1. 
   Решить численными методами нелинейные уравнения
   

_{а) Решение:}Сначала построим график функции и определим интервалы нахождении корней уравнения:Один корень уравнения равен 1, это видно сразу.Второй корень находится в промежутке от 1 до 2, определим его методом Ньютона. Уточнение значения корня методом Ньютона производится путем использования уравнения касательной. В качестве начального приближения задается тот из концов отрезка [a; b], где значение функции и ее второй производной имеют одинаковые знаки (т.е. выполняется условие ). В точке строится касательная к кривой и ищется точка ее пересечения с осью x, которая принимается за новую итерацию.Итерационная формула имеет вид: .Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет выполнено условие , где - заданная точность, возьмем 0,001.Найдем первую и вторую производную функции f(x). , , .Следовательно, в качестве начального приближения выбираем точку .Итерационная формула: .Получаем следующее решение (таблица 1).Таблица 1 – Реализация метода Ньютона

---

i	xi	f(xi)	f’(xi)
0	2	-0,306852819	-2,5
1	1,877258872	-0,045310962	-1,776057804	0,122741128
2	1,851746774	-0,001789522	-1,636387057	0,025512098
3	1,850653192	-3,22901E-06	-1,630482806	0,001093581
4	1,850651212	-1,05814E-11	-1,63047212	0,0000019804

Алгоритм остановлен на 4-й итерации при .Уточненное значение второго корня: б) Сначала построим график функции и определим интервалы нахождении корней уравнения:Уравнение имеет 2 корня. Один в промежутке (0, 1), второй (3,4)Так же определим их методом Ньютона. Найдем первую и вторую производную функции f(x). , , .Следовательно, в качестве начального приближения выбираем точку .Итерационная формула: .Получаем следующее решение (таблица 2).Таблица 2 – Реализация метода Ньютона

i	xi	f(xi)	f’(xi)
0	0,4	1,330325855	-15
1	0,48868839	0,171683801	-11,37035002	0,08868839
2	0,503787644	0,003741746	-10,87970664	0,015099254
3	0,504131564	1,86329E-06	-10,86887347	0,00034392

---

Алгоритм остановлен на 3-й итерации при .Уточненное значение первого корня: Следовательно, в качестве начального приближения выбираем точку .Итерационная формула: .Получаем следующее решение (таблица 3).Таблица 3 – Реализация метода Ньютона

i	xi	f(xi)	f’(xi)
0	4	0,909645111	3
1	3,696784963	0,024216711	2,835957439	0,303215037
2	3,688245797	2,13753E-05	2,830947166	0,008539166
3	3,688238247	1,67635E-11	2,830942725	0,0000755

Алгоритм остановлен на 3-й итерации при .Уточненное значение второго корня:

2. 
   Решить систему линейных уравнений численными методами
   

Решить данную систему Решение:Решаем методом Гаусса.В методе Гаусса с выбором главного элемента с выбором главного элемента на каждом шаге исключения i-го неизвестного в качестве ведущего используется уравнение (с i-го по n-ое), содержащее максимальный по модулю коэффициент – главный элемент. При этом в качестве него может использоваться один из коэффициентов i-го столбцаДля исходной системы выполним сначала прямой ход:

---

1-й шаг:Наибольший элемент по модулю 1-го столбца в 1-й строке. Нормируем первое уравнение и исключаем элементы первого столбца2-й шаг:Наибольший элемент по модулю 2-го столбца в 3-й строке. Меняем местами 2-е и 3-е уравнение:Нормируем второе уравнение и исключаем элементы второго столбца3-й шаг:Наибольший элемент по модулю 3-го столбца в 4-й строке. Меняем местами 2-е и 3-е уравнение:Нормируем третье уравнение и исключаем элементы третьего столбца4-й шаг:Нормируем четвертое уравнение:Теперь выполняем обратный ход:Ответ: (0,1663; -1,1251; -0,3474; -0,1352)3. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для выбранной функций в заданном интервале (табличные значения: _{Решение:}Выберем узлы:

x	1	2	3
у	0	-0,3	-6,9

Решение:Полином ищем в виде: Запишем базисные полиномы Лагранжа:Подставляем базисные полиномы Лагранжа в формулу интерполяционного полинома и суммируем члены с одинаковыми степенными показателями:

---

4. Вычислить определенные интегралы с использованием квадратурных формул:а) , Решение:Примем Формула метода Симпсона имеет вид: . Шаг: .Для удобства представим результаты в виде таблицы

i	xi	yi
0	0,1	0,1298
1	0,2	0,3187
2	0,3	0,5655
3	0,4	0,8694
4	0,5	1,2294
5	0,6	1,6446
6	0,7	2,1142
7	0,8	2,6374
8	0,9	3,2133
9	1	3,8415
10	1,1	4,5212

б) , Решение:Примем Формула метода трапеций имеет вид: . Шаг:

---

Смотрите также файлы

• Петровка, село Павловского района Воронежской области.doc

• Эссе по фильмам Три веселые смены и Завтрак на траве.docx

• 1. Решите неравенство. В ответе укажите номер правильного варианта. 1 2 3 4 2.docx

• Отчет по учебной ознакомительной практике студента 2 курса 062150 группы юи тгу иванова Ивана Ивановича.docx

• Вопрос 1 Субъекты Российской Федерации и муниципальные образования создавать региональные и муниципальные информационные системы в сфере закупок, при условии их интеграции с еис. Выберите один ответ обязаны вправе Правильный ответ вправе Вопрос 2.docx