воспользуемся формулой для расстояния между двумя параллельными прямыми:



где - направляющий вектор прямых,

- вектор между любой парой точек на каждой из прямых.

Возьмем точку A(0; 1; -5) на прямой l и точку M(-1; 1; 0) на прямой l₁:



Теперь найдем векторное произведение :



Теперь найдем норму векторов и :





Теперь можно найти расстояние между прямыми l и l₁:



Проекция точки M на прямую l и точка пересечения прямой l и плоскости P

4) Проекция точки M на прямую l может быть найдена через формулу:



где A(0; 1; -5) - точка на прямой l, M(-1; 1; 0), а - направляющий вектор прямой l.

Подставим значения:







Таким образом, проекция точки M на прямую l равна



5) Точка пересечения прямой l и плоскости P удовлетворяет обоим уравнениям. Подставим параметрическое уравнение прямой l в уравнение плоскости P:



Решая это уравнение относительно t, получаем:



Теперь подставим значение t в параметрическое уравнение прямой l:



Таким образом, точка пересечения прямой

---

l и плоскости P равна:



Точка пересечения прямой l и плоскости P равна
РАЗДЕЛ № 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Задача 1

Даны координаты вершин треугольника АВС. Составить уравнения сторон треугольника. Составить уравнения медианы, высоты и биссектрисы угла А, найти их длины. Составить уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника и параллельных его сторонам.

Координаты точки А (5; 0)

Координаты точки В (2; 2)

Координаты точки С (-2; 3)

Решение

1)Уравнения сторон треугольника можно найти, используя две точки на каждой стороне:

Уравнение стороны AB:



Уравнение стороны BC:



Уравнение стороны CA:



2) Уравнения медианы, высоты и биссектрисы угла A:

Медиана AM проходит через середину стороны BC. Найдем координаты точки M:



Теперь найдем уравнение медианы AM:



Высота AH перпендикулярна стороне BC. Уравнение высоты можно записать в виде:



где k - коэффициент, который мы найдем, используя условие перпендикулярности:



Теперь найдем уравнение высоты AH:



Биссектриса угла A делит угол между сторонами AB и CA пополам. Уравнение биссектрисы можно записать в виде:



Упростим уравнение биссектрисы:



3) Длины медианы, высоты и биссектрисы угла A:

Длина медианы AM:



Длина высоты AH:



Длина биссектрисы

---

l_A:



4) Уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника и параллельных его сторонам:

Прямая через вершину A и параллельная стороне BC:



Прямая через вершину B и параллельная стороне AC:



Прямая через вершину C и параллельная стороне AB:



Задача 2

Координатам вершин пирамиды АВСD средствами векторной алгебры

найти:

1) длины ребер АВ и АС;

2) угол между ребрами АВ и АС;

3) площадь грани АВС;

4) проекцию вектора на ;

5) объем пирамиды

Координаты точки А (2; 0; 3)

Координаты точки В (1; 0; 7)

Координаты точки С (0; 1; 3)

Координаты точки D (2; 2; 4)

Решение

1) Для нахождения длин ребер AB и AC воспользуемся формулой расстояния между двумя точками:





2) Чтобы найти угол между ребрами AB и AC, сначала найдем их векторы:





Теперь воспользуемся формулой для нахождения угла между двумя векторами:





3) Для нахождения площади грани ABC используем векторное произведение и найдем площадь треугольника:





4) Найдем проекцию вектора на :



5) Для нахождения объема пирамиды ABCD используем скалярное произведение:



Сначала найдем вектор

---

:



Теперь найдем скалярное произведение



Теперь найдем объем пирамиды:



РАЗДЕЛ № 4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Задача 1

Построить графики функций

y = -2x² + 3x + 2, y = ln(x- 4), y = sin 0,5x + 1, y = ln |x|

Решение

Даны функции:

y = -2x² + 3x + 2, y = ln(x- 4), y = sin 0,5x + 1, y = ln |x|

Создадим область определения функций, после чего вычислим значения функций и отобразим их на графиках. Ниже представлены графики заданных функций:



Задача 2

Записать уравнения кривых в полярных координатах и построить их



Решение

Запись уравнений кривых в полярных координатах:

1. 
   :
   

При переходе к полярным координатам , поэтому . Решая относительно r, получаем уравнение кривой:

r=π/2cosθ

2. 
   x² + y² = 64:
   

Здесь x² + y² = r², поэтому уравнение кривой в полярных координатах:

r²=64

3. 
   x² + y² = -8x:
   

Перепишем уравнение, используя полярные координаты: Решая относительно r, получаем уравнение кривой:

r=−8cosθ

4. 
   x² + y² = 0,4y:
   

Перепишем уравнение, используя полярные координаты:

. Решая относительно r, получаем уравнение кривой:

r=0,4sinθ

Теперь построим графики кривых в полярных координатах

---

Задача 3

Вычислить пределы функций, не пользуясь средствами дифференциального исчисления.

1)

2)

3)

4)

5)

Решение











Задача 4

Исследовать на непрерывность функции, найти точки разрыва и определить их тип. Построить схематические графики функций.



Решение

1)

Функция непрерывна на всей области определения, кроме точки x = 4. В этой точке функция имеет разрыв первого рода.

2)

Функция непрерывна на всей области определения, кроме точки x = 7. В этой точке функция имеет разрыв второго рода.

3)

Функция непрерывна на всей области определения, кроме точек x = 0 и x = 1. В обеих точках функция имеет разрыв первого рода.

1) График функции представляет собой параболу с разрывом в точке x = 4.

2) График функции представляет собой две горизонтальные прямые y = 1 и y = -1 с разрывом в точке x = 7.

3) График функции состоит из трех частей: прямой 4x + 1 на интервале (-Ꝏ, 0), параболы (x + 1)² на интервале [0, 1) и горизонтальной прямой y = 4 на интервале [1, Ꝏ). В точках x = 0 и x = 1 имеются разрывы первого рода.

---

Смотрите также файлы

• Проведения занятия.doc

• Реферат дисциплина Информационные и коммуникационные технологии часть 1 Тема Возможности WorldWideWeb при работе с информационными ресурсами студент группы гмноз1222(2).docx

• роль экологических факторов в развитии врожденных аномалий в центральном черноземье.ppt

• Задания для самоконтроля Цыганок Елена Ивановна, заместитель директора по врмбоу "сш 18", г. Ачинск Красноярский край.pdf

• з бетінше жмыс.docx