ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.12.2023
Просмотров: 92
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Двугранный уголЛ.С. Атанасян "Геометрия 10-11" ПланиметрияСтереометрияУглом на плоскости мы называем фигуру, образованную двумя лучами, исходящими из одной точки.Двугранный уголАВСАВСДвугранным углом называется фигура, образованная прямой a и двумя полуплоскостями с общей границей a, не принадлежащими одной плоскости. Две полуплоскости – грани двугранного угла Прямая a – ребро двугранного углаaO Угол РDEK Двугранный угол АВNМ, где ВN – ребро, точки А и М лежат в гранях двугранного углаАВNРMКDE Угол SFX – линейный угол двугранного углаSXF Угол РОК – линейный угол двугранного угла РDEК.DEРКO Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.Алгоритм построения линейного угла. Все линейные углы двугранного угла равны друг другу. АВOА1В1O1 Лучи ОА и О1А1 – сонаправлены Лучи ОВ и О1В1 – сонаправлены Углы АОВ и А1О1В1 равны, как углы с сонаправленными сторонами Двугранный угол может быть прямым, острым, тупым Построить линейный угол двугранного угла ВАСК. Треугольник АВС – равнобедренный.АСВNП-рН-яП-яTTП АС ВМ H-я АС NМ П-я Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВАСККM Построить линейный угол двугранного угла ВАСК. Треугольник АВС – прямоугольный.АВNП-рН-яП-яTTП АС ВС H-я АС NС П-я Угол ВСN – линейный угол двугранного угла ВАСККС Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 900.
Примером взаимно перпендикулярных плоскостей служат плоскости стены и пола комнаты, плоскости стены и потолка. Признак перпендикулярности двух плоскостей. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.АВСDСледствие. Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой их этих плоскостей.a Плоскости и взаимно перпендикулярны пересекаются по прямой с. Докажите, что любая прямая плоскости , перпендикулярная к прямой с, перпендикулярна к плоскости .№ 178.cAabПризнак перпендикулярности прямой и плоскостиcBCПодсказка Докажите, что плоскость и не лежащая в ней прямая, перпендикулярные к одной и той же плоскости, параллельны.№ 180.cbaabПризнак параллельности прямой и плоскостиПодсказка Плоскости и пересекаются по прямой а. Из точки М проведены перпендикуляры МА и МВ соответственно к плоскостям и . Прямая а пересекает плоскость АМВ в точке С. Докажите, что МС а. № 181.САВМa Плоскости и взаимно перпендикулярны пересекаются по прямой a. Из точки М проведены перпендикуляры МА и МВ к этим плоскостям. Прямая а пересекает плоскость АМВ в точке С. Докажите, что четырехугольник АСВМ – прямоугольник.№ 182.aСАВМ Плоскости и пересекаются по прямой a и перпендикулярны к плоскости . Докажите, что прямая а перпендикулярна к плоскости .№ 183.a Прямоугольный параллелепипед Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.Прямоугольный параллелепипед Две грани параллелепипеда параллельны. 10. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней – прямоугольники. 20. Все двугранные углы прямоугольного
параллелепипеда – прямые. Длины трех ребер, имеющих общую вершину, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда.ПланиметрияСтереометрияВ прямоугольнике квадрат диагонали равен сумме квадратов двух его измерений.АВСDdabd2 = a2 + b2Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.d2 = a2 + b2 + с2abсdd Cаbс B A D B1 C1 D1 A1Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.Следствие.Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.d2 = a2 + b2 + с2 Ребро куба равно а. Найдите диагональ куба.№ 188.DАВСА1D1С1В1d2 = a2 + b2 + с2d = 3a2 d2 = 3a2 d = a 3d = a 3ааа Найдите расстояние от вершины куба до плоскости любой грани, в которой не лежит эта вершина, если: а) диагональ грани куба равна m. б) диагональ куба равна d.№ 189.DАВСD1С1mНА Расстояние от точки до плоскости – длина перпендикуляраПодсказка В1А1 Дан куб. Найдите следующие двугранные углы: a) АВВ1С; б) АDD1B; в) А1ВВ1К, где K – середина ребра А1D1.№ 190.DАВСА1D1С1В1K Дан куб АВСDА1В1С1D1. Докажите, что плоскости АВС1 и А1В1D перпендикулярны.№ 191.DАВСА1D1С1В1 Найдите тангенс угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.№ 192.DАВСА1D1С1В1Подсказка Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
П-РН-яП-яНАМП-РН-яП-я№ 193.DАВСА1D1С1В1Подсказка Дан прямоугольный параллелепипед АВСDА1В1С1D1. Найдите расстояние между: а) прямой А1С1 и и плоскостью АВС; a IIa Расстояние от произвольной точки прямой до плоскости называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостьюndm№ 193.DАВСА1D1С1В1Подсказка Дан прямоугольный параллелепипед АВСDА1В1С1D1 Найдите расстояние между: б) плоскостями АВВ1 и DCC1; ndm II Расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости называется расстоянием между параллельными плоскостями.№ 193.DАВСА1D1С1 Дан прямоугольный параллелепипед АВСDА1В1С1D1. Найдите расстояние между: в) прямой DD1 и плоскостью АСС1.ndmПодсказка a IIa Расстояние от произвольной точки прямой до плоскости называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостьюВ1 Ребро куба равно а. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми, содержащими: а) диагональ куба и ребро куба;№ 194.DАВСD1С1аВ1А1a II Расстояние межу одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми.aba bПодсказка Ребро куба равно а. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми, содержащими: б) диагональ куба и диагональ грани куба.№ 194.DА
ВСD1С1аВ1А1a II Расстояние межу одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми.aba bПодсказка № 196.DВD1С1 Изобразите куб АВСDА1В1С1D1 и постройте его сечение плоскостью, проходящей через: а) ребро АА1 и перпендикулярной к плоскости ВВ1D1; АА1СВ1№ 196. Изобразите куб АВСDА1В1С1D1 и постройте его сечение плоскостью, проходящей через: б) ребро АВ и перпендикулярной к плоскости СDA1.DВD1С1АА1В1СDАВСА1D1С1В1 1. Найдите угол А1ВС1 2. Доказать, что MN II А1С1, где M и N – середины ребер куба.NM Найдите площадь сечения, проходящего через точки А, В и С1DВD1С1АА1В1С786 Построить линейный угол двугранного угла ВАСК. Треугольник АВС – тупоугольный.АВNП-рН-яП-яTTП АС ВS H-я АС NS П-я Угол ВSN – линейный угол двугранного угла ВАСККСS Построить линейный угол двугранного угла ВDСК. АВСD – прямоугольник.АВNП-рН-яП-яTTП DС BС H-я DС NС П-я Угол ВСN – линейный угол двугранного угла ВDСККСD Построить линейный угол двугранного угла ВDСК. АВСD – параллелограмм, угол С острый.АВП-рП-яTTП DС ВM H-я DС NM П-я Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВDСККСDNН-яM Построить линейный угол двугранного угла ВDСК.
Примером взаимно перпендикулярных плоскостей служат плоскости стены и пола комнаты, плоскости стены и потолка. Признак перпендикулярности двух плоскостей. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.АВСDСледствие. Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой их этих плоскостей.a Плоскости и взаимно перпендикулярны пересекаются по прямой с. Докажите, что любая прямая плоскости , перпендикулярная к прямой с, перпендикулярна к плоскости .№ 178.cAabПризнак перпендикулярности прямой и плоскостиcBCПодсказка Докажите, что плоскость и не лежащая в ней прямая, перпендикулярные к одной и той же плоскости, параллельны.№ 180.cbaabПризнак параллельности прямой и плоскостиПодсказка Плоскости и пересекаются по прямой а. Из точки М проведены перпендикуляры МА и МВ соответственно к плоскостям и . Прямая а пересекает плоскость АМВ в точке С. Докажите, что МС а. № 181.САВМa Плоскости и взаимно перпендикулярны пересекаются по прямой a. Из точки М проведены перпендикуляры МА и МВ к этим плоскостям. Прямая а пересекает плоскость АМВ в точке С. Докажите, что четырехугольник АСВМ – прямоугольник.№ 182.aСАВМ Плоскости и пересекаются по прямой a и перпендикулярны к плоскости . Докажите, что прямая а перпендикулярна к плоскости .№ 183.a Прямоугольный параллелепипед Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.Прямоугольный параллелепипед Две грани параллелепипеда параллельны. 10. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней – прямоугольники. 20. Все двугранные углы прямоугольного
параллелепипеда – прямые. Длины трех ребер, имеющих общую вершину, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда.ПланиметрияСтереометрияВ прямоугольнике квадрат диагонали равен сумме квадратов двух его измерений.АВСDdabd2 = a2 + b2Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.d2 = a2 + b2 + с2abсdd Cаbс B A D B1 C1 D1 A1Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.Следствие.Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.d2 = a2 + b2 + с2 Ребро куба равно а. Найдите диагональ куба.№ 188.DАВСА1D1С1В1d2 = a2 + b2 + с2d = 3a2 d2 = 3a2 d = a 3d = a 3ааа Найдите расстояние от вершины куба до плоскости любой грани, в которой не лежит эта вершина, если: а) диагональ грани куба равна m. б) диагональ куба равна d.№ 189.DАВСD1С1mНА Расстояние от точки до плоскости – длина перпендикуляраПодсказка В1А1 Дан куб. Найдите следующие двугранные углы: a) АВВ1С; б) АDD1B; в) А1ВВ1К, где K – середина ребра А1D1.№ 190.DАВСА1D1С1В1K Дан куб АВСDА1В1С1D1. Докажите, что плоскости АВС1 и А1В1D перпендикулярны.№ 191.DАВСА1D1С1В1 Найдите тангенс угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.№ 192.DАВСА1D1С1В1Подсказка Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
П-РН-яП-яНАМП-РН-яП-я№ 193.DАВСА1D1С1В1Подсказка Дан прямоугольный параллелепипед АВСDА1В1С1D1. Найдите расстояние между: а) прямой А1С1 и и плоскостью АВС; a IIa Расстояние от произвольной точки прямой до плоскости называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостьюndm№ 193.DАВСА1D1С1В1Подсказка Дан прямоугольный параллелепипед АВСDА1В1С1D1 Найдите расстояние между: б) плоскостями АВВ1 и DCC1; ndm II Расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости называется расстоянием между параллельными плоскостями.№ 193.DАВСА1D1С1 Дан прямоугольный параллелепипед АВСDА1В1С1D1. Найдите расстояние между: в) прямой DD1 и плоскостью АСС1.ndmПодсказка a IIa Расстояние от произвольной точки прямой до плоскости называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостьюВ1 Ребро куба равно а. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми, содержащими: а) диагональ куба и ребро куба;№ 194.DАВСD1С1аВ1А1a II Расстояние межу одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми.aba bПодсказка Ребро куба равно а. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми, содержащими: б) диагональ куба и диагональ грани куба.№ 194.DА
ВСD1С1аВ1А1a II Расстояние межу одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми.aba bПодсказка № 196.DВD1С1 Изобразите куб АВСDА1В1С1D1 и постройте его сечение плоскостью, проходящей через: а) ребро АА1 и перпендикулярной к плоскости ВВ1D1; АА1СВ1№ 196. Изобразите куб АВСDА1В1С1D1 и постройте его сечение плоскостью, проходящей через: б) ребро АВ и перпендикулярной к плоскости СDA1.DВD1С1АА1В1СDАВСА1D1С1В1 1. Найдите угол А1ВС1 2. Доказать, что MN II А1С1, где M и N – середины ребер куба.NM Найдите площадь сечения, проходящего через точки А, В и С1DВD1С1АА1В1С786 Построить линейный угол двугранного угла ВАСК. Треугольник АВС – тупоугольный.АВNП-рН-яП-яTTП АС ВS H-я АС NS П-я Угол ВSN – линейный угол двугранного угла ВАСККСS Построить линейный угол двугранного угла ВDСК. АВСD – прямоугольник.АВNП-рН-яП-яTTП DС BС H-я DС NС П-я Угол ВСN – линейный угол двугранного угла ВDСККСD Построить линейный угол двугранного угла ВDСК. АВСD – параллелограмм, угол С острый.АВП-рП-яTTП DС ВM H-я DС NM П-я Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВDСККСDNН-яM Построить линейный угол двугранного угла ВDСК.