Файл: Руководство по выполнению виртуальных лабораторных работ по курсу физики.pdf

Страница 66

Страница 67 0
)
(



Vdp
C
dV
p
R
C
v
v
(8)
Учитывая, что
p
v
C
R
C


- молярная теплоемкость идеального газа при постоянном давлении, из (8) получим
0


p
dp
V
dV
C
C
v
p
(9).
Известно, что для идеального газа молярные теплоемкости C
p
и C
v
зависят только от числа i степеней свободы молекулы:
R
i
v
C
R
i
p
C
2
;
2 2



Следовательно, показатель
V
P
C
C
y 
- постоянная для данного газа величина. В этом случае решение дифференциального уравнения (9) имеет вид
const
pV


(11)
Уравнение (11) называют уравнением адиабаты
(уравнением Пуассона), а показатель

- показателем адиабаты (показателем Пуассона). Если считать воздух при атмосферном давлении и комнатной температуре идеальным газом, состоящим, в основном, из жестких двухатомных молекул (i= 5), то теоретическое значение показателя адиабаты для воздуха
4
,
1 2



i
i

(12)
ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ
И ПРОГРАММЫ
Основными частями экспериментальной установки (см. рис. 1а) являются баллон Б, наполненный воздухом; жидкостный (водяной) манометр М и компрессор (подключён к баллону, на рисунке 1а не показан, на рис.1 б - насос). Клапан 1 ( К1) соединяет баллон с атмосферой. Поперечное сечение
Клапана 1 велико. При его открывании процесс установления атмосферного давления в баллоне происходит достаточно быстро. Это быстрое изменение давления происходит практически без теплообмена с окружающей средой, и процесс, происходящий с воздухом в баллоне при открыванииКлапана 1 можно считать адиабатным. С помощью Клапана 2(К2) баллон может быть соединен с компрессором, накачивающим воздух в баллон.

Страница 68
Рис. .1 б) Главное окно программы - модельная установка
ВЫВОД РАСЧЁТНЫХ ФОРМУЛ
Пусть с помощью компрессора накачали воздух, затем закрыли
Клапан 1.Воздух в баллоне немного нагреется при сжатии, но через несколько минут температура воздуха в баллоне станет равной температуре Т
0
воздуха в лаборатории. Давление p
1
воздуха в баллоне при этом будет равно
p
1
=p
0
+p’ , (13) где р
0
– атмосферное давление; р' -избыточное давление воздуха, которое можно определить по показаниям манометра.
Рассмотрим некоторое количество воздуха в баллоне вдали от клапана, занимающее объем V
1
. Если открыть на короткое время Клапан 1, то часть воздуха выйдет из баллона, давление станет равным атмосферному, а рассмотренное количество газа увеличит свой объем от V
1
до V
2
(процесс
a

1
на рис. 2.). Температура в баллоне понизится, так как при вытекании из баллона воздух совершает положительную работу против окружающей атмосферы за счет уменьшения своей внутренней энергии.
Считая процесс
a

1
адиабатным, из (4. 1 ) получим
2 0
1 1


V
p
V
p

(14)

Страница 69
Рис. 2. Графическое изображение основных процессов в координатах
давление-объем
После закрывания Клапана 1 происходит изохорное нагревание содержимого баллона до температуры Т
0
окружающей среды (процесс
2

a
). При этом давление увеличивается на величину р" по сравнению с атмосферным, и становится равным p
2
=p
0
+ р"
(15)
В состояниях 1 и 2 температура газа одинакова, поэтому для них применим закон Бойля-Мариотта:
(16)
Исключив из системы уравнений (14), (16) отношение объемов
1 2
V
V
, получим








2 1
0 1
p
p
p
p
(17)
Прологарифмировав это соотношение, и использовав соотношения (13) и
(15), найдем выражение для

:
Избыточное давление р' и р" значительно меньше атмосферного, т.е. под логарифмами в уравнении (17) стоят величины, близкие к единице.
При x<<1 имеем
x
x 
 )
1
ln(
. Пренебрегая значением p’’, малым по сравнению с p
0
, заменяем p
0
+p
’’
на р
0
в знаменателе нижней дроби. В результате получим:
'
'
'
'
p
p
p



(18)
2 2
1 1
V
p
V
p

))
(
)
(
1
ln(
)
1
ln(
)
ln(
)
ln(
'
'
0
'
'
'
0
'
2 1
0 1
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p








Страница 70
В формулу (18) значения избыточного давления можно подставлять в любых одинаковых единицах. В этой работе удобнее всего выражать р' и р’’ в сантиметрах водяного столба, тогда р' (см вод. ст.) = h'лев (с.м)- h'пр (см) , р"(см вод. ст.) = h''лев(с.м)- h''пр (см).
(19)
Здесь h'лев и h'пр - отсчеты уровней в левой и правой трубках манометра при измерении р'. Величины h''лев и h''пр определяются аналогично при измерении р". Чтобы определить р", необходимо закрыть Клапан 1 точно в момент окончания адиабатического процесса. Трудность состоит в том, что адиабатический процесс занимает малые доли секунды, и момент его окончания неизвестен. Поэтому р" определяется следующим косвенным методом. При одинаковом начальном давлении р', но разной длительности t
открытия Клапана 1 измеряют конечное давление
(t)
"

p
. Закономерности теплообмена между газом и окружающей средой таковы, что зависимость
(t)
"

p
можно приближенно описать экспоненциальной функцией вида
, где

- длительность адиабатного процесса,

- постоянный коэффициент, характеризующий скорость теплообмена. Пренебрегая

по сравнению с
t, и логарифмируя обе части (2.20), получаем

t
"
ln
(t)
"

ln


p
p
Рис. 3. Зависимость логарифма давления от времени
Поскольку
(t)
"

ln p
линейно зависит от времени, и при t→0 стремится к "
ln p
, то точка пересечения экспериментально найденного линейного графика с вертикальной линией при t=0 позволяет найти "
ln p
и определить "
p
(рис. 3).
ПОРЯДОК ПРОВЕДЕНИЯ ИЗМЕРЕНИЙ
1). Часть условий проведения опыта (температура T
0
, давление р
0
) заносятся в отчёт автоматически. Приборными погрешностями секундомера (
)
- t
exp(
"
(t)
"



p
p


Страница 71

t) пренебрегаем, так как процессы достаточно медленные. Приборные погрешности уровней жидкости (

h) в трубках манометра следует занести в отчёт самостоятельно.
2) Приведите клапаны в начальное состояние:
 Клапан 1, соединяющий баллон с атмосферой – закрыт.
 Клапан 2, соединяющий баллон с компрессором – закрыт.
 Клапан 3, соединяющий баллон с манометром - открыт.
Клапан можно закрыть или открыть, щелкнув по нему ”мышью”.
3) Включите электропитание компрессора, щелкнув” мышью” по кнопке
«сеть» на лицевой панели насоса.
4) Откройте Клапан 2 , соединяющий баллон с компрессором, и наблюдайте за ростом давления в баллоне по водяному манометру.
Накачивайте воздух в баллон до такого начального давления, при котором разница уровней в правой и левой трубках манометра h'пр - h'лев =(60 70)см.
5) Закройте Клапан 2, затем выключите насос. Учтите, что при выключенном насосе и открытом Клапане 2 давление в баллоне медленно падает за счет утечки воздуха через насос.
6) Дождитесь, когда температура в баллоне сравняется с температурой в лаборатории. Давление при этом уменьшится, но оно должно остаться выше желаемого значения р'. Если это не так - подкачайте еще немного воздуха в баллон.
7) Чтобы уменьшить давление до желательного достаточно точного значения, откройте Клапан 2. Давление станет медленно падать из-за утечки воздуха через насос. Внимательно смотрите на манометр, и закройте Клапан
2 как только давление опустится до нужной величины. Занесите показания манометра в поле ввода

h
1
под окном с установкой.
8) Откройте Клапан 1 и закройте его через требуемое время.
Рекомендуемые значения t: 2 сек; 4 сек; 6 сек; 8 сек; 10 сек. Прошедшее время отображается на секундомере. Занесите реальное время t, в течение которого был открыт клапан, в соответствующее поле ввода.
9) Дождитесь, когда температура в баллоне сравняется с температурой в лаборатории. Занесите показания манометра

h
2 в соответствующее поле ввода и нажмите кнопку "Добавить в отчет".
10) Откройте Клапан 1.
Повторите эксперимент не менее 5 раз при одном и том же уровне начального давления и различных временах t.
После этого откройте форму отчета, выбрав пункт "Отчет" основного меню программы, заполните форму и закройте ее. Сохраните отчет, выбрав пункт "Файл | Сохранить отчет" основного меню.
Внимание! Накачивать воздух в баллон следует медленно, чтобы избежать значительного повышения температуры. Кроме того, надо следить, чтобы нижний уровень жидкости не достиг красной риски – при достижении этого давления автоматически сбрасывается предохранительный клапан.


Страница 72
ПОРЯДОК ПРОВЕДЕНИЯ РАСЧЕТОВ
1. По полученным данным методом наименьших квадратов автоматически проводится прямая
(t)
"

ln p
= a t + b и вычисляются её параметры a и b.
2. По этим параметрам найти наиболее вероятное значение ln p" (см. рис. 3.) и вычислить по нему р" .
3. Найти отношение р" к р' (Как найти p' по полученным данным? )
4. Вычислить

по формуле (18). Непосредственно в пунктах ввода можно пользоваться выражениями типа exp(2.86) или 60/(60- 17.46)
5. Вычислить погрешность нахождения р' по формуле
h
p



2
'
(21)
Почему используется такая формула для погрешности?
6. По погрешностям коэффициентов при проведении графика оценить погрешность

(ln р") и вычислить погрешность р" по формуле

р"= р"

(ln р").
(22)
7. Найти относительную и абсолютную погрешности нахождения

:
2 2
''
''
'
'
''
'
''





 






 


p
p
p
p
p
p
p

,






8. Выписать доверительные интервалы для экспериментальных значений р', р" и

.
9. Проверить, попадает ли теоретическое значение

(12) в найденный доверительный интервал.
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1. В каких единицах измеряются в системе СИ давление, объем, температура, молярные теплоемкости?
2. Что такое молярные теплоемкости С
р
и С
v
?
3. Чем молярная теплоемкость отличается от удельной, удельная – от полной?
4. Что такое адиабатный процесс?
5. Что такое закон Бойля-Мариотта, какой процесс он описывает?
6. Изобразите и координатах p - V изохорное охлаждение, изобарное нагревание, изотермическое и адиабатическое расширение, начинающиеся из одного начального состояния.
7. Как найти бесконечно малое изменение внутренней энергии и бесконечно малую работу, совершаемую идеальным газом в некотором термодинамическом процессе?
8. Как связаны молярные теплоемкости С
р
и С
v
, с числом степеней свободы молекулы i? Каково теоретическое значение

?
9. Что такое уравнение Пуассона?
10. Как изменяется давление некоторого количества воздуха при адиабатном увеличении его объема в два раза?

Страница 73 11. Какие физические законы и определения использованы при выводе уравнения адиабатного процесса?
12. Какие предположения были сделаны при выводе формулы (18), с какой точностью они выполнены?
13. Каково отношение
0
'
p
p
?
14. Из каких элементов состоит лабораторная установка?
15. Что такое внутренняя энергия идеального газа, как она ведет себя в адиабатическом процессе 1

а ?
16. Из какого графика в данной работе находится второе избыточное давление р" и почему?
17. Какие процессы происходят с газом в используемой установке при открытом Клапане 1,если клапан держать открытым 10 секунд?
18. Изобразите в координатах давление-объем все происходящее с некоторым количеством воздуха в баллоне при проведении лабораторной работы.
19. Как теплообмен в процессе «адиабатного» расширения влияет на график 1

а (см. рис. 2.) и на окончательный результат работы?
20. Какая кинетическая энергия приходится на одну степень свободы молекулы в тепловом равновесии при температуре T?
21. Докажите, что для одного моля газа С
р
–С
v
= R.
22. Из каких основных компонентов состоит сухой воздух?