Файл: 1. Жиындар жне олара амалдар олдану. Мысал келтірііз. Эйлер Венн диаграммасы бойынша крсетііз.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.12.2023
Просмотров: 73
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
13. Толық ықтималдықтың формуласы. Байес формуласы. Мысал келтіріңіз
Оқиғаның толық ықтималдығы.
Теорема. Н1,Н2,..., Нп,(НiHj= Ø,i
j)өзара қос-қостан үйлесімсізоқиғалар
H1+H2+…+Hn=U,P(U)=1теңдігінқанағаттандырсынжәне
A Uкездейсоқоқиғасы
Н1,Н2,...,Нпоқиғаларыменүйлесімсізболсын.ОндаАоқиғасыныңықтималдығы
1
2
Р(А) Р(Н1) РН(А) Р(Н2 ) РН
(А) ... Р(Нп) РН
(А)
(1)
п
формуласымен анықталады. (1) формула толық ықтималдық формуласы деп аталады. 1-мысал. Оқушы 25 емтихан сұрақтарының 20-на дайындалып үлгерген. Емтиханды ең үлкен ықтималдықпен тапсыру үшін оқушы емтихан билетін бірінші болып алғаны дұрыс па, әлде кезекпен алғаны дұрыс па?
Шешуі. оқушының дайындалған билетін «сәтті» деп, ал дайындалып үлгермеген билетін
«сәтсіз» билет деп атайық. Алдымен оқушының билетті бірінші болып алғандағы емтиханды тапсыру ықтималдығын анықтайық. Бұл жағдайда барлық мүмкін жағдайлар
саны n= 25, қолайлы жағдайлар саны m = 20. Сонда
P m 20 0,8.
n 25
Енді оқушының билетті екінші болып алғандағы емтиханды тапсыру ықтималдығын анықтайық. Әрине, бұл оқиға бірінші билет алған оқушының қандай билет алғанына тәуелді: ол сәтті билет алды ма, әлде сәтсіз билет алды ма? Н1 арқылы бірінші оқушының «сәтті» билет алғанын, Н2 арқылы оның «сәтсіз» билет алғанын білдіретін оқиғаларды белгілейік. Бізге қажет оқушының етмиханды тапсыруын білдіретін оқиғаны А арқылы белгілейік. Онда А оқиғасы Н1 және Н2 оқиғаларының бірімен орындалады.
Олай болса, (1) формула бойынша:
Р( А) Р(Н) Р ( А) Р(Н) Р
( А) 0,8 19 0,2 20 0,8 теңдігін аламыз.
1 Н1 2 Н2
24 24
Мұндағы
Р(Н) 20 0,8 , Р
( А) 19 ,
Р(Н) 5
0,2, Р
( А) 20
болатынын
1 25
Н1 24
2 25
Н2 24
ескердік. Сонымен, оқушының емтихан тапсыру ықтималдығы оның қай кезекпен билет алуына тәуелсіз.
Байес формуласы.
Алдыңғы тақырыптағы теоремадағы А оқиғасының орындалғаны белгілі болсын. Бізге А оқиғасының Нkоқиғасымен бірге орындалу ықтималдығын анықтау қажет.
Оқиғалардың көбейтіндісі ықтималдығының формуласы бойынша
k
P(A Hk) PH(A) P(Hk) PA(Hk) P(A) теңдігі орындалды.
k
Осыдан
P(H )
P(Hk) PH ( A)
(2)
Ak P(H)P ( A) P(H )P ( A) ... P(H )P
( A)
1 H1 2 H2 n Hn
формуласын аламыз. (2) формуланы Байес формуласы, кейде болжамдар теоремасы деп те атайды.
-
мысал. Мектеп оқушыларының 60%-ы қыз балалар. Театрға қыз балалардың 80%-ы және ер балалардың 75%-ы билет алған. Мұғалімдер бөлмесіне жоғалған билет әкелінді. Бұл билетті ер баланың жоғалтып алу ықтималдығын анықтайық.
Шешуі. А арқылы оқушының билетін жоғалтып алғанын білдіретін оқиғаны, Н1 арқылы билетті қыз баланың жоғалтқанын, Н2 арқылы билетті ер баланың жоғалтқанын білдіретін
оқиғаны белгілейік. Онда РА(Н2) ықтималдығын табу керек. Р(Н1)=0,6;
Р( А) 0,8;
Н
1
H(H2)=0,4;
Р ( А) 0,75 болғандықтан, толық ықтималдықтың формуласы бойынша
Н
2
Р(А) 0,6 0,8 0,4 0,75 0,78
Сонда (2) формула бойынша
болады.
Р(Н
) Р(Н2 ) РН2 ( А) 0,40,75 5
аламыз.
А 2
Жауабы: 5 .
13
Р( А)
0,78 13
14. Бернулли формуласы және оның салдарлары. Мысал келтіріңіз
Қандай да бір сынақ (тәжірибе) барысында А оқиғасы р ықтималдығымен орындалсын. Осы сынақты бірнеше рет қайталағанда әрбір сынақ нәтижесі өзге сынақ нәтижелеріне әсер етпесе, мұндай сынақтарды тәуелсіз сынақтардеп атайды. Сынақты п
рет қайталасақ , А және Аоқиғаларынан құралған тізбек аламыз. Мысалы, 4 сынақтың алғашқысында А оқиғасы орындалмай, 2- және 3-сынақтарда орындалып, 4-сынақта тағы
да орындалмаса, онда
А А А Атізбегін аламыз. Мұнда
Р( А) 1 Р( А) 1 ржәне бұл
ықтималдықты әдетте q арқылы белгілейді: q= 1 - p.
nсынақ нәтижесінде А оқиғасы mрет орындалсын. Көрсетілген тізбекте А оқиғасы n
рет, Аоқиғасы n– mрет кездеседі. Сондықтан белгілі бір тәртіппен А оқиғасының n
сынақта mрет орындалу ықтималдығы pm 1 pnm pm qnm. Ал п сынақта А оқиғасы
Pm, n m Cmтүрлі жағдайда mрет орындалады. А оқиғасының псынақта mрет
n n
орындалу ықтималдығы былай анықталады:
Pm Cmpm qnm.
(3)
n n
(3) формуланы Бернулли формуласы деп атайды. Осыдан псынақта А оқиғасының m1
мен m2аралығында орындалу ықтималдығы
Pnm1 m m2 Pnm1 Pnm1 1 ... Pnm2
(4)
теңдігімен анықталады. Оқиғаның псынақта кем дегенде бір рет орындалу ықтималдығы
n
Pm 1 1 qn,
q 1 p.
(5)
Pnm0 ықтималдығы Рп(0), Рп(1), Рп(2), ..., Рп(п) сандарының ең үлкені болса, m0-ді А оқиғасының псынақта орындалуының еңықтималдысаныдеп атайды. Бұл сан
np q m0 np p
теңсіздігімен анықталады.
(6)
-
мысал. Мергеннің бір көздегеннен нысанаға дәл тигізу ықтималдығы 0,8. Мергеннің 5 оқ атқанда нысанаға 1) тура үш оқ тигізу ықтималдығын; 2) кем дегенде үш оқ тигізу ықтималдығын; 3) кем дегенде бір рет тигізу ықтималдығы 0,9-дан кем болмайтындай, неше рет оқ атуы қажеттігін; 4) тигізудің ең ықтималды санын анықтайық.
Шешуі. 1) Бұл ықтималдықты (3) формула бойынша анықтаймыз. Мұнда p=0,8; q=0,2;