределения. Приводится пример расчѐта оптимального портфеля, использующий реальные значения векторов возврата. При этом часть выборки используется для нахождения выборочных средних и выбо- рочных ковариационных матриц кластеров, оставшаяся часть выборки ис- пользуется для верификации портфеля.
Введение
Проблема нахождения оптимального портфеля является актуальной, начиная с публикации в 1952 году работы Марковитца [1] и до настоящего времени. Задача заключается в выборе оптимального вектора (портфеля)
 
n
i
x
x
x
n
i
i
n
i
i
,...,
1
,
1
,
1 1






Возврат портфеля x вычисляется как среднее
 
 
x
R
x
R
E
,
,

,
R – век- тор случайных возвратов активов, входящих в портфель,
ER
R

, риск это дисперсия:
  

x
Сx
x
R
D
,
,

,
C – ковариационная матрица:
T
T
R
R
ERR
C


. Здесь
 
.,. – скалярное произведение. Портфель следует выбирать таким образом, чтобы возврат был как можно больше, а риск как можно меньше. По своей структуре задача об оптимальном портфеле отно- сится к задачам с векторным критерием. Под решением задачи с вектор- ным критерием обычно понимается множество не улучшаемых стратегий – множество Парето. Один из вариантов вычисления Парето-оптимальных портфелей заключается в скаляризации векторного критерия:

---