ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.12.2023
Просмотров: 26
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
при любом 
, а 
– величина ограниченная, то 
. Следовательно, функцию 
можно представить в виде суммы ряда Маклорена
.
Задачу можно решить и иначе. В равенстве
заменим 
его разложением в степенной ряд:
.
Выполнив несложные преобразования, получим найденное выше разложение
.
Пример 4. Разложить
в ряд по степеням .
Решение. В разложении
заменим на 
; получим
.
Пример 5. Разложить
в ряд по степеням 
.
Решение. В разложении
заменим на ; получим
.
Пример 6. Разложить
в ряд по степеням 
.
Решение. Воспользуемся равенством
. Правую часть этого равенства можно рассматривать как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом 
и знаменателем 
. Отсюда получаем
,
т.е.
.
Так как
, то 
.
Пример 7. Разложить в ряд по степеням функцию 
.
Решение. Найдем значения функции и ее производных при
:
Так как
, то при фиксированном имеет место неравенство 
для любого 
. Следовательно, функция может быть представлена в виде суммы ряда Маклорена:
.
В данном случае
.
Это разложение можно получить и иначе: достаточно в разложении
заменить на 
, так как
,
тогда
, при
.
, а – величина ограниченная, то . Следовательно, функцию можно представить в виде суммы ряда Маклорена .Задачу можно решить и иначе. В равенстве
заменим его разложением в степенной ряд: .Выполнив несложные преобразования, получим найденное выше разложение
.Пример 4. Разложить
в ряд по степеням .Решение. В разложении
заменим
на ; получим .Пример 5. Разложить
в ряд по степеням .Решение. В разложении
заменим
на ; получим .Пример 6. Разложить
в ряд по степеням
.
Решение. Воспользуемся равенством
. Правую часть этого равенства можно рассматривать как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем . Отсюда получаем ,т.е.
.Так как
, то .Пример 7. Разложить в ряд по степеням
функцию .Решение. Найдем значения функции и ее производных при
: Так как
, то при фиксированном имеет место неравенство для любого . Следовательно, функция может быть представлена в виде суммы ряда Маклорена: .В данном случае
.Это разложение можно получить и иначе: достаточно в разложении
заменить
на , так как ,тогда
, при
.