Отдел образования администрации Центрального районаМуниципальное общеобразовательное учреждениеСредняя общеобразовательная школа № 4Секция: математикаИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТАпо темеАРИФМЕТИКИ ФИГУРКокорева Валерия Вадимовна, 10^в класс, МОУ СОШ №4 Центрального района. 224-29-23Руководитель: Тропина Наталья Валерьяновна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа НГПУ.(Работа выполнена в МОУ СОШ №4)ВведениеВ повседневной жизни мы очень часто используем арифметику чисел, составляющую основу математики. Данная работа содержит результаты исследований за два года; в ней рассмотрены различные варианты выполнения арифметических операций над точками и фигурами. Свойства фигур в этих арифметиках рассмотрены по одним и тем же параметрам для удобства их сравнительного анализа.В первой части представлена арифметика трех лучей. Как видно из названия, универсумом является пространство, составленное из трех лучей. Во второй части рассмотрена мультипликативная арифметика, в которой под произведением точек А и В подразумевается отрезок АВ.Все теоремы и свойства, рассмотренные в работе, доказаны самостоятельно.Содержание1. Арифметика трех лучей

1. 
   Основы арифметики
   

В прошлом году я рассматривала так называемую мультипликативную арифметику, где произведением точек являлся соединяющий их отрезок. Универсумом в ней являлась плоскость, и я рассматривала только фигуры, являющиеся ее подмножествами. В арифметике трех лучей универсумом являются три луча, выходящие из одной точки (рис.1). Все последующие операции будут рассматриваться только для фигур, являющихся подмножествами этого трехлучевого пространства.

---

2. 
   Понятие умножения. Свойства умножения точек
   

Под произведением двух точек А и В будем подразумевать отрезок, соединяющий эти точки (рис.2). Отрезок с концами А и В в трехлучевой арифметике – это кратчайшая ломаная, соединяющая точки А и В.Существуют два принципиально различных варианта расположения двух точек в трехлучевом пространстве, но произведение этих точек для любых точек А и В определяется единственным образом. На рисунке 2а рассмотрен вариант , при котором точки А и В расположены на одном луче, а на рисунке 2б – на разных.Такое умножение точек обладает следующими свойствами:А) КоммуникативностьАВ=ВАСвойство доказано графически, перебором всех принципиально различных вариантов расположения точек (рис.3) На рисунке 3а рассмотрен случай, когда обе точки лежат на одном луче, а на рисунке 3б – когда они лежат на разных лучах. Таким образом, рассмотрены все принципиально различные варианты расположения точек А и В (случаи аналогичных ситуаций, когда точки А и В просто лежат на других лучах, можно не рассматривать, т.к. они абсолютно идентичны при повороте универсума).При графическом доказательстве дальнейших свойств метод и ход доказательства аналогичен, поэтому подробное описание каждого случая опускается. Б) Ассоциативность(АВ)С=А(ВС)Доказательством этого свойства является перебор всех принципиально различных вариантов расположений точек А, В и С, с проверкой выполнения данного свойства (рис.4), как и в случае с коммутативностью. В) Дистрибутивность относительно сложенияПод суммой двух точек будем подразумевать их объединение. А(В+С)=АВ+АС. Доказательство графическое (рис.5).Г) ИдемпотентностьАА=А. Произведением точки А самой на себя является кратчайшая ломаная, соединяющая точку А с самой точкой А. Этой кратчайшей ломаной является сама точка А.

3. Умножение фигур

Под произведением фигур

---

будем подразумевать объединение произведений всех точек фигуры на каждую точку фигуры .Такое умножение обладает следующими свойствами:А) КоммуникативностьТеорема (о коммутативности умножения фигур)Произведение двух фигур коммутативно.ДоказательствоПо определению умножения фигур мы должны умножить все точки фигуры на каждую точку фигуры . Таким образом, мы можем представить произведение как объединение произведений точек фигур и . Умножение точек коммутативно, поэтому можно во всех таких произведениях можно переставить точки исходных фигур. Теорема доказана. Для доказательства дальнейших свойств нам потребуется определить понятия ограниченных и неограниченных фигур.Ограниченная на луче фигура в трехлучевой арифметике – это такая фигура, для которой можно определить расстояния от центра универсума до наиболее удаленной точки на этом луче.Неограниченная на луче фигура в трехлучевой арифметике – это фигура, для которой нельзя определить расстояние от центра универсума до точки, наиболее удаленной от него на этом луче. Фигура может быть ограниченной на одном луче и неограниченной на другом.Б) АссоциативностьТеорема (об ассоциативности умножения фигур)Произведение трех фигур ассоциативно.ДоказательствоПусть , и - это исходные фигуры. Требуется доказать, что

---

. Разобьем доказательство на три случая – когда точки объединения фигур лежат на одном, двух и трех луча универсума, а каждый из этих случаев – на подслучаи, когда это объединение является ограниченной и неограниченной фигурой на различных лучах.

1 случай: объединение лежит на одном луче.

1 подслучай: объединение ограничено на этом луче. Определим наиболее и наименее удаленные от центра универсума точки. Независимо от порядка умножения результатом будет являться отрезок, соединяющий эти точки.

2 подслучай: объединение неограниченно на этом луче. Определим наименее удаленную от центра универсума точку. Независимо от порядка умножения результатом будет являться луч с началом в наименее удаленной от центра универсума точке объединения, продолжение которого проходит через воображаемую бесконечно удаленную от центра универсума точку.

2 случай: объединение лежит на двух лучах.

1 подслучай: объединение ограниченно на обоих лучах. Определим наиболее удаленные от центра универсума точки объединения. Независимо от порядка умножения результатом будет отрезок, соединяющий эти точки.

2 подслучай: объединение ограниченно на одном луче и неограниченно на другом. Определим наиболее удаленную от центра универсума точку объединения на луче, на котором объединение ограниченно. Независимо от порядка умножения результатом будет объединение отрезка, соединяющего центр универсума и наиболее удаленную точку, и луча, на котором объединение фигур неограниченно.

3 подслучай: объединение неограниченно на обоих лучах. Независимо от порядка умножения результатом будет объединение лучей, на которых объединение фигур неограниченно.

3 случай: объединение фигур лежит на трех лучах.

1 подслучай: объединение ограниченно на всех трех лучах. Определим наиболее удаленные от центра универсума точки на каждом из лучей. Независимо от порядка умножения результатом будет объединение отрезков, соединяющих центр универсума с наиболее удаленными точками на каждом луче.

2 подслучай: объединение ограниченно на двух лучах и неограниченно на третьем. Определим наиболее удаленные от центра универсума точки на лучах, на которых объединение фигур ограниченно. Независимо от порядка умножения результатом будет объединение отрезка, соединяющего эти точки, и луча, на котором юбъединение исходных фигур неограниченно.

---

3 подслучай: объединение ограниченно на одном луче и неограниченно на двух других. Определим наиболее удаленную от центра универсума точку на луче, на котором объединение фигур ограниченно. Независимо от порядка умножения результатом будет объединение отрезка, соединяющего эту точку с центром универсума. и лучей, на которых объединение фигур неограниченно. 4 подслучай: объединение неограниченно на всех трех лучах. Независимо от порядка умножения результатом будет весь универсум. Теорема доказана Соответственно, доказано и свойство.В) Дистрибутивность относительно сложения . Это очевидно, т.к для того, чтобы умножить одну фигуру на другую, нужно перемножить все их точки, а в роли второй фигуры сейчас выступает объединение фигур.Более того, можно заметить, что действует следующее свойство:Г) ПсевдокоммутативностьРазобьем доказательство на три случая – когда точки объединения фигур лежат на одном, двух и трех луча универсума, а каждый из этих случаев – на подслучаи, когда это объединение является ограниченной и неограниченной фигурой на различных лучах. 1 случай: объединение лежит на одном луче. 1 подслучай: объединение ограничено на этом луче. Определим наиболее и наименее удаленные от центра универсума точки. Независимо от способа умножения результатом будет являться отрезок, соединяющий эти точки. 2 подслучай: объединение неограниченно на этом луче. Определим наименее удаленную от центра универсума точку. Независимо от способа умножения результатом будет являться луч с началом в наименее удаленной от центра универсума точке объединения, продолжение которого проходит через воображаемую бесконечно удаленную от центра универсума точку. 2 случай: объединение лежит на двух лучах.1 подслучай: объединение ограниченно на обоих лучах. Определим наиболее удаленные от центра универсума точки объединения. Независимо от способа умножения результатом будет отрезок, соединяющий эти точки.2 подслучай: объединение ограниченно на одном луче и неограниченно на другом. Определим наиболее удаленную от центра универсума точку объединения на луче, на котором объединение ограниченно. Независимо от способа умножения результатом будет объединение отрезка, соединяющего центр универсума и наиболее удаленную точку, и луча, на котором объединение фигур неограниченно.

---

Смотрите также файлы

• Контрольноизмерительный материал для проведения промежуточной аттестации обучающихся 10 класса по Информатике и икт за 2019 2020 учебный год Спецификация контрольных измерительных материалов Назначение ким.docx

• Задание Философия и ее роль в жизни и обществе i впишите пропущенные термины, слова и имена.docx

• Тема Зоопсихология как научная.docx

• В. Ю. Бабошкин 20 г.docx

• "АлтынЕмель" в наследие юнеско включён.docx