Билеты для проведения муниципального публичного зачета по геометрии для обучающихся 8 класса
Билет 1.

1. 
   Определение многоугольника, вершины, стороны, диагонали и периметра многоугольника. Формула суммы углов выпуклого многоугольника.
   

Многоугольник – это геометрическая фигура, у которой смежные отрезки не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих точек.

Вершина многоугольника – это точка пересечения двух соседних сторон многоугольника.

Сторона многоугольника – это отрезок соединяющий две соседние вершины многоугольника.

Диагональ многоугольника – это отрезок, соединяющий две любые не соседние вершины многоугольника.

Периметр многоугольника – это сумма длин всех сторон многоугольника.

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Сумма углов выпуклого n-угольника равна (n-2) ∙ 180 ̊

Рис.1 – Многоугольник

2. Доказать теорему о средней линии треугольника.

Теорема

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине

	Дано: ΔABC, MN – средняя линия Доказать: MN || AC, MN =
Доказательство: Так как MN – средняя линия ΔABC ⟹ AM=MB, BN=NC ⟹ ΔABC ⁓ ΔMBN (по 2 признаку подобия треугольников): ⟹ MN = AC ∠BMN =∠BAC (соответственные) ⟹ MN || AC Что и требовалось доказать

Билет 2.

1. 
   Дайте определение и свойства параллелограмма.
   

---

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны.

Свойства параллелограмма

Противоположные стороны параллелограмма равны. Противоположные углы параллелограмма равны. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. Сумма углов в параллелограмме, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам.

2. 
   Докажите свойство медиан треугольника
   

Теорема

Медианы треугольника пересекаются и в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

	Дано: ΔABC, AA1, BB1, CC1 — медианы Доказать:
Доказательство: Что и требовалось доказать

Билет 3.

1. Дайте определение и назовите свойства прямоугольника.

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые

Свойства прямоугольника (все от параллелограмма)

Противоположные стороны и углы прямоугольника равны. Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам. Диагональ делит прямоугольник на два равных треугольника. Сумма углов в прямоугольнике, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам. Все углы прямые Особое свойство прямоугольника: Диагонали прямоугольника равны

2. Докажите теорему Пифагора.

Теорема

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

---

b


а



А


b


а

с

с
Дано:


b

с
∆АВС;


с
С=90 ;


В

С

b


а

а

с
АВ=с;

ВС=а;


b


а
АС=b;

Док-ть:



Доказательство:

1. 
   Достроим треугольник до квадрата со стороной
   
2. 
   Площадь S этого квадрата равна S=
   
3. 
   С другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна , и квадрата со стороной , поэтому
   

4. 
   Таким образом,
   

Что и требовалось доказать


Билет 4.

1. 
   Дайте определение и назовите свойства ромба.
   

Ромб – это параллелограмм, которого все стороны равны.

Свойства ромба (все от параллелограмма)

Противоположные стороны и углы ромба равны. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам. Диагональ делит ромба на два равных треугольника. Сумма углов в ромбе, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам. Особые свойства ромба: 1. Диагонали ромба перпендикулярны. 2. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. 3. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4. (AC2 + BD2 = 4*AB2)

---

2. Докажите теорему о вписанном угле (любой частный случай).

Теорема

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

1 случай

Сторона вписанного угла проходит через центр окружности.	Дано: окружность (О, R), ∠АВС - вписанный, АС - внутри АВС. Доказать: АВС = АС.
Доказательство: Соединим точку A с центром круга (точкой O) => ∆АOB – р/б ∆ (AO = OB = r), как радиусы одной окружности => ∠OAB = ∠OBA (углы при основании р/б ∆) ∠AOC — внешний угол р/б ∆, то: ∠AOC = ∠OAB + ∠OBA Т.к ∠OAB = ∠OBA, то ∠B = ∠AOC ∠AOC — центральный угол, значит ∠AOC = AC => ∠B измеряется половиной дуги AC: ∠ABC = ∠ OBA = АС Что и требовалось доказать

2 и 3 случай на сайте: https://izamorfix.ru/matematika/planimetriya/vpisan_ugol.html

(ДОСТАТОЧНО ВЫУЧИТЬ ТОЛЬКО ПЕРВЫЙ!)

Билет 5.

1. 
   Дайте определение трапеции. Назовите виды трапеций.
   

Трапеция – четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – нет.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями.

Другие две – боковые стороны.

---

2. Докажите свойство отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки.

Теорема(Свойство касательных, проведенных из одной точки)

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
AB=AC ∠BAO=∠CAO

	Дано: окружность (O;R), AB и AC – касательные к окружности (O;R), B, C – точки касания. Доказать: AB=AC, ∠BAO=∠CAO.
Доказательство: 1. (как радиусы, проведенные в точку касания) => ∆ABO и∆ACO — прямоугольные. 2. Рассмотрим ∆ABO и ∆ACO: 1) катеты OB=OC=r (как радиусы) 2) гипотенуза OA — общая сторона. => ∆ ABO=∆ ACO (по катету и гипотенузе). 3. Из равенства ∆ следует равенство соответствующих сторон: AB=AC и соответствующих углов ∠BAO=∠CAO. Что и требовалось доказать

Билет 6.

1. 
   Дайте определение подобных треугольников. Назовите признаки подобия треугольников.
   

Два треугольника называют подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.

Сходственные стороны треугольника – это стороны, лежащие напротив соответственно равных углов.

Первый признак подобия треугольников: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такое треугольники подобны.

Второй признак подобия: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

---

Смотрите также файлы

• Э. Мэйо родился в Аделаиде, столице Южной Австралии. Первоначально получал образование в области медицины в Австралии и Шотландии, но, не закончив обучение, стал заниматься поиском альтернативной специальности.docx

• Особенности государственной политики в области борьбы с бедностью.pdf

• Текст для самоконтроля.docx

• Надувной радиолокационный отражатель.docx

• С колей Гумилевым своим будущим мужем первым мужем Аня позн комилась в 1904 году в сочельник. Ходили покупать игрушки для елки. Был чудес()ный солнечный день.docx