являющийся приближенным изображением сигнала :



С увеличением числа членов N приближение, разумеется, улучшается, и в пределе, при приближенные равенства (2.12) и (2.13) переходят в точные (2.2) и (2.7), соответственно.

При этом существенно, что приближения (2.12) и (2.13) есть всегда наилучшие приближения для любого N, т. е. когда возникает необходимость аппроксимировать периодическую функцию тригонометрическим полиномом, то наименьшее квадратичное отклонение получится, если коэффициенты полинома будут определены по формулам (2.3) – (2.5).

Известно, что если существует интеграл , то средняя квадратическая погрешность



где – произвольный тригонометрический многочлен вида



при каждом N принимает наименьшее значение, когда в качестве коэффициентов и многочлена берутся соответствующие коэффициенты Фурье (2.3) – (2.5) и функции s(t), т. е. когда тригонометрический многочлен есть частичная сумма



ряда Фурье функции s(t) .

Следует учитывать, что при усечении рядов Фурье определенное искажение функций существует всегда. Но при малой доле энергии отсекаемой части сигнала (при быстром затухании спектров функций с ростом номера гармоники) этот эффект, получивший название эффекта Гиббса, может быть и малозаметен. На скачках и разрывах функций эффект Гиббса проявляется наиболее ярко, что может весьма существенно сказаться на качестве и точности обработки сигналов:

---

- крутизна перепадов «размывается», т. к. она не может быть больше, чем крутизна (в нулевой точке) последней сохраненной гармоники ряда (2.12) или (2.13);- по обе стороны «размытых» перепадов появляются выбросы и затухающие осцилляции с частотой, равной частоте последнего сохраненного или первого отброшенного члена ряда (2.12) или (2.13).Более подробно проявление эффекта Гиббса будет рассмотрено далее в примере спектрального анализа и синтеза периодической последовательности прямоугольных импульсов.Теорема Парсеваля. Определив среднюю мощность сигнала s(t), представленного в виде ряда Фурье (2.2), за период колебаний T, получим:При выводе формулы (2.15) использовано соотношениеСоотношение (2.15) представляет собой математическую запись теоремы Парсеваля, из которой следует, что если периодический сигнал s(t)разлагается в ряд Фурье, то средняя за период мощность этого сигнала заключается в сумме мощностей постоянной составляющей и гармоник спектра Фурье.При использовании вещественной формы записи ряда Фурье (2.7) равенство Парсеваля (2.15) можно, также переписать в видеОборудование и материалыДля выполнения лабораторной работы необходим персональный компьютер. Также необходима операционная система WINDOWS , программа MathCAD 13 и выше.Указания по технике безопасностиПри выполнении лабораторной работы запрещается:- самостоятельно производить ремонт персонального компьютера, а также установку и удаление имеющегося программного обеспечения;- нарушать общепринятые правила техники безопасности при работе с электрооборудованием, в частности, касаться электрических розеток металлическими предметами и т.д.;- принимать пищу, напитки и сорить на рабочем месте пользователя персонального компьютера.

---

В случае неисправности персонального компьютера необходимо немедленно сообщить об этом обслуживающему персоналу лаборатории (системному администратору, оператору).Указания по порядку выполнения работыМетодику выполнения работы рассмотрим на примере спектрального анализа и синтеза в усеченном базисе Фурье (ограничиться рассмотрением десяти гармоник т. е. N =10) периодической последовательности прямоугольных импульсов с высотой A = 1 В, длительностью τ = 0,2 с и периодом Т = 1 с (рисунок 2.3).Рис.2.3. Периодическая последовательность прямоугольных импульсовТребуется для сигнала s(t) определить: – основную круговую частоту периодического сигнала (частоту первой гармоники), рад/с; – коэффициент k-той косинусной составляющей спектра Фурье периодического сигнала, В; – коэффициент k-той синусной составляющей спектра Фурье периодического сигнала, В; – постоянную составляющую спектра Фурье периодического сигнала, В; – амплитуду k-той гармоники спектра Фурье периодического сигнала, В; – начальную фазу k-той гармоники спектра Фурье периодического сигнала, радианы или градусы;- амплитудную и фазовую спектральные диаграммы периодического сигнала (построить линейчатые спектры);- восстановленный по усеченному ряду Фурье сигнал являющийся приближенным изображением сигнала s(t);- расстояние и квадрат расстояния между сигналами и s(t) за период колебаний T, выраженный в процентной мере относительно квадрата нормы сигнала s(t);- среднюю мощность сигнала s(t) за период колебаний T;- сумму мощностей постоянной составляющей и гармоник спектра Фурье, и выполнение неравенства Парсеваля;

---

- tm – момент времени, когда восстановленный по усеченному ряду Фурье сигнал принимает максимальное значение (исследование эффекта Гиббса), с;- Δ – максимальное значение абсолютной ошибки восстановления сигнала, обусловленное наличием эффекта Гиббса, В;- Δ% – максимальное значение относительной ошибки восстановления сигнала, выраженное в процентах, обусловленное наличием эффекта Гиббса;- исследовать, как влияет изменение количества гармоник усеченного ряда Фурье на изменение параметров эффекта Гиббса – tm, Δ и Δ%.Рассмотрим решение поставленной задачи в математическом пакете Mathcad.В приводимом ниже документе Mathcad приняты следующие обозначения:- s(t) – функция, описывающая зависимость отдельного импульса, составляющего периодическую последовательность импульсов, от текущего времени в пределах одного периода T;- sN(t) – периодическая функция, восстановленная (спектральный синтез) по результатам спектрального анализа (разложению в ряд Фурье) функции s(t) по N гармоникам;- T – период, с;- τ – длительность импульсов, с;- A – высота импульса, В;- N – число рассчитываемых гармоник спектра периодической последовательности импульсов (задача спектрального анализа);- , – коэффициент k-той косинусной и синусной составляющей спектра Фурье периодического сигнала (формула (2.2)), k = 1, 2, 3, ... , N;- – амплитуда и начальная фаза k-той гармоники спектра Фурье периодического сигнала (формула (2.7)), k = 1, 2, 3, ... , N;- , – удвоенное значение постоянной составляющей спектра Фурье периодического сигнала (формулы (2.2) и (2.7));- tm – момент времени, когда восстановленный по усеченному ряду Фурье сигнал sN(t) принимает максимальное значение (исследование эффекта Гиббса);- Δ – максимальное значение абсолютной ошибки восстановления сигнала, обусловленное наличием эффекта Гиббса;- Δ% – максимальное значение относительной ошибки восстановления сигнала, обусловленное наличием эффекта Гиббса;

---

Решение:

1. 
   Запускаем математический пакет Mathcad. Согласно форме сигнала s(t) (таблица 2.3) и заданным параметрам вводим определение сигнала и строим его график в пределах одного периода (рисунок 2.4).
   

Рисунок 2.4 – Определение и график сигнала s(t) в пределах одного периода2. Вычисляем основную круговую частоту периодического сигнала(частоту первой гармоники), рад/с, (рисунок 2.5).Рисунок 2.5 – Вычисляем основную круговую частоту периодическогосигнала (частоту первой гармоники)Как видно из рисунка 2.5, частота первой гармоники составляет 6,283 рад/с.3.Задаем количество гармоник усеченного ряда Фурье (N = 10), формируем ранжированную переменную k (k = 0, 1, 2, … , 10) и вычисляем коэффициент k-той косинусной составляющей спектра Фурье периодического сигнала (рисунок 2.6).Рисунок 2.6 – Вычисляем коэффициент k-той косинусной составляющейспектра Фурье периодического сигнала4. Вычисляем коэффициент k-той синусной составляющей спектра Фурье периодического сигнала (рисунок 2.7).Рисунок 2.7 – Вычисляем коэффициент k-той синусной составляющей спектра Фурье периодического сигнала5. Отображаем в виде векторов рассчитанные значения коэффициентов (рисунок 2.8).Рисунок 2.8 – Рассчитанные значения коэффициентов 6. Вычисляем постоянную составляющую спектра Фурье периодического сигнала (рисунок 2.9).

---

Смотрите также файлы

• Установите последовательность, отражающую систематическое положение вида Сосна обыкновенная в классификации растений, начиная с наименьшей группы.docx

• Как Вы считаете, соответствует ли изображенная ниже игрушка требованиям безопасности Аргументируйте свою точку зрения.docx

• Олимпиада по математике 2 класс i тур.docx

• Текст не нужен Текст не нужен.docx

• Протокол от согласовано Общешкольным родительским советом мбоусош7 им П. Н. Степаненко.doc