Файл: Лабораторная работа Описательная статистика Основная литература.doc

Лабораторная работа № 1. Описательная статистика

Основная литература.
Статистические методы в педагогике и психологии: учебно-методическое пособие для бакалавров, магистрантов, аспирантов, соискателей. Изд. 2-е доп. / А.А. Русаков, Ю.И. Богатырева. – Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та, 2012. - 137 с.
Описательная (дескриптивная) статистика – это раздел математической статистики, предназначенный для представления данных в наглядном виде и описания информации в терминах математической статистики и теории вероятностей.

Основной величиной в статистических измерениях является единица статистической совокупности (например, любой из критериев оценки уровня сформированности педагогической культуры). Единица статистической совокупности характеризуется набором признаков, переменных или параметров. Значения каждого параметра могут быть различными и в целом образовывать ряд случайных значений x₁, х₂, …, х_n.

Переменная (variable) — это параметр измерения, который можно контролировать или которым можно манипулировать в исследовании. Так как значения переменных не постоянны, нужно научиться описывать их изменчивость. Для этого разработаны описательные статистики: минимум, максимум, размах, среднее, дисперсия, стандартное отклонение, медиана, квартили, мода.

Относительное значение параметра — это отношение числа объектов, имеющих исследуемый параметр, к величине выборки. Выражается относительным числом или в процентах (например, процентное значение числа правонарушителей среди учащихся 10-11 классов, процент неуспевающих учеников класса).

Удельное значение параметра – это расчетная величина, показывающая количество объектов с данным параметров, которое содержалось бы в условной выборке, состоящей из 10, или 100, 1000 и т. д. объектов (например, количество правонарушений на 1000 человек).

Минимум (x_min) и максимум (x_max) – это минимальное и максимальное значения параметра соответственно.

Размах (разброс, R) — это разница между минимальным и максимальным значением параметра R= x_max- x_min.

Среднее значение (оценка среднего, выборочное среднее, Mx,

---

)– сумма значений параметра, деленная на количество элементов выборки (n). Формула для выборочного среднего имеет вид:

х = (1)

Пример 1: наблюдение посещаемости четырех внеклассных мероприятий в экспериментальном (20 учащихся) и контрольном (30 учащихся) классах дали значения (соответственно): 18, 20, 20, 18 и 15, 23, 10, 28. Среднее значение посещаемости в обоих классах получается одинаковое - 19. Однако видно, что в контрольном классе этот показатель подчинен воздействию каких-то специфических факторов.

Выборочное среднее является той точкой, сумма отклонений наблюдений от которой равна нулю. Формально это записывается следующим образом: (х - х₁) + (х - х₂) + ... + (х - х_n) =0. Преимущества среднего значения в том, что оно может аккумулировать или уравновешивать все индивидуальные отклонения параметра.

Для оценки степени разброса (отклонения) какого-то показателя от его среднего значения, наряду с максимальным и минимальным значениями, используются понятия дисперсии и стандартного отклонения.

Дисперсия выборки (выборочная дисперсия, D, ²) – это мера изменчивостипараметра выборки (мера рассеивания случайной величины). Термин впервые введен Фишером в 1918 году. Дисперсия – это среднее арифметическое квадратов отклонений значений параметра от его среднего значения. Выборочная дисперсия вычисляется по формуле:

² = (2)

где х — выборочное среднее,

n — число наблюдений (объем выборки).

Дисперсия численно меняется от нуля до бесконечности. Крайнее значение 0 означает отсутствие изменчивости (значения параметра постоянны).

Стандартное отклонение (среднее квадратическое отклонение, , s)вычисляется как корень квадратный из дисперсии. Чем выше дисперсия или стандартное отклонение, тем сильнее разбросаны значения переменной относительно среднего.

(3)

Коэффициент вариации () – отношение стандартного отклонения к выборочному среднему, выраженное в процентах:

---

(4)

Пример 2: Для предыдущего примера 1 получаем значения среднего, дисперсии, коэффициента вариации и стандартного отклонения:

Значения описательной статистики		2		
Экспериментальный класс	19	1	1	6%
Контрольный класс	19	48,5	6,96	37%

Это означает, что в одном классе (экспериментальном) посещаемость высокая, стабильная, а в другом (контрольный класс) - отличается непостоянством.

Медиана (Md, Me, m_е, ) – это значение параметра, которое делит упорядоченную выборку пополам (разбивает выборку на две равные части). Половина значений переменной лежит ниже медианы, половина — выше. Медиана дает общее представление о том, где сосредоточен центр выборки.

Рассмотрим способыопределения медианы при различных значениях n. Для нахождения медианы необходимо прежде всего упорядочить (ранжировать) выборку по возрастанию (или убыванию) значений, то есть все измерения записывают в ряд по возрастанию значений. Если число измерений n нечетное, то медиана численно равна значению выборки, стоящему точно в середине, или на месте:

Например, медиана ( ) выборки: 10, 17, 21, 24, 25 – численно равна 21 – значению параметра, стоящему на третьем месте ( = 3).

Если число измерений четное, то медиана численно равна среднему арифметическому значений ряда

---

, стоящих в середине, или на и ( ) местах:

Например, медиана ( ) восьми измерений: 5, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 9 – равна 7,5 ( )=7,5 – среднему арифметическому значений ряда, стоящих на четвертом и пятом местах ( = 4 и = 4+1 = 5).

Квартили ( ) представляют собой значения, которые делят две половины выборки (разбитые медианой) еще раз пополам (от слова кварта — четверть).

Различают верхнюю квартиль, которая больше медианы и делит пополам верх­нюю часть выборки (значения параметра больше медианы), и нижнюю квартиль, которая меньше медианы и делит пополам нижнюю часть выборки.

Нижнюю квартиль часто обозначают символом 25%, это означает, что 25% зна­чений параметра меньше нижней квартили. Верхнюю квартиль часто обозначают символом 75%, это означает, что 75% зна­чений параметра меньше верхней квартили.

Таким образом, три точки — нижняя квартиль, медиана и верхняя квартиль - делят выборку на 4 равные части. ¼ наблюдений лежит между минимальным значением и нижней квартилью, ¼ - между нижней квартилью и медианой, ¼ - между медианой и верхней квартилью, ¼ - между верхней квартилью и максимальным значением выборки.

Мода (Mo, ) - максимально часто встречающееся значение параметра выборки («модное» значение). Например, популярная передача на телевидении, модный цвет мобильного телефона или марка автомоби­ля.

Сложность в том, что редкая выборка имеет единственную моду. Правила нахождения моды:

1. 
   если выборка имеет несколько мод, то говорят, что она мультимодальна или многомодальна (имеет два или более «пика»). Выборка: 2, 6, 6, 8, 9, 9, 10 – Mo = 6, 9.
   
2. 
   Выборка может и не иметь моды, тогда говорят, что данное распределение не имеет моды. Выборка: 2, 6, 7, 8, 9, 12, 10 – нет Mo.
   
3. 
   Если в выборке одинаково часто встречаются значения параметра, стоящие друг за другом, то мода будет численно равна среднему арифметическому данных этих двух значений. Выборка: 2, 5, 5, 6, 6, 8, 10 – Mo = 5,5.
   

---

Асимметрия (A_s) – это свойство распределения выборки, которое характеризует несимметричность распределения показателя. На практике симметричные распределения встречаются редко и чтобы выявить и оценить степень асимметрии, вводят следующую меру:

(5)

Асимметрия бывает положительной и отрицательной.

Эксцесс (Е_х) – это мера плосковершинности или остроконечности графика распределения измеренного признака (мера крутости кривой распределения).

Эксцесс можно вычислить по формуле:

(6)

Практическая работа 1. Использование электронных таблиц MS Excel для вычисления показателей описательной статистики

Пакет MS Excel оснащен средствами статистической обработки данных. И хотя Excel существенно уступает специализированным статистическим пакетам обработки данных, тем не менее, этот раздел математики представлен в MS Excel наиболее полно. В него включены основные, наиболее часто используемые статистические проце­дуры: средства описательной статистики, проверка на нормальность, критерии различия, корреляционные и другие методы, позволяющие проводить необходимый статистический анализ эко­номических, психологических, педагогических и медико-биологических типов данных.

Вся помещаемая в электронную таблицу информация хранится в от­дельных клетках (ячейках) рабочей таблицы. Но ввести информацию можно только в текущую клетку (активную ячейку). Таблица состоит из листов. С помощью адреса в строке формул и табличного курсора Excel ука­зывает, какая из клеток рабочей таблицы является те­кущей. В основе системы адресации клеток рабочей таблицы лежит комбинация буквы (или букв) столбца и номера строки, например A2, B12.

Рассмотрим, как можно использовать электронные таблицы MS Excel для расчета показателей описательной статистики.

1.1. Использование специальных функций

В мастере функций MS Excel имеется ряд специальных функций для вычисления выборочных характеристик:

№ п/п	Название функции	Назначение функции
	СРЗНАЧ	вычисляет среднее арифметическое из нескольких массивов (аргументов) чисел. Аргументы число1, число2, ... — это от 1 до 30 параметров выборки, для которых вычисляется среднее
	МИН	возвращает минимальное значение выборки
	МАКС	возвращает максимальное значение выборки
	МЕДИАНА	позволяет получать медиану заданной выборки
	МОДА	вычисляет наиболее часто встречающееся значение в выборке
	ДИСП	позволяет рассчитать дисперсию по исходным параметрам выборки
	СТАНДОТКЛОН	вычисляет стандартное отклонение
	КВАРТИЛЬ	вычисляет квартили распределения. Функция имеет формат КВАРТИЛЬ (массив, часть), где массив – интервал ячеек, содержащих значения СВ; часть определяет какая квартиль должна быть найдена (0 – минимальное значение, 1 – нижняя квартиль, 2 – медиана, 3 – верхняя квартиль, 4 – максимальное значение распределения).
	ЭКСЦЕСС	вычисляет оценку эксцесса по выборочным данным
	СКОС	позволяет оценить асимметрию выборочного распределения

---