ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.12.2023
Просмотров: 91
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, а также отклонения органов управления боковым движением 
, 
и производные по времени от продольных парамтров 
, 
, 
, 
являются малыми, особенно для аппаратов, у которых применена стабилизация крена и траектория которых лежит в пределах небольшого пространственного угла.
4. При упрощении геометрических соотношений между отклонениями
и 
, 
и принимаем, что 
.
С учётом этих предположений, а также выражений (17) будем считать, что силы и моменты, входящие в правые части уравнений (1) – (16), зависят от следующих параметров [5]:
(19)
Проведем линеаризацию напримере уравнения (1):
.
Придадим параметрам V, H,
, 
,
,
их приращения и введем в уравнение (1) возмущающу силу XB:
Разложим все функции в последнем уравнении в ряд Тейлора по степеням приращений
и оставим члены порядка малости не выше первой:
Для невозмущённых слагаемых в левой и правой частях уравнение (1) справедливо как тождество, поэтому линеаризованное уравнение возмущенного движения принимает вид
Так как в силу ранее принятых допущений произведения
, 
, 
, 
являются величинами второго порядка малости, то из первого уравнения выражения (17) найдём составляющие приращения силы лобового сопротивления
,
Опуская при записи индекс "*":
Таким образом, необходимо найти выражения для
, 
, 
. Для примера найдем развернутое выражение для 
.
Известно [5, 4], что
,
a – скорость звука, зависящая от высот полета
;
– плотность, также зависящая от высоты:
S – характерное сечение:
– коэффициент лобового сопротивления, зависящий от числа маха M=V/a.
В [5, 4] дается физическое толкование и математические выражения для всех аэродинамических сил и моментов. Тогда
.
Обозначив
, получим 
.
Коэффициенты и 
можно вычислить по экспериментальному графику 
для заданных значений 
и 
. (Напомним, что в полученных выражениях фигурируют значения параметров невозмущенной траектории.)
Аналогично вычисляются и другие производные. Тогда окончательно первое уравнение с ил получим в следующем виде:
. (1л)
При линеаризации уравнения (2) отбрасывается член
, так как он имеет второй порядок малости согласно допущению, сделанному в § 4 п. 3; второй порядок малости имеют также члены 
, поскольку 
и т. д. Поэтому линеаризованное уравнение (2) имеет следующий вид:
(2л)
Уравнение (3) после линеаризации примет такой вид:
(3л)
В этом уравнении отброшены члены
, содержащие произведения малых величин:
; 
; 
; 
и др.
Пример линеаризации четвертого уравнения
.
Уравнение возмущенного движения примет следующий вид:
.
На основании (19) можно раскрыть вариацию
Величины
и 
в практических расчетах можно считать малыми, поэтому слагаемые 
; 
. Мал также значения 
и 
. Учитывая (17) и принятые допущения, сделанные в п.п. 1-4 данного параграфа, вычислим вариации слагаемых 
:
;
;
;
;
;
;
;
.
Запишем линеаризованное уравнение (4):
(4л)
Аналогично линеаризуем уравнение (5) и (6):
(5л)
(6л)
Разложение в ряд Тейлора уравнений (7), (8), и (9) относительно малых приращений параметров возмущенной траектории дает следующий результат:
; (7л)
; (8л)
. (9л)
Линеаризуем геометрическое уравнение связи углов (10):
.
После разложения в ряд Тейлора данное уравнение дает следующее соотношение между вариациями параметров:
Отсюда с учетом допущений, сделанных в п.п. I – 4 данного параграфа, получаем:
. (10л)
Уравнения (11) и (12) приводятся соответственно к виду
; (11л)
. (12л)
Аналогично получаем линеаризованные кинематические уравнения (13)-(15) движения центра масс ЛА в земной системе координат:
; (13л)
; (14л)
; (15л)
Уравнение (16) – линейно.
Таким образом, получена линеаризованная система дифференциальных уравнений пространственного движения ЛА (1л) – (16л). Анализ динамических свойств ЛА как объекта управления осуществляется в динамике полета на основе именно этих уравнений.
В качестве дальнейших шагов в упрощении линеаризованных уравнений движения ЛА применяют принцип «замороженных коэффициентов», что позволяет свести исходную систему к системе линейных уравнений с постоянными коэффициентами. И, наконец, проводят разделение уравнений движения на три независимые группы, которые
, , , , , , а также отклонения органов управления боковым движением , и производные по времени от продольных парамтров , , , являются малыми, особенно для аппаратов, у которых применена стабилизация крена и траектория которых лежит в пределах небольшого пространственного угла.4. При упрощении геометрических соотношений между отклонениями
и , и принимаем, что .С учётом этих предположений, а также выражений (17) будем считать, что силы и моменты, входящие в правые части уравнений (1) – (16), зависят от следующих параметров [5]:
(19)Проведем линеаризацию напримере уравнения (1):
.Придадим параметрам V, H,
,
,
, их приращения и введем в уравнение (1) возмущающу силу XB: Разложим все функции в последнем уравнении в ряд Тейлора по степеням приращений
и оставим члены порядка малости не выше первой: Для невозмущённых слагаемых в левой и правой частях уравнение (1) справедливо как тождество, поэтому линеаризованное уравнение возмущенного движения принимает вид
Так как в силу ранее принятых допущений произведения
, , , являются величинами второго порядка малости, то из первого уравнения выражения (17) найдём составляющие приращения силы лобового сопротивления ,Опуская при записи индекс "*":
Таким образом, необходимо найти выражения для
, , . Для примера найдем развернутое выражение для .Известно [5, 4], что
,a – скорость звука, зависящая от высот полета
;
– плотность, также зависящая от высоты:S – характерное сечение:
– коэффициент лобового сопротивления, зависящий от числа маха M=V/a.В [5, 4] дается физическое толкование и математические выражения для всех аэродинамических сил и моментов. Тогда
.Обозначив
, получим .Коэффициенты
и можно вычислить по экспериментальному графику для заданных значений и . (Напомним, что в полученных выражениях фигурируют значения параметров невозмущенной траектории.)Аналогично вычисляются и другие производные. Тогда окончательно первое уравнение с ил получим в следующем виде:
. (1л)При линеаризации уравнения (2) отбрасывается член
, так как он имеет второй порядок малости согласно допущению, сделанному в § 4 п. 3; второй порядок малости имеют также члены , поскольку и т. д. Поэтому линеаризованное уравнение (2) имеет следующий вид: (2л)Уравнение (3) после линеаризации примет такой вид:
(3л)В этом уравнении отброшены члены
, содержащие произведения малых величин:
; ; ; и др.Пример линеаризации четвертого уравнения
.Уравнение возмущенного движения примет следующий вид:
.На основании (19) можно раскрыть вариацию
Величины
и в практических расчетах можно считать малыми, поэтому слагаемые ; . Мал также значения и . Учитывая (17) и принятые допущения, сделанные в п.п. 1-4 данного параграфа, вычислим вариации слагаемых : ; ; ; ; ; ; ; .Запишем линеаризованное уравнение (4):
(4л)Аналогично линеаризуем уравнение (5) и (6):
(5л) (6л)Разложение в ряд Тейлора уравнений (7), (8), и (9) относительно малых приращений параметров возмущенной траектории дает следующий результат:
; (7л) ; (8л) . (9л)Линеаризуем геометрическое уравнение связи углов (10):
.После разложения в ряд Тейлора данное уравнение дает следующее соотношение между вариациями параметров:
Отсюда с учетом допущений, сделанных в п.п. I – 4 данного параграфа, получаем:
. (10л)Уравнения (11) и (12) приводятся соответственно к виду
; (11л) . (12л)Аналогично получаем линеаризованные кинематические уравнения (13)-(15) движения центра масс ЛА в земной системе координат:
; (13л) ; (14л) ; (15л)Уравнение (16) – линейно.
Таким образом, получена линеаризованная система дифференциальных уравнений пространственного движения ЛА (1л) – (16л). Анализ динамических свойств ЛА как объекта управления осуществляется в динамике полета на основе именно этих уравнений.
В качестве дальнейших шагов в упрощении линеаризованных уравнений движения ЛА применяют принцип «замороженных коэффициентов», что позволяет свести исходную систему к системе линейных уравнений с постоянными коэффициентами. И, наконец, проводят разделение уравнений движения на три независимые группы, которые