Файл: Решение Сначала построим график функции и определим интервалы нахождении корней уравнения.docx

Скачать файл (0,28Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 04.12.2023

Просмотров: 45

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Решить численными методами нелинейные уравнения

_а)

_{Решение:}

Сначала построим график функции и определим интервалы нахождении корней уравнения:

Один корень уравнения равен 1, это видно сразу.

Второй корень находится в промежутке от 1 до 2, определим его методом Ньютона.

Уточнение значения корня методом Ньютона производится путем использования уравнения касательной. В качестве начального приближения задается тот из концов отрезка [a; b], где значение функции и ее второй производной имеют одинаковые знаки (т.е. выполняется условие

). В точке

строится касательная к кривой

и ищется точка ее пересечения с осью x, которая принимается за новую итерацию.

Итерационная формула имеет вид:

.

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет выполнено условие

, где

- заданная точность, возьмем 0,001.

Найдем первую и вторую производную функции f(x).

Следовательно, в качестве начального приближения выбираем точку

.

Итерационная формула:

.

Получаем следующее решение (таблица 1).

Таблица 1 – Реализация метода Ньютона

i	x_i	f(x_i)	f’(x_i)
0	2	-0,306852819	-2,5
1	1,877258872	-0,045310962	-1,776057804	0,122741128
2	1,851746774	-0,001789522	-1,636387057	0,025512098
3	1,850653192	-3,22901E-06	-1,630482806	0,001093581
4	1,850651212	-1,05814E-11	-1,63047212	0,0000019804

Алгоритм остановлен на 4-й итерации при

.

Уточненное значение второго корня:

б)

Сначала построим график функции и определим интервалы нахождении корней уравнения:

Уравнение имеет 2 корня. Один в промежутке (0, 1), второй (3,4)

Так же определим их методом Ньютона.

Найдем первую и вторую производную функции f(x).

Следовательно, в качестве начального приближения выбираем точку

.

Итерационная формула:

.

Получаем следующее решение (таблица 2).

Таблица 2 – Реализация метода Ньютона

i	x_i	f(x_i)	f’(x_i)
0	0,4	1,330325855	-15
1	0,48868839	0,171683801	-11,37035002	0,08868839
2	0,503787644	0,003741746	-10,87970664	0,015099254
3	0,504131564	1,86329E-06	-10,86887347	0,00034392

Алгоритм остановлен на 3-й итерации при

.

Уточненное значение первого корня:

Следовательно, в качестве начального приближения выбираем точку

.

Итерационная формула:

.

Получаем следующее решение (таблица 3).

Таблица 3 – Реализация метода Ньютона

i	x_i	f(x_i)	f’(x_i)
0	4	0,909645111	3
1	3,696784963	0,024216711	2,835957439	0,303215037
2	3,688245797	2,13753E-05	2,830947166	0,008539166
3	3,688238247	1,67635E-11	2,830942725	0,0000755

Алгоритм остановлен на 3-й итерации при

.

Уточненное значение второго корня:

Решить систему линейных уравнений численными методами

Решить данную систему

Решение:

Решаем методом Гаусса.

В методе Гаусса с выбором главного элемента с выбором главного элемента на каждом шаге исключения i-го неизвестного в качестве ведущего используется уравнение (с i-го по n-ое), содержащее максимальный по модулю коэффициент – главный элемент. При этом в качестве него может использоваться один из коэффициентов i-го столбца

Для исходной системы выполним сначала прямой ход:

1-й шаг:

Наибольший элемент по модулю 1-го столбца

в 1-й строке.

Нормируем первое уравнение и исключаем элементы первого столбца

2-й шаг:

Наибольший элемент по модулю 2-го столбца

в 3-й строке. Меняем местами 2-е и 3-е уравнение:

Нормируем второе уравнение и исключаем элементы второго столбца

3-й шаг:

Наибольший элемент по модулю 3-го столбца

в 4-й строке. Меняем местами 2-е и 3-е уравнение:

Нормируем третье уравнение и исключаем элементы третьего столбца

4-й шаг:

Нормируем четвертое уравнение:

Теперь выполняем обратный ход:

Ответ: (0,1663; -1,1251; -0,3474; -0,1352)
3. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для выбранной функций в заданном интервале (табличные значения: