ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.12.2023
Просмотров: 102
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИфедеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования«Тольяттинский государственный университет»Институт инженерной и экологической безопасности
ПрактическОе заданиЕпо учебному курсу «Высшая математика 1»
Тольятти 2023РАЗДЕЛ № 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРАЗадача 1 Определить собственные значения и собственные векторы матрицы третьего порядка.РешениеДана матрица третьего порядка:Найдем характеристическое уравнение:Вычислим определитель:Раскроем скобки:
Теперь найдем собственные значения: λ1 = 3, λ2 = 3, λ3 = 9Теперь найдем собственные векторы для каждого собственного значения.1) λ1 = 3:2) λ2 = 3:3) λ3 = 9:Собственные значения и соответствующие им собственные векторы: Таким образом, собственные значения матрицы A равны λ1 = 3, λ2 = 3 и λ3 = 9, а соответствующие им собственные векторы равны , и .Задача 2 Доказать совместность системы и решить её тремя способами: по формулам Крамера, методом Гаусса и средствами матричного исчисления.Решение Дана система уравнений:Метод Крамера Для применения метода Крамера, вычислим определитель матрицы коэффициентов и проверим, не равен ли он нулю: Определитель равен нулю, поэтому метод Крамера не может быть применен.Метод Гаусса Приведем систему уравнений к треугольному виду: Теперь решим систему обратным ходом: Таким образом, общее решение системы:Матричный метод Запишем систему уравнений в виде AX = B, где
A - матрица коэффициентов, X - вектор переменных, B - вектор свободных членов:Так как определитель матрицы A равен нулю, мы не можем найти обратную матрицу и использовать формулу X = A-1B. Вместо этого найдем ранг матрицы коэффициентов A и расширенной матрицы [A | B]. Так как ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы и меньше числа переменных, система совместна и имеет бесконечно много решений. Решение совпадает с решением, найденным методом Гаусса:Задача 3Исследовать и найти общее решение системы линейных однородных уравненийРешение Исследуем и найдем общее решение системы линейных однородных уравнений: Сначала приведем систему уравнений к треугольному виду с помощью метода Гаусса: Теперь можно выразить x3 и x2 через x4: Подставим найденные выражения для x2 и x3 в первое уравнение и выразим x1 через x4: Общее решение системы имеет вид:РАЗДЕЛ № 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРАЗадача 1 Составить уравнение плоскости Р, проходящей через точку А перпендикулярно вектору . Написать ее общее уравнение, а также нормальное уравнение плоскости и уравнение плоскости в отрезках. Составить уравнение плоскости P1, проходящей через точки А, В, С. Найти угол между плоскостями Р и P1. Найти расстояние от точки D до плоскости Р.Координаты точки А: (4; -3; -2)
Координаты точки В: (2; 2; 3)Координаты точки С: (-1; -2; 3)Координаты точки D: (2; -2; -3)РешениеДаны точки A(4; -3; -2), B(2; 2; 3), C(-1; -2; 3) и D(2; -2; -3).Плоскость P1) Общее уравнение плоскости P имеет вид Ax + By + Cz = D. Найдем нормальный вектор к плоскости P, который совпадает с вектором : Теперь найдем D, подставив координаты точки A в уравнение плоскости: Таким образом, общее уравнение плоскости P имеет вид: 2) Нормальное уравнение плоскости имеет вид где и . Тогда нормальное уравнение плоскости P: 3) Уравнение плоскости в отрезках:Плоскость P1 4) Уравнение плоскости P1, проходящей через точки A, B, C, можно найти через векторное произведение векторов и :Теперь найдем D, подставив координаты точки A в уравнение плоскости:Таким образом, уравнение плоскости P1 имеет вид:Угол между плоскостями P и P15) Угол между плоскостями равен углу между их нормалями и Используем формулу скалярного произведения:
Таким образом, угол между плоскостями P и P1 равен Расстояние от точки D до плоскости P6) Расстояние от точки D(2; -2; -3) до плоскости P можно найти с помощью формулы: Таким образом, расстояние от точки D до плоскости P равно 2.Задача 2Прямая l задана в пространстве общими уравнениями. Написать её каноническое и параметрическое уравнения. Составить уравнение прямой l1, проходящей через точку М параллельно прямой l, и вычислить расстояние между ними. Найти проекцию точки М на прямую l и точку пересечения прямой l и плоскости Р. Общие уравнения прямой l:Координаты точки М(-1; 1; 0)Общее уравнение плоскости P: x + 2y - z + 5 = 0Решение Даны общие уравнения прямой l:Точка M(-1; 1; 0) и плоскость P: x + 2y - z + 5 = 0.Каноническое и параметрическое уравнения прямой l1) Из уравнений системы найдем z в виде z = -2x - 3y - 6. Подставим это значение во второе уравнение:Из последнего уравнения получаем, что Теперь найдем z: Таким образом, каноническое уравнение прямой l имеет вид: А параметрическое уравнение прямой l:Уравнение прямой l1 и расстояние между l и l1 2) Прямая l1 проходит через точку M(-1; 1; 0) и параллельна прямой l. Из параметрического уравнения l получаем направляющий вектор прямой l: Тогда параметрическое уравнение прямой l1: 3) Для нахождения расстояния между прямыми l и l1
| (наименование института полностью) |
| 20.03.01 Техносферная безопасность |
| (код и наименование направления подготовки / специальности) |
| Противопожарные системы |
| (направленность (профиль) / специализация) |
| Обучающегося | Коцага Станислав Олегович | |
| | (И.О. Фамилия) | |
| Группа | ТБбп-2006ас | |
| | | |
| Преподаватель | Курьянова Екатерина Александровна | |
| | (И.О. Фамилия) | |
Теперь найдем собственные значения: λ1 = 3, λ2 = 3, λ3 = 9Теперь найдем собственные векторы для каждого собственного значения.1) λ1 = 3:2) λ2 = 3:3) λ3 = 9:Собственные значения и соответствующие им собственные векторы: Таким образом, собственные значения матрицы A равны λ1 = 3, λ2 = 3 и λ3 = 9, а соответствующие им собственные векторы равны , и .Задача 2 Доказать совместность системы и решить её тремя способами: по формулам Крамера, методом Гаусса и средствами матричного исчисления.Решение Дана система уравнений:Метод Крамера Для применения метода Крамера, вычислим определитель матрицы коэффициентов и проверим, не равен ли он нулю: Определитель равен нулю, поэтому метод Крамера не может быть применен.Метод Гаусса Приведем систему уравнений к треугольному виду: Теперь решим систему обратным ходом: Таким образом, общее решение системы:Матричный метод Запишем систему уравнений в виде AX = B, где
A - матрица коэффициентов, X - вектор переменных, B - вектор свободных членов:Так как определитель матрицы A равен нулю, мы не можем найти обратную матрицу и использовать формулу X = A-1B. Вместо этого найдем ранг матрицы коэффициентов A и расширенной матрицы [A | B]. Так как ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы и меньше числа переменных, система совместна и имеет бесконечно много решений. Решение совпадает с решением, найденным методом Гаусса:Задача 3Исследовать и найти общее решение системы линейных однородных уравненийРешение Исследуем и найдем общее решение системы линейных однородных уравнений: Сначала приведем систему уравнений к треугольному виду с помощью метода Гаусса: Теперь можно выразить x3 и x2 через x4: Подставим найденные выражения для x2 и x3 в первое уравнение и выразим x1 через x4: Общее решение системы имеет вид:РАЗДЕЛ № 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРАЗадача 1 Составить уравнение плоскости Р, проходящей через точку А перпендикулярно вектору . Написать ее общее уравнение, а также нормальное уравнение плоскости и уравнение плоскости в отрезках. Составить уравнение плоскости P1, проходящей через точки А, В, С. Найти угол между плоскостями Р и P1. Найти расстояние от точки D до плоскости Р.Координаты точки А: (4; -3; -2)
Координаты точки В: (2; 2; 3)Координаты точки С: (-1; -2; 3)Координаты точки D: (2; -2; -3)РешениеДаны точки A(4; -3; -2), B(2; 2; 3), C(-1; -2; 3) и D(2; -2; -3).Плоскость P1) Общее уравнение плоскости P имеет вид Ax + By + Cz = D. Найдем нормальный вектор к плоскости P, который совпадает с вектором : Теперь найдем D, подставив координаты точки A в уравнение плоскости: Таким образом, общее уравнение плоскости P имеет вид: 2) Нормальное уравнение плоскости имеет вид где и . Тогда нормальное уравнение плоскости P: 3) Уравнение плоскости в отрезках:Плоскость P1 4) Уравнение плоскости P1, проходящей через точки A, B, C, можно найти через векторное произведение векторов и :Теперь найдем D, подставив координаты точки A в уравнение плоскости:Таким образом, уравнение плоскости P1 имеет вид:Угол между плоскостями P и P15) Угол между плоскостями равен углу между их нормалями и Используем формулу скалярного произведения:
Таким образом, угол между плоскостями P и P1 равен Расстояние от точки D до плоскости P6) Расстояние от точки D(2; -2; -3) до плоскости P можно найти с помощью формулы: Таким образом, расстояние от точки D до плоскости P равно 2.Задача 2Прямая l задана в пространстве общими уравнениями. Написать её каноническое и параметрическое уравнения. Составить уравнение прямой l1, проходящей через точку М параллельно прямой l, и вычислить расстояние между ними. Найти проекцию точки М на прямую l и точку пересечения прямой l и плоскости Р. Общие уравнения прямой l:Координаты точки М(-1; 1; 0)Общее уравнение плоскости P: x + 2y - z + 5 = 0Решение Даны общие уравнения прямой l:Точка M(-1; 1; 0) и плоскость P: x + 2y - z + 5 = 0.Каноническое и параметрическое уравнения прямой l1) Из уравнений системы найдем z в виде z = -2x - 3y - 6. Подставим это значение во второе уравнение:Из последнего уравнения получаем, что Теперь найдем z: Таким образом, каноническое уравнение прямой l имеет вид: А параметрическое уравнение прямой l:Уравнение прямой l1 и расстояние между l и l1 2) Прямая l1 проходит через точку M(-1; 1; 0) и параллельна прямой l. Из параметрического уравнения l получаем направляющий вектор прямой l: Тогда параметрическое уравнение прямой l1: 3) Для нахождения расстояния между прямыми l и l1