Для наших данных система уравнений имеет вид10a + 1130·b = 1312301130·a + 132100·b = 14445500Домножим уравнение (1) системы на (-113), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.-1130a -127690 b = -148289901130*a + 132100*b = 14445500Получаем:4410*b = -383490Откуда b = -86.9592Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):10a + 1130*b = 13123010a + 1130*(-86.9592) = 13123010a = 229493.878a = 22949.3878Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = -86.9592, a = 22949.3878Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):y = -86.9592 x + 22949.3878Эмпирические коэффициенты регрессии a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов β_i, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.1. Параметры уравнения регрессии.Выборочные средние.Выборочные дисперсии:= Среднеквадратическое отклонениеКоэффициент корреляции b можно находить по формуле, не решая систему непосредственно:1.1. Коэффициент корреляции.Ковариация.Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1.Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:0.1 < r_xy < 0.3: слабая;0.3 < r_xy < 0.5: умеренная;0.5 < r_xy < 0.7: заметная;0.7 < r_xy < 0.9: высокая;0.9 < r_xy < 1: весьма высокая;В нашем примере связь между признаком Y и фактором X слабая и обратная.Кроме того, коэффициент линейной парной корреляции может быть определен через коэффициент регрессии b:2.1. Значимость коэффициента корреляции.Выдвигаем гипотезы:H₀: r_xy = 0, нет линейной взаимосвязи между переменными;H₁: r_xy ≠ 0, есть линейная взаимосвязь между переменными;Для того чтобы при уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции нормальной двумерной случайной величины при конкурирующей гипотезе H₁ ≠ 0, надо вычислить наблюдаемое значение критерия (величина случайной ошибки)и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы k = n - 2 найти критическую точку t_крит

---

двусторонней критической области. Если t_набл < t_крит оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если |t_набл| > t_крит — нулевую гипотезу отвергают.
По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=8 находим t_крит:

t_крит(n-m-1;α/2) = t_крит(8;0.025) = 2.752

где m = 1 - количество объясняющих переменных.

Если |t_набл| > t_критич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).

Поскольку |t_набл| < t_крит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значим

В парной линейной регрессии t²_r = t²_b и тогда проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о существенности линейного уравнения регрессии.

2.2. Интервальная оценка для коэффициента корреляции (доверительный интервал).
Доверительный интервал для коэффициента корреляции.
r∈(-1;0.925)

1.2. Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии).

=

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = -86.959 x + 22949.388

Коэффициентам уравнения линейной регрессии можно придать экономический смысл.

Коэффициент регрессии b = -86.959 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением на 1 единицу y понижается в среднем на -86.959.

Коэффициент a = 22949.388 формально показывает прогнозируемый уровень у, но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными значениями.

Но если х=0 находится далеко от выборочных значений х, то буквальная интерпретация может привести к неверным результатам, и даже если линия регрессии довольно точно описывает значения наблюдаемой выборки, нет гарантий, что также будет при экстраполяции влево или вправо.

Подставив в уравнение регрессии соответствующие значения х, можно определить выровненные (предсказанные) значения результативного показателя y(x) для каждого наблюдения.

Связь между у и х определяет знак коэффициента регрессии b (если > 0 – прямая связь, иначе - обратная). В нашем примере связь обратная.

---

1.3. Коэффициент эластичности.Коэффициенты регрессии (в примере b) нежелательно использовать для непосредственной оценки влияния факторов на результативный признак в том случае, если существует различие единиц измерения результативного показателя у и факторного признака х.Для этих целей вычисляются коэффициенты эластичности и бета - коэффициенты.Средний коэффициент эластичности E показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат у от своей средней величины при изменении фактора x на 1% от своего среднего значения.Коэффициент эластичности находится по формуле:Коэффициент эластичности меньше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится менее чем на 1%. Другими словами - влияние Х на Y не существенно.1.5. Эмпирическое корреляционное отношение.Эмпирическое корреляционное отношение вычисляется для всех форм связи и служит для измерение тесноты зависимости. Изменяется в пределах [0;1].гдеИндекс корреляции.Для линейной регрессии индекс корреляции равен коэффициенту корреляции r_xy = -0.0468.Полученная величина свидетельствует о том, что фактор x не существенно влияет на yДля любой формы зависимости теснота связи определяется с помощью множественного коэффициента корреляции:Данный коэффициент является универсальным, так как отражает тесноту связи и точность модели, а также может использоваться при любой форме связи переменных. При построении однофакторной корреляционной модели коэффициент множественной корреляции равен коэффициенту парной корреляции r_xy.В отличие от линейного коэффициента корреляции он характеризует тесноту нелинейной связи и не характеризует ее направление. Изменяется в пределах [0;1].Теоретическое корреляционное отношение для линейной связи равно коэффициенту корреляции r_xy.1.6. Коэффициент детерминации.Квадрат (множественного) коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации, который показывает долю вариации результативного признака, объясненную вариацией факторного признака.Чаще всего, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах.R²= -0.0468² = 0.00219т.е. в 0.22% случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - низкая. Остальные 99.78% изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели (а также ошибками спецификации).

---

Для оценки качества параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 2)

x	y	y(x)	(yi-ycp)2	(y-y(x))2	(xi-xcp)2
120	150	12514.286	168298729	152875561.224	49
90	120	15123.061	169078009	225091846.106	529
150	180	9905.51	167521249	94585548.73	1369
110	130	13383.878	168818049	175665270.137	9
140	170	10775.102	167780209	112468189.296	729
100	120	14253.469	169078009	199754956.935	169
130	150	11644.694	168298729	132127987.339	289
80	100	15992.653	169598529	252576421.324	1089
110	130110	13383.878	13685958169	13624987661.974	9
100		14253.469	172213129	203161389.588	169
1130	131230	131230	15206642810	15173294832.653	4410

2. Оценка параметров уравнения регрессии.2.3. Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии.Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина:S² = 1896661854.082 - необъясненная дисперсия или дисперсия ошибки регрессии (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).S = 43550.68 - стандартная ошибка оценки.Стандартная ошибка регрессии рассматривается в качестве меры разброса данных наблюдений от смоделированных значений. Чем меньше значение стандартной ошибки регрессии, тем качество модели выше.

---

2.4. Доверительные интервалы для зависимой переменной.Экономическое прогнозирование на основе построенной модели предполагает, что сохраняются ранее существовавшие взаимосвязи переменных и на период упреждения. Для прогнозирования зависимой переменной результативного признака необходимо знать прогнозные значения всех входящих в модель факторов.Прогнозные значения факторов подставляют в модель и получают точечные прогнозные оценки изучаемого показателя.(a + bx_p ± ε)Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и X_p = 0.01t_крит(n-m-1;α/2) = t_крит(8;0.025) = 2.752y(0.01) = -86.959*0.01 + 22949.388 = 22948.518Вычислим ошибку прогноза для уравнения y = bx + a= или= 22948.518 ± 207414.134(-184465.62;230362.65)С вероятностью 95% можно гарантировать, что значение Y при x=0.01 будет находиться в интервале от -184465.62 до 230362.65.Вычислим ошибку прогноза для уравнения y = bx + a + ε= 22948.518 ± 239551.66(-216603.14;262500.18)2.5. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии.2) F-статистика. Критерий Фишера.Коэффициент детерминации R² используется для проверки существенности уравнения линейной регрессии в целом.Проверка значимости модели регрессии проводится с использованием F-критерия Фишера, расчетное значение которого находится как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии остаточной последовательности для данной модели.Если расчетное значение с k₁=(m) и k₂=(n-m-1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.= где m – число факторов в модели.Оценка статистической значимости парной линейной регрессии производится по следующему алгоритму:1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H₀: R²=0 на уровне значимости α.2. Далее определяют фактическое значение F-критерия:или по формуле:= гдегде m=1 для парной регрессии.3. Табличное значение определяется по таблицам распределения Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2.

---

Смотрите также файлы

• Контрольная работа 8 класс 1.doc

• Совокупность предметов, которые облекают тело человека Одежда Верхняя одежда.pdf

• Курсовая работа Студент группы 3 д Специальность 49. 02. 01.doc

• Билет 00000786277016.docx

• Трактор мтз80..docx