являющийся приближенным изображением сигнала :



С увеличением числа членов N приближение, разумеется, улучшается, и в пределе, при приближенные равенства (2.12) и (2.13) переходят в точные (2.2) и (2.7), соответственно.

При этом существенно, что приближения (2.12) и (2.13) есть всегда наилучшие приближения для любого N, т. е. когда возникает необходимость аппроксимировать периодическую функцию тригонометрическим полиномом, то наименьшее квадратичное отклонение получится, если коэффициенты полинома будут определены по формулам (2.3) – (2.5).

Известно, что если существует интеграл , то средняя квадратическая погрешность



где – произвольный тригонометрический многочлен вида



при каждом N принимает наименьшее значение, когда в качестве коэффициентов и многочлена берутся соответствующие коэффициенты Фурье (2.3) – (2.5) и функции s(t), т. е. когда тригонометрический многочлен есть частичная сумма



ряда Фурье функции s(t) .

Следует учитывать, что при усечении рядов Фурье определенное искажение функций существует всегда. Но при малой доле энергии отсекаемой части сигнала (при быстром затухании спектров функций с ростом номера гармоники) этот эффект, получивший название эффекта Гиббса, может быть и малозаметен. На скачках и разрывах функций эффект Гиббса проявляется наиболее ярко, что может весьма существенно сказаться на качестве и точности обработки сигналов:

---

- крутизна перепадов «размывается», т. к. она не может быть больше, чем крутизна (в нулевой точке) последней сохраненной гармоники ряда (2.12) или (2.13);

- по обе стороны «размытых» перепадов появляются выбросы и затухающие осцилляции с частотой, равной частоте последнего сохраненного или первого отброшенного члена ряда (2.12) или (2.13).

Более подробно проявление эффекта Гиббса будет рассмотрено далее в примере спектрального анализа и синтеза периодической последовательности прямоугольных импульсов.

Теорема Парсеваля. Определив среднюю мощность сигнала s(t), представленного в виде ряда Фурье (2.2), за период колебаний T, получим:



При выводе формулы (2.15) использовано соотношение



Соотношение (2.15) представляет собой математическую запись теоремы Парсеваля, из которой следует, что если периодический сигнал s(t)разлагается в ряд Фурье, то средняя за период мощность этого сигнала заключается в сумме мощностей постоянной составляющей и гармоник спектра Фурье.

При использовании вещественной формы записи ряда Фурье (2.7) равенство Парсеваля (2.15) можно, также переписать в виде






Оборудование и материалы

Для выполнения лабораторной работы необходим персональный компьютер. Также необходима операционная система WINDOWS , программа MathCAD 13 и выше.
Указания по технике безопасности

При выполнении лабораторной работы запрещается:

- самостоятельно производить ремонт персонального компьютера, а также установку и удаление имеющегося программного обеспечения;

- нарушать общепринятые правила техники безопасности при работе с электрооборудованием, в частности, касаться электрических розеток металлическими предметами и т.д.;

- принимать пищу, напитки и сорить на рабочем месте пользователя персонального компьютера.

---

В случае неисправности персонального компьютера необходимо немедленно сообщить об этом обслуживающему персоналу лаборатории (системному администратору, оператору).
Указания по порядку выполнения работы

Методику выполнения работы рассмотрим на примере спектрального анализа и синтеза в усеченном базисе Фурье (ограничиться рассмотрением десяти гармоник т. е. N =10) периодической последовательности прямоугольных импульсов с высотой A = 1 В, длительностью τ = 0,2 с и периодом Т = 1 с (рисунок 2.3).


Рис.2.3. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов
Требуется для сигнала s(t) определить:

 – основную круговую частоту периодического сигнала (частоту первой гармоники), рад/с;

 – коэффициент k-той косинусной составляющей спектра Фурье периодического сигнала, В;

 – коэффициент k-той синусной составляющей спектра Фурье периодического сигнала, В;

 – постоянную составляющую спектра Фурье периодического сигнала, В;

 – амплитуду k-той гармоники спектра Фурье периодического сигнала, В;

 – начальную фазу k-той гармоники спектра Фурье периодического сигнала, радианы или градусы;

- амплитудную и фазовую спектральные диаграммы периодического сигнала (построить линейчатые спектры);

- восстановленный по усеченному ряду Фурье сигнал являющийся приближенным изображением сигнала s(t);

- расстояние и квадрат расстояния между сигналами и s(t) за период колебаний T, выраженный в процентной мере относительно квадрата нормы сигнала s(t);

- среднюю мощность сигнала s(t) за период колебаний T;

- сумму мощностей постоянной составляющей и гармоник спектра Фурье, и выполнение неравенства Парсеваля;

---

- tm – момент времени, когда восстановленный по усеченному ряду Фурье сигнал принимает максимальное значение (исследование эффекта Гиббса), с;

- Δ – максимальное значение абсолютной ошибки восстановления сигнала, обусловленное наличием эффекта Гиббса, В;

- Δ% – максимальное значение относительной ошибки восстановления сигнала, выраженное в процентах, обусловленное наличием эффекта Гиббса;

- исследовать, как влияет изменение количества гармоник усеченного ряда Фурье на изменение параметров эффекта Гиббса – tm, Δ и Δ%.

Рассмотрим решение поставленной задачи в математическом пакете Mathcad.

В приводимом ниже документе Mathcad приняты следующие обозначения:

- s(t) – функция, описывающая зависимость отдельного импульса, составляющего периодическую последовательность импульсов, от текущего времени в пределах одного периода T;

- sN(t) – периодическая функция, восстановленная (спектральный синтез) по результатам спектрального анализа (разложению в ряд Фурье) функции s(t) по N гармоникам;

- T – период, с;

- τ – длительность импульсов, с;

- A – высота импульса, В;

- N – число рассчитываемых гармоник спектра периодической последовательности импульсов (задача спектрального анализа);

- , – коэффициент k-той косинусной и синусной составляющей спектра Фурье периодического сигнала (формула (2.2)), k = 1, 2, 3, ... , N;

- – амплитуда и начальная фаза k-той гармоники спектра Фурье периодического сигнала (формула (2.7)), k = 1, 2, 3, ... , N;

- , – удвоенное значение постоянной составляющей спектра Фурье периодического сигнала (формулы (2.2) и (2.7));

- tm – момент времени, когда восстановленный по усеченному ряду Фурье сигнал sN(t) принимает максимальное значение (исследование эффекта Гиббса);

- Δ – максимальное значение абсолютной ошибки восстановления сигнала, обусловленное наличием эффекта Гиббса;

- Δ% – максимальное значение относительной ошибки восстановления сигнала, обусловленное наличием эффекта Гиббса;

---

Решение:

1. 
   Запускаем математический пакет Mathcad. Согласно форме сигнала s(t) (таблица 2.3) и заданным параметрам вводим определение сигнала и строим его график в пределах одного периода (рисунок 2.4).
   

Рисунок 2.4 – Определение и график сигнала s(t) в пределах одного периода
2. Вычисляем основную круговую частоту периодического сигнала

(частоту первой гармоники), рад/с, (рисунок 2.5).



Рисунок 2.5 – Вычисляем основную круговую частоту периодического

сигнала (частоту первой гармоники)
Как видно из рисунка 2.5, частота первой гармоники составляет 6,283 рад/с.

3.Задаем количество гармоник усеченного ряда Фурье (N = 10), формируем ранжированную переменную k (k = 0, 1, 2, … , 10) и вычисляем коэффициент k-той косинусной составляющей спектра Фурье периодического сигнала (рисунок 2.6).


Рисунок 2.6 – Вычисляем коэффициент k-той косинусной составляющей

спектра Фурье периодического сигнала
4. Вычисляем коэффициент k-той синусной составляющей спектра Фурье периодического сигнала (рисунок 2.7).



Рисунок 2.7 – Вычисляем коэффициент k-той синусной составляющей спектра Фурье периодического сигнала

5. Отображаем в виде векторов рассчитанные значения коэффициентов (рисунок 2.8).



Рисунок 2.8 – Рассчитанные значения коэффициентов

6. Вычисляем постоянную составляющую спектра Фурье периодического сигнала (рисунок 2.9).

---

Смотрите также файлы

• Установите последовательность, отражающую систематическое положение вида Сосна обыкновенная в классификации растений, начиная с наименьшей группы.docx

• Как Вы считаете, соответствует ли изображенная ниже игрушка требованиям безопасности Аргументируйте свою точку зрения.docx

• Олимпиада по математике 2 класс i тур.docx

• Текст не нужен Текст не нужен.docx

• Протокол от согласовано Общешкольным родительским советом мбоусош7 им П. Н. Степаненко.doc