ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.12.2023
Просмотров: 32
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Тема: Формула полной вероятности. Формула Бейеса.
Терминология
Допустим, что об условиях опыта можно сделать n исключающих друг друга предположений (гипотез):
H1,H2,…,Hn, где Hi Hj = Ø, i ≠ j
Hi – несовместные, образующие полную группу события.
Формула полной вероятности
Заданы условные вероятности события А, при каждой из гипотез P(A׀H1),…,P(A׀Hn). Событие А может появиться только вместе с одной из гипотез.
Найдем вероятность события А.
A= H1A +H2A + …+ HnA , HiA – несовместные события, значит ,
P(HiA) = P(Hi)∙P(A׀Hi)
Отсюда – формула полной вероятности
Формула полной вероятности
Применяется, когда опыт со случайными исходами распадается на два случая:
розыгрыш условий опыта розыгрыш результата
Пример 1
Имеются два одинаковых ящика с карандашами. В 1-ом ящике – 2 зеленых и 1 синий карандаш, во 2-ом – 1 зеленый и 3 синих. Наудачу выбирают один из ящиков и вынимают из него карандаш. Какова вероятность вынуть зеленый карандаш?
Решение
Hi – выбор i ящика
P(H1) = P(H2)=1/2
P(A׀H1) =2/3
P(A׀H2) = ¼
P(A) =
Пример 2
Предположим, что 0,5% всех мужчин и 0,025% всех женщин дальтоники. Найти вероятность того, что наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Фразу из песни считать верной: «На 10 девчонок по статистике 9 ребят».
Решение
H1 – выбрана женщина
H2 – выбран мужчина
P(H1) = 10/19;
P(H2) = 9/19;
P(A׀H1) = 0.00025
P(A׀H2) = 0.005
P(A) =
Формула Бейеса
До опыта о его условиях можно было сделать ряд гипотез
H1, H2,…,Hn; ∑Hi = Ω; HiHj = Ø
Вероятности гипотез до опыта «априорные вероятности» заданы:
P(H1),….,P(Hn);
Пусть опыт проведен, в результате его появилось событие А. Найдем вероятность гипотез, при условии, что А произошло (найти «апостериорные» вероятности гипотез, при условии, что опыт дал результат А).
Формула Бейеса
P(H1׀A); P(H2׀A)…. P(Hn׀A)
P(HiA) = P(Hi)∙ P(A׀Hi) =P(A)∙ P(Hi׀A)
P(Hi|A) = =
Пример 1
Три барабана с лотереями: в 1-ом 50 билетов, из которых два выигрышных; во 2-ом 100 билетов – 4 выигрышных; в 3-ем 300 билетов – 5 выигрышных. Изымают 1 билет – выигрышный. Из какого барабана менее вероятно этот билет?
Решение
P(Hi) = 1/3;
P(A׀H1) = 2/50=1/25;
P(A׀H2) = 4/100=1/25;
P(A׀H3) = 5/300=1/60;
P(A) =
P(H1׀A) =
P(H2׀A) = 12/29
P(H3׀A)= 5/29
Пример 2
2. Два студента на практике в налоговой полиции проверяют правильность заполнения налоговых деклараций членами правительства РФ. 1 студент обрабатывает 60% деклараций, 2-ой – 40%. Вероятность того, что 1-ый допустит ошибку при обработке 0.01, 2-ой – 0.03 . Руководитель практики для контроля проверил одну декларацию и выявил ошибку проверки. Определить вероятность того, что ошибся 1-ый студент.
Решение
H1 – проверил 1-ый студент
Н2 – проверил 2-ой студент
А – «студент ошибся»
P(H1׀A) =
Вопросы:
Вопросы:
1)Каким условиям должны отвечать гипотезы Н для события А?
i