§ 3. РЯД ТЕЙЛОРА . Разложение функции в степенной рядВсякая функция, бесконечно дифференцируемая в интервале , т.е. , может быть разложена в этом интервале в сходящийся к ней степенной ряд Тейлора , (1)если в этом интервале выполняется условие ,где – остаточный член формулы Тейлора (или остаток ряда), .При получается ряд Маклорена: .Если в некотором интервале, содержащем точку , при любом выполняется неравенство , где – положительная постоянная, то и функция разложима в ряд Тейлора.Для оценки остаточного члена можно пользоваться формулой где (2)(форма Лагранжа).Пример 1. Разложить функцию в ряд по степеням . Решение. Находим производные данной функции

---

: , , вообще , если – четное и , если – нечетное. Полагая , получим, , , , , вообще , если

– четное, и , если – нечетное. Отсюда на основании (1) имеем:

(3)

Для определения интервала сходимости ряда (3) применяем признак Даламбера.

Имеем:



при любом . Следовательно, ряд сходится в интервале . Остаточный член в соответствии с формулой (2) имеет вид

, если нечетное , и

, если

---

четное.

Так как , то

,

,

и потому . Ряд с общим членом сходится при любом (в этом можно легко убедиться с помощью признака Даламбера), поскольку в соответствии с необходимым признаком сходимости

,

а следовательно, и при любом . Это означает что сумма ряда (3) для любого действительно равна .


. Приемы, применяемые при разложении в степенные

ряды

Пользуясь основными разложениями

1. 
   ,
   
2. 
   ,
   
3. 
   ,
   
4. 
   ; на границах интервала сходимости это последнее разложение имеет место:
   

при , если ,при

---

, если ,

при , если .

5. 
   ;
   
6. 
   ;
   
7. 
   ;
   

можно во многих случаях просто получать разложение данной функции в степенной ряд, причем отпадает необходимость исследования остаточного члена. Иногда при разложении полезно использовать почленное дифференцирование или интегрирование. При разложении в степенные ряды рациональных функций рекомендуется разлагать эти функции на простейшие дроби. Пример 2. Разложить по целым и положительным степеням функцию . Решение. Разложив функцию на простейшие дроби, будем иметь: .Так как (4)и , (5)то окончательно (6)Геометрические прогрессии (4) и (5) сходятся соответственно при и следовательно, формула (6) справедлива при , т.е. при . Пример 3. Разложить в ряд по степеням функцию . Решение. Продифференцируем функцию раз:

---

, , , , , , , .Находим значение функций , , ,…, в точке , а значение определяем в точке (см. равенство для определения ). Получаем , , , , , , , …, .Находим остаточный член: ,т.е. .Так как

---

Смотрите также файлы

• Тема Нормы современного русского литературного языка.docx

• Атомы, молекулы, вещества Все предметы вокруг нас состоят из.pptx

• Лекция Графика и таблицы в html 1 Использование графики в html 1 Активные изображения 4 Средства описания таблиц в html 5.doc

• Р.ошарбай атындаы 1 жоббм жиынты баалау жргізу орытындылары бойынша талдау туралы мліметтер iii тосан алгебра пні бойынша.docx

• М. В. Горская Тест суицидального поведения Цель выявить склонность индивида к суицидальному поведению. Форма проведения индивидуальная или групповая. Время проведения 30 45 минут. Возраст с 14 лет. Инструкция.docx