Файл: Практическая работа 1 по дисциплине Теория вероятностей и математическая статистика вариант 5 студентка группы зукд121.doc
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.12.2023
Просмотров: 78
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Министерство науки и высшего образования Российской ФедерацииФедеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования«Владимирский государственный университет имениАлександра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых»(ВлГУ)Практическая работа № 1по дисциплине«Теория вероятностей и математическая статистика»вариант № 5Выполнил:студентка группы ЗУКд-121,Корнилова В.В.Проверил:Мищенко З.В.Владимир 2023Элементы комбинаторикиСколькими способами можно выбрать 6 пирожных в кондитерской, где есть 4 разных сорта пирожных? , гдеm>n.Ответ: существует 84 различных способа выбора пирожных.Элементы теории вероятностейУчастники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 5.Неблагоприятные исходы:5,15,25,35,45,50,51,52,53,54,55,56,57,58,59,65,75,85,95 – 19P(A)=1−19100=0,81Ответ: 0,81Теоремы сложения и умножения вероятностейВ партии деталей 12 стандартных изделий и 3 нестандартных. 5 деталей, выбранных наудачу, проверяют на соответствие стандарту. Найти вероятность того, что среди них не окажется нестандартных.р = m/n n - число сочетаний из 15 по 5 равно 3003m- число благоприятных результатов, число сочетаний из 12 по 5 равно 792искомая вероятность 792 / 3003 = 0,2637.Формула полной вероятности
Из 1000 экземпляров однотипного товара 300 принадлежат первой партии, 500 - второй и 200 - третьей. В первой партии 6%, во второй 5%, в третьей 4% бракованного товара. 1) Определить вероятность того, что наудачу выбранный экземпляр бракованный. 2) Наудачу выбранный экземпляр оказался стандартным, найти вероятность того, что он принадлежит третьей партии.По формуле нахождения вероятности ,число благоприятных исходов делим на число всех исходов :P = m/n1) 300/100*6 = 18 – брак 1 партии 500/100*5 = 25 – брак 2 партии 200/100*4 = 8 – брак 3 партии 18+25+8 = 51 – всего бракаP = 51/1000 = 0.0512) P = 200 / 1000 = 0.2Формула БернуллиТипография гарантирует вероятность брака переплета книг 0.0001. Книга издана тиражом 25000 экземпляров. Какова вероятность того, что в этом тираже только одна книга имеет брак переплета?Для решения этой задачи можно использовать формулу Бернулли, которая применяется в случае, когда исходы бинарны (например, брак/не брак) и вероятность успеха (в данном случае, вероятность отсутствия брака) не изменяется при каждом испытании.В данном случае вероятность успеха равна p = 1 - 0.0001 = 0.9999, так как типография гарантирует брак в 0.0001 случаев. Вероятность неудачи q = 1 - p = 0.0001.Так как в тираже из 25000 экземпляров мы ищем вероятность только одного бракованного экземпляра, то воспользуемся формулой Бернулли для k = 1:P(k = 1) = C(25000, 1) * p^1 * q^(25000 - 1)где C(25000, 1) = 25000 - число сочетаний 25000 по 1.Подставляем значения:P(k = 1) = 25000 * 0.9999 * 0.0001^24999P(k = 1) ≈ 0.0025Таким образом, вероятность того, что только один экземпляр из 25000 имеет брак переплета, составляет примерно 0.0025, или около 0.25%.Дискретные и непрерывные случайные величиныАвтомобиль на пути встретит 4 светофора, каждый из которых пропустит его с вероятностью 0,6. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа светофоров до первой остановки.
X - дискретная случайная величина.Вероятность того, что машина попала на запрещающий сигнал 1-го светофора:P(X=0)=(1-0,5)=0,5Вероятность того, что машина попала на запрещающий сигнал 2-го светофора, проехав на 1-м светофоре:P(X=1)=0,5(1-0,5)=0,5·0,5=0,25Вероятность того, что машина попала на запрещающий сигнал 3-го светофора, проехав при этом на первых двух светофорах:P(X=2)=0,5·0,5(1-0,5)=0,25 ·0,5=0,125Вероятность того, что машина попала на запрещающий сигнал 3-го светофора, проехав при этом на первых трёх светофорах:P(X=3)=0,5·0,5·0,5(1-0,5)=0,125 ·0,5=0,0625Вероятность того, что машина проехала все четыре светофора:P(X=4)=0,5 ·0,5 ·0,5 ·0,5=0,0625Теперь можем показать вид закона распределения X:x(i) 0 1 2 3 4p(i) 0,5 0,25 0,125 0,0625 0,0625Проверим:Σp(i)=0,5+0,25+0,125+0,0625+0,0625=1Дисперсия:D(X)=Σ(x(i))²p(i) -(Σx(i)p(i))²=0²·0,5+1²·0,25+2²·0,125+3²·0,0625+4²·0,0625-(0·0,5+1·0,25+2·0,125+3·0,0625+4·0,0625)²=0,25+0,5+0,5625+1-(0,25+0,25+0,1875+0,25)²=2,3125-0,9375²≈1,434Числовые характеристики непрерывной случайной величиныСлучайная величина Х задана функцией распределения F(x). Найти: а) функцию плотности распределения f(x); б) математическое ожидание M(X); в) дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение σ(X); г) построить графики функций F(x) и f(x).Найдем плотность распределения f(x), как производную от функции распределения F(x):f(x)=(F(x))′=2·xПлотность распределения f(x):0, x ≤ 02·x, 0< x <10, x ≥ 1Математическое ожидание.M(x)= ∫abx·f(x)·dxНайдем интеграл:∫x·2·x·dxВычислим определенный интеграл:Дисперсия.D(x)=∫abx2·f(x)·dx-M(x)2Найдем интеграл:∫x2·2·x·dx∫nan·dxВычислим определенный интеграл:Среднеквадратическое отклонение.
построить графики функций F(x) и f(x).F(x)f(x)Нормальное распределение15% продукции фирмы представляют изделия второго сорта. Магазин получил 1000 изделий. Какова вероятность того, что в полученной партии продукция второго сорта составит 15%±2%?Для решения этой задачи мы можем использовать нормальное распределение, так как мы имеем достаточно большую выборку изделий (1000) и знаем вероятность получения изделия второго сорта (15%).Сначала определим стандартное отклонение для выборки из 1000 изделий:стандартное отклонение = sqrt(1000 * 0.15 * 0.85) = 8.08Затем мы можем найти z-значение для нижней границы (13%):z = (0.13 - 0.15) / 0.00808 = -2.48И для верхней границы (17%):z = (0.17 - 0.15) / 0.00808 = 2.48P(-2.48 < Z < 2.48) = 0.9852 - 0.0148 = 0.9704Таким образом, вероятность того, что в полученной партии продукция второго сорта составит 15%±2%, равна 0.9704, или примерно 97.04%.Показательное распределение98% топливных насосов дизельных тракторов выходит из строя после 3000 моточасов. Какова вероятность того, что насос выйдет из строя в интервале времени от 2000 до 2500 моточасов?Для решения этой задачи мы можем использовать экспоненциальное распределение, так как мы имеем дело со временем до отказа (выхода из строя) топливного насоса.Пусть λ будет интенсивностью отказов (выходов из строя) топливных насосов. Тогда мы знаем, что вероятность отказа после 3000 моточасов равна 0.98, что означает, что среднее время до отказа (среднее время работы) составляет:1/λ = 3000 моточасовλ = 1/3000 = 0.0003333 моточасов^(-1)Теперь мы можем использовать функцию плотности вероятности экспоненциального распределения, чтобы найти вероятность отказа в интервале от 2000 до 2500 моточасов:P(2000 < X < 2500) = ∫[2000, 2500] λ * e^(-λ*x) dxВычисляя этот интеграл, мы получаем:P(2000 < X < 2500) = e^(-λ*2000) - e^(-λ*2500) = e^(-0.666) - e^(-0.833) ≈ 0.0593Таким образом, вероятность того, что топливный насос выйдет из строя в интервале времени от 2000 до 2500 моточасов, составляет около 0.0593, или примерно 5.93%.
Из 1000 экземпляров однотипного товара 300 принадлежат первой партии, 500 - второй и 200 - третьей. В первой партии 6%, во второй 5%, в третьей 4% бракованного товара. 1) Определить вероятность того, что наудачу выбранный экземпляр бракованный. 2) Наудачу выбранный экземпляр оказался стандартным, найти вероятность того, что он принадлежит третьей партии.По формуле нахождения вероятности ,число благоприятных исходов делим на число всех исходов :P = m/n1) 300/100*6 = 18 – брак 1 партии 500/100*5 = 25 – брак 2 партии 200/100*4 = 8 – брак 3 партии 18+25+8 = 51 – всего бракаP = 51/1000 = 0.0512) P = 200 / 1000 = 0.2Формула БернуллиТипография гарантирует вероятность брака переплета книг 0.0001. Книга издана тиражом 25000 экземпляров. Какова вероятность того, что в этом тираже только одна книга имеет брак переплета?Для решения этой задачи можно использовать формулу Бернулли, которая применяется в случае, когда исходы бинарны (например, брак/не брак) и вероятность успеха (в данном случае, вероятность отсутствия брака) не изменяется при каждом испытании.В данном случае вероятность успеха равна p = 1 - 0.0001 = 0.9999, так как типография гарантирует брак в 0.0001 случаев. Вероятность неудачи q = 1 - p = 0.0001.Так как в тираже из 25000 экземпляров мы ищем вероятность только одного бракованного экземпляра, то воспользуемся формулой Бернулли для k = 1:P(k = 1) = C(25000, 1) * p^1 * q^(25000 - 1)где C(25000, 1) = 25000 - число сочетаний 25000 по 1.Подставляем значения:P(k = 1) = 25000 * 0.9999 * 0.0001^24999P(k = 1) ≈ 0.0025Таким образом, вероятность того, что только один экземпляр из 25000 имеет брак переплета, составляет примерно 0.0025, или около 0.25%.Дискретные и непрерывные случайные величиныАвтомобиль на пути встретит 4 светофора, каждый из которых пропустит его с вероятностью 0,6. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа светофоров до первой остановки.
X - дискретная случайная величина.Вероятность того, что машина попала на запрещающий сигнал 1-го светофора:P(X=0)=(1-0,5)=0,5Вероятность того, что машина попала на запрещающий сигнал 2-го светофора, проехав на 1-м светофоре:P(X=1)=0,5(1-0,5)=0,5·0,5=0,25Вероятность того, что машина попала на запрещающий сигнал 3-го светофора, проехав при этом на первых двух светофорах:P(X=2)=0,5·0,5(1-0,5)=0,25 ·0,5=0,125Вероятность того, что машина попала на запрещающий сигнал 3-го светофора, проехав при этом на первых трёх светофорах:P(X=3)=0,5·0,5·0,5(1-0,5)=0,125 ·0,5=0,0625Вероятность того, что машина проехала все четыре светофора:P(X=4)=0,5 ·0,5 ·0,5 ·0,5=0,0625Теперь можем показать вид закона распределения X:x(i) 0 1 2 3 4p(i) 0,5 0,25 0,125 0,0625 0,0625Проверим:Σp(i)=0,5+0,25+0,125+0,0625+0,0625=1Дисперсия:D(X)=Σ(x(i))²p(i) -(Σx(i)p(i))²=0²·0,5+1²·0,25+2²·0,125+3²·0,0625+4²·0,0625-(0·0,5+1·0,25+2·0,125+3·0,0625+4·0,0625)²=0,25+0,5+0,5625+1-(0,25+0,25+0,1875+0,25)²=2,3125-0,9375²≈1,434Числовые характеристики непрерывной случайной величиныСлучайная величина Х задана функцией распределения F(x). Найти: а) функцию плотности распределения f(x); б) математическое ожидание M(X); в) дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение σ(X); г) построить графики функций F(x) и f(x).Найдем плотность распределения f(x), как производную от функции распределения F(x):f(x)=(F(x))′=2·xПлотность распределения f(x):0, x ≤ 02·x, 0< x <10, x ≥ 1Математическое ожидание.M(x)= ∫abx·f(x)·dxНайдем интеграл:∫x·2·x·dxВычислим определенный интеграл:Дисперсия.D(x)=∫abx2·f(x)·dx-M(x)2Найдем интеграл:∫x2·2·x·dx∫nan·dxВычислим определенный интеграл:Среднеквадратическое отклонение.
построить графики функций F(x) и f(x).F(x)f(x)Нормальное распределение15% продукции фирмы представляют изделия второго сорта. Магазин получил 1000 изделий. Какова вероятность того, что в полученной партии продукция второго сорта составит 15%±2%?Для решения этой задачи мы можем использовать нормальное распределение, так как мы имеем достаточно большую выборку изделий (1000) и знаем вероятность получения изделия второго сорта (15%).Сначала определим стандартное отклонение для выборки из 1000 изделий:стандартное отклонение = sqrt(1000 * 0.15 * 0.85) = 8.08Затем мы можем найти z-значение для нижней границы (13%):z = (0.13 - 0.15) / 0.00808 = -2.48И для верхней границы (17%):z = (0.17 - 0.15) / 0.00808 = 2.48P(-2.48 < Z < 2.48) = 0.9852 - 0.0148 = 0.9704Таким образом, вероятность того, что в полученной партии продукция второго сорта составит 15%±2%, равна 0.9704, или примерно 97.04%.Показательное распределение98% топливных насосов дизельных тракторов выходит из строя после 3000 моточасов. Какова вероятность того, что насос выйдет из строя в интервале времени от 2000 до 2500 моточасов?Для решения этой задачи мы можем использовать экспоненциальное распределение, так как мы имеем дело со временем до отказа (выхода из строя) топливного насоса.Пусть λ будет интенсивностью отказов (выходов из строя) топливных насосов. Тогда мы знаем, что вероятность отказа после 3000 моточасов равна 0.98, что означает, что среднее время до отказа (среднее время работы) составляет:1/λ = 3000 моточасовλ = 1/3000 = 0.0003333 моточасов^(-1)Теперь мы можем использовать функцию плотности вероятности экспоненциального распределения, чтобы найти вероятность отказа в интервале от 2000 до 2500 моточасов:P(2000 < X < 2500) = ∫[2000, 2500] λ * e^(-λ*x) dxВычисляя этот интеграл, мы получаем:P(2000 < X < 2500) = e^(-λ*2000) - e^(-λ*2500) = e^(-0.666) - e^(-0.833) ≈ 0.0593Таким образом, вероятность того, что топливный насос выйдет из строя в интервале времени от 2000 до 2500 моточасов, составляет около 0.0593, или примерно 5.93%.