Файл: Подтема 01 Числовая последовательность, способы её задания и свойства Конспект.docx

Скачать файл (0,14Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 05.12.2023

Просмотров: 45

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Подтема 01: Числовая последовательность, способы её задания и свойства

Конспект

Определение: Функцию y = f(x), x

N, называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают y = f(n) или

,…,

,…

– первый член последовательности,

- второй член последовательности,

- третий член последовательности,

- n-ый член последовательности,

n - индекс, который задает порядковый номер

Последовательностью называется бесконечное множество пронумерованных элементов.

Числовая последовательность – это частный случай функции. Как и любая функция, последовательность может задаваться различными способами.

Способы задания числовой последовательности:

1. Аналитический (при помощи формулы)

2. Словесный

3. Рекуррентный

I. Аналитический способ задания числовой последовательности

Последовательность задана аналитически, если указана формула для вычисления ее n -го члена.

,

где

Пример № 1. Рассмотрим функцию

График состоит из отдельных точек

…

Получим последовательность чисел

1, 4, 9, 16, 25, …,

, … Последовательность квадратов натуральных чисел

Пример № 2.

Найти первый, третий и шестой члены последовательности

Ответ:

Пример № 3. Задать последовательность формулой n-го члена:

а) 2, 4, 6, 8, … б) 4, 8, 12, 16, 20, …

Ответ: а)

б)

II. Словесное задание числовой последовательности.

Правило составления последовательности описывается словами

Пример № 1:

последовательность простых чисел

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …

последовательность кубов натуральных чисел

1, 8, 27, 64, 125, …

III. Рекуррентное задание числовой последовательности.

Указывается правило позволяющее вычислить n-й член последовательности, если известны ее предыдущие члены.

При вычислении членов последовательности по этому правилу мы все время возвращаемся назад, выясняем чему равны предыдущие члены, поэтому такой способ называют рекуррентным ( от латинского recurrere – возвращаться)

Пример 1:

y₁=3, y_n= y_n-1 + 4, если n = 2, 3, 4, …

Каждый член последовательности получается из предыдущего прибавлением к нему числа 4

y₁= 3 y₂= y₁+ 4= 3 + 4 = 7

y₃= y₂+ 4= 7 + 4 = 11 y₄= y₃+ 4= 11 + 4 = 15 и т.д.

Получаем последовательность

3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, …

Пример 2:

y₁=1, y₂=1, y_n= y_n-2+ y_n-1

Каждый член последовательности равен сумме двух предыдущих членов

y₁=1 y₂=1 y₃= y₁+ y₂= 1 + 1 = 2

y₄= y₂+ y₃= 1 + 2 = 3 y₅= y₃+ y₄= 2 + 3 = 5 и т.д.

Получаем последовательность

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …

Монотонные последовательности

Последовательность (у_n ) – возрастающая, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего, т.е. у₁< у₂ < у₃< у₄ < … < у_n < …

Пример:

2, 4, 6, 8, 10, …

Если а > 1, то последовательность у_n = аⁿ– возрастает.

Последовательность (у_n ) – убывающая, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего, т.е. у₁> у₂ > у₃> у₄ > … > у_n > …

Пример:

-1, -3, -5, -7, -9, …

Если 0 < а < 1, то последовательность у_n = аⁿ– убывает.

Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными.

Последовательности, которые не возрастают и не убывают, являются

немонотонными.

2. Ссылка на урок: https://www.youtube.com/watch?v=aHyVQ9h8moA

3. Задания

1. По заданной формуле n-го члена вычисли первые три члена последовательности.

А)

## tema:24 level:a answer: e ptema:01chet:2 napr:1||

2. Укажи номер члена последовательности

, равного

.

A) 4
B) 6
C) 8
D) 9
E) 10

## tema:24 level:b answer:b ptema:01chet:2 napr:1||

3. Найди наименьший член последовательности и укажи его номер:

A) n=2,

B) n=2,

C) n=3,

D) n=1,

E) n=4,

## tema:24 level:a answer: a ptema:01chet:2 napr:1||

4. По данной формуле числовой последовательности

определить четвёртый член последовательности.

A) 12
B) 81
C) 27
D)243
E) 33
## tema:24 level:a answer: b ptema:01chet:2 napr:1||

5. Определите правило составления числовой последовательности: 1; 4; 7; 10; 13; … Задайте формулой общий член этой последовательности.
A)

=2n+1

B)

=3n-2
C)

=2n+2
D)

## tema:24 level:a answer: b ptema:01chet:2 napr:1||

6. Определи математическую модель следующей задачи.

Поднялся сильный ветер и стал срывать листья с дерева со скоростью 9 листьев в мин. Сколько листьев ветер сорвёт с дерева через 9 минут с момента начала сильного ветра?

A) ) y=9x,x∈Z ; 81 листьев
B) y=9x, x∈N; 90 листьев
C) ) y=9x,x∈Z; 80 листьев
D) y=9x, x∈N; 84 листьев
E) y=9x, x∈N; 81 листьев
## tema:24 level:b answer: e ptema:01chet:2 napr:1||

7. Дано: