ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.12.2023
Просмотров: 90
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
и 
:
Подробная классификация систем координат и матриц перехода из одной системы в другую дана в [2].
В рекомендуемой литературе [1]-[5] все определения и обозначения даны в соответствии с ГОСТ 1075-41. Для облегчения перехода от системы обозначений ГОСТ 1075-41 к принятой в настоящее время системе ГОСТ 20058-74 следует пользоваться.
§ 3. Дифференциальные уравнения движения летательного аппарата
При выводе уравнений движения ЛА делает следующие допущения:
1. ЛА рассматривается как абсолютно твёрдое тело переменной массы, имеющие 6 степеней свободы.
2. Моменты инерции ЛА постоянны.
3. ЛА имеет вертикальную плоскость симметрии.
3. Не учитываются влияние ветра, сферичность и вращение земли.
Уравнения движения центра масс ЛА получим основании закона изменения количества движения центра масс:
,
Здесь
– вектор количества движения ЛА,
;
Fi – внешние силы, действующие на ЛА.
Обычно уравнения сил проецируют на оси траекторной системы координат, так как в это случае Vx=V, Vy=Vz=0 и уравнения получают в достаточно простом виде.
Выразим координаты всех сил в базисе траекторной системы.
Прежде всего рассмотрим эти силы.
1. Сила тяжести. Поскольку эта сила направлена по местной вертикали, её обычно задают в базисе нормальной системы координат:
2. Сила тяги двигателя приложена в центре масс двигателя и направлена по оси OX связанной системы. Она задается в базисе связанной системы координат:
3. Равнодействующая аэродинамических сил обычно записывается в базисе скоростной системы:
где X – сила лобового сопротивления;
Y – подъемная сила;
Z – боковая сила.
Запишем эти силы в проекциях на оси траекторной системы:
Окончательно
Аэродинамические силы выразятся так:
Поскольку проекции вектора скорости в скоростной и траекторной системах координат совпадают, то запишем левую часть уравнения сил в базисе траекторной системы:
Дифференцируем
по правилам дифференцирования вектора, записанного в подвижном базисе:
,
где
– локальная производная по времени, взятая в предположении неподвижого базиса; 
– угловая скорость вращения базиса.
Рис. 8. Вращение базиса траекторной системы координат в нормальной.
Обратимся к рис. 8. Нетрудно видеть, что вектор угловой скорости траекторной системы координат относительно осей нормальной системы может быть вычислен с помощью вектора 
, определяющего поворот на угол 
относительно оси OYg нормальной системы, и вектора 
, определяющего поворот на угол 
вокруг оси OZk траекторной системы. Спроецируем векторы и на оси траекторной системы:
Тогда векторное произведение
Таким образом, получили уравнения сил в проекциях на оси траекторной системы координат:
; (1)
; (2)
. (3)
Уравнение моментов, характеризующее вращение ЛА вокруг центра масс, получим на основании теоремы об изменении кинетического момента:
,
где
– внешние моменты, действующие на ЛА;
– вектор кинетического момента относительно центра масс;
Здесь
– вектор угловой скорости вращения ЛА относительно центра масс;
– тензор инерции (здесь главными являются оси связанной системы координат);
– моменты инерции относительно главных осей;
– центробежные моменты инерции.
Для ЛА, имеющих две взаимно перпендикулярные плоскости симметрии,
.
Для самолетов
.
Уравнение моментов в аэродинамике проецируют на оси связанной системы координат. Положим, что ЛА имеет две плоскости симметрии, т.е.
.
Запишем вектор угловой скорости в проекциях на оси связанной системы:
.
Тогда
Найдём полную производную
Внешние моменты, действующие на ЛА в проекциях на связанные оси, запишем в следующем виде:
Таким образом, имеем:
; (4)
; (5)
. (6)
Для ЛА с двумя плоскостями симметрии, как правило, выполняется соотношение
. Тогда первое из уравнений моментов принимает вид:
.
Теперь необходимо составить кинематические уравнения, характеризующие вращения ЛА относительно осей нормальной системы координат. В уравнениях (4) – (6) заданы проекции угловой скорости относительно связанных осей:
, 
, 
. При переходе из нормальной системы в связанную (рис. 5а) осуществляется вращении ЛА последовательно на угол 
с угловой скоростью 
относительно оси OYg, на угол 
с угловой скоростью 
вокруг оси OZ' и на угол 
с угловой скоростью 
вокруг оси OX. Таким образом, проекции угловой скорости , , направлены по осям непрямоугольной системы координат OXYgZ’:
Из рис. 5 видно, что
;
;
.
Отсюда запишем матрицу перехода от непрямоугольной системы к связанной:
Обычно требуется провести обратное преобразование T(H,1), которое находят по обычным правилам вычисления обратных матриц:
.
Нетрудно видеть, что определитель
.
Запишем взаимную матрицу
.
Таким образом, связь между проекциями угловой скорости в разных базисах выражается следующими уравнениями:
; (7)
; (8)
. (9)
Поскольку уравнения движения центра масс (1), (2), (3) записаны в траекторных осях, уравнения вращательного движения вокруг центра масс (4) – (9) – в связанных осях, а аэродинамические силы и моменты в правых частях уравнений (1) – (6) зависят от углов атаки
и скольжения между скоростными и связанными осями, то возникает необходимость в добавлении к записанным уравнениям геометрических соотношений между углами , , 
и углами , , ,
: Подробная классификация систем координат и матриц перехода из одной системы в другую дана в [2].
В рекомендуемой литературе [1]-[5] все определения и обозначения даны в соответствии с ГОСТ 1075-41. Для облегчения перехода от системы обозначений ГОСТ 1075-41 к принятой в настоящее время системе ГОСТ 20058-74 следует пользоваться.
§ 3. Дифференциальные уравнения движения летательного аппарата
При выводе уравнений движения ЛА делает следующие допущения:
1. ЛА рассматривается как абсолютно твёрдое тело переменной массы, имеющие 6 степеней свободы.
2. Моменты инерции ЛА постоянны.
3. ЛА имеет вертикальную плоскость симметрии.
3. Не учитываются влияние ветра, сферичность и вращение земли.
Уравнения движения центра масс ЛА получим основании закона изменения количества движения центра масс:
,Здесь
– вектор количества движения ЛА, ;Fi – внешние силы, действующие на ЛА.
Обычно уравнения сил проецируют на оси траекторной системы координат, так как в это случае Vx=V, Vy=Vz=0 и уравнения получают в достаточно простом виде.
Выразим координаты всех сил в базисе траекторной системы.
Прежде всего рассмотрим эти силы.
1. Сила тяжести. Поскольку эта сила направлена по местной вертикали, её обычно задают в базисе нормальной системы координат:
2. Сила тяги двигателя приложена в центре масс двигателя и направлена по оси OX связанной системы. Она задается в базисе связанной системы координат:
3. Равнодействующая аэродинамических сил обычно записывается в базисе скоростной системы:
где X – сила лобового сопротивления;
Y – подъемная сила;
Z – боковая сила.
Запишем эти силы в проекциях на оси траекторной системы:
Окончательно
Аэродинамические силы выразятся так:
Поскольку проекции вектора скорости в скоростной и траекторной системах координат совпадают, то запишем левую часть уравнения сил в базисе траекторной системы:
Дифференцируем
по правилам дифференцирования вектора, записанного в подвижном базисе: ,где
– локальная производная по времени, взятая в предположении неподвижого базиса; – угловая скорость вращения базиса. Рис. 8. Вращение базиса траекторной системы координат в нормальной.
Обратимся к рис. 8. Нетрудно видеть, что вектор угловой скорости траекторной системы координат
относительно осей нормальной системы может быть вычислен с помощью вектора , определяющего поворот на угол относительно оси OYg нормальной системы, и вектора , определяющего поворот на угол вокруг оси OZk траекторной системы. Спроецируем векторы и на оси траекторной системы:
Тогда векторное произведение
Таким образом, получили уравнения сил в проекциях на оси траекторной системы координат:
; (1) ; (2) . (3)Уравнение моментов, характеризующее вращение ЛА вокруг центра масс, получим на основании теоремы об изменении кинетического момента:
,где
– внешние моменты, действующие на ЛА; – вектор кинетического момента относительно центра масс;Здесь
– вектор угловой скорости вращения ЛА относительно центра масс; – тензор инерции (здесь главными являются оси связанной системы координат); – моменты инерции относительно главных осей; – центробежные моменты инерции.Для ЛА, имеющих две взаимно перпендикулярные плоскости симметрии,
.Для самолетов
.Уравнение моментов в аэродинамике проецируют на оси связанной системы координат. Положим, что ЛА имеет две плоскости симметрии, т.е.
.Запишем вектор угловой скорости в проекциях на оси связанной системы:
.Тогда
Найдём полную производную
Внешние моменты, действующие на ЛА в проекциях на связанные оси, запишем в следующем виде:
Таким образом, имеем:
; (4) ; (5) . (6)Для ЛА с двумя плоскостями симметрии, как правило, выполняется соотношение
. Тогда первое из уравнений моментов принимает вид: .Теперь необходимо составить кинематические уравнения, характеризующие вращения ЛА относительно осей нормальной системы координат. В уравнениях (4) – (6) заданы проекции угловой скорости относительно связанных осей:
, , . При переходе из нормальной системы в связанную (рис. 5а) осуществляется вращении ЛА последовательно на угол с угловой скоростью относительно оси OYg, на угол с угловой скоростью вокруг оси OZ' и на угол с угловой скоростью вокруг оси OX. Таким образом, проекции угловой скорости , , направлены по осям непрямоугольной системы координат OXYgZ’:
Из рис. 5 видно, что
; ; .Отсюда запишем матрицу перехода от непрямоугольной системы к связанной:
Обычно требуется провести обратное преобразование T(H,1), которое находят по обычным правилам вычисления обратных матриц:
.Нетрудно видеть, что определитель
.Запишем взаимную матрицу
.Таким образом, связь между проекциями угловой скорости в разных базисах выражается следующими уравнениями:
; (7) ; (8) . (9)Поскольку уравнения движения центра масс (1), (2), (3) записаны в траекторных осях, уравнения вращательного движения вокруг центра масс (4) – (9) – в связанных осях, а аэродинамические силы и моменты в правых частях уравнений (1) – (6) зависят от углов атаки
и скольжения между скоростными и связанными осями, то возникает необходимость в добавлении к записанным уравнениям геометрических соотношений между углами , , и углами , , ,