Файл: Обработка результатов измерений.pdf

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Филиал ФГБОУ ВО УГНТУ в г. Стерлитамаке
Кафедра автоматизированных технологических и информационных систем
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
Учебно-методическое пособие
УФА 2016

2
Учебно-методическое пособие «Обработка результатов измерений» по дисциплине «Метрология, стандартизация и сертификация» предназначено для студентов всех форм обучения направлений подготовки: 27.03.04 «Управление в технических системах», 15.03.04 «Автоматизация технологических процессов и производств», а также для студентов, обучающихся по специальности
21.05.06 Нефтегазовые техника и технологии, специализация «Системы автома- тизации и управления в нефтегазовой промышленности».
Учебно-методическое пособие посвящено выполнению расчётов по об- работке результатов многократных прямых и косвенных видов измерений фи- зических величин, методике расчёта характеристик погрешностей и определе- ния класса точности средств измерений, а также методика построения функци- ональных схем систем автоматизации технологических процессов. Для облег- чения выполнения курсовой работы в приложении приведены все необходимые табличные данные, а также основная рекомендуемая литература. Пособие предназначено для студентов очной и заочной форм обучения по дисциплине
«Метрология, стандартизация и сертификация», может быть рекомендовано при выполнении экспериментальной и расчётной части курсовой работы и вы- пускных квалификационных работ, связанных с расчётом погрешностей средств измерений.
Составитель:
Чариков П.Н., канд. техн. наук, доц. каф. АТИС
Рецензенты:
Кадыров Р.Р., канд. техн. наук, доц. каф. АТИС
Быковский Н.А., канд. техн. наук, доц. каф. АТИС
© Уфимский государственный нефтяной технический университет, 2016

3
СОДЕРЖАНИЕ
С
Введение ..................................................................................................................... 4 1 Методика обработки результатов прямых видов измерений ............................ 5 1.1 Обработка результатов прямых равноточных измерений .............................. 5 1.2 Варианты заданий к разделу 1.1 ........................................................................ 9 1.3 Свойства математического ожидания и дисперсии ....................................... 11 1.4 Обработка результатов прямых неравноточных измерений ........................ 13 2 Методика обработки результатов косвенных видов измерений ..................... 15 2.1 Общий случай .................................................................................................... 15 2.2 Частный случай ................................................................................................. 17 2.3 Критерий ничтожных частных погрешностей ............................................... 18 2.4 Погрешности результата косвенного вида измерений для наиболее распространенных уравнений связи .............................................. 19 2.5 Варианты заданий к разделу 2 ......................................................................... 20 3 Методика расчета статистических характеристик погрешности СИ в эксплуатации. Определение класса точности ................................................... 21 4 Методика построения функциональных схем систем автоматизации технологических процессов ......................................................... 25 4.1 Виды и типы схем автоматизации ................................................................... 25 4.2 Функциональные схемы автоматизации (ФСА) ............................................ 26 4.3 Графические условные обозначения приборов и средств автоматизации .. 30 4.4 Буквенные условные обозначения приборов и средств автоматизации ..... 31 4.5 Примеры условных обозначений приборов и средств автоматизации ....... 34 4.6 Варианты заданий к разделу 4 ......................................................................... 38
Список использованных источников ................................................................... 39
Приложение ............................................................................................................. 40

4
Введение
Методическое пособие посвящено выполнению расчётов по обработке результатов многократных прямых и косвенных видов измерений физических величин, методике расчёта характеристик погрешностей и определения класса точности средств измерений, а также методика построения функциональных схем систем автоматизации технологических процессов. Для облегчения вы- полнения курсового проекта в приложении приведены все необходимые таб- личные данные, а также основная рекомендуемая литература. Пособие предна- значено для студентов очной и заочной форм обучения по дисциплине «Метро- логия, стандартизация и сертификация», может быть рекомендовано при вы- полнении экспериментальной и расчётной части РГР и дипломных проектов, связанных с расчётом погрешностей средств измерений.

5
1 Методика обработки результатов прямых видов измерений
К прямым видам относятся измерения, результаты которых получаются из опытных данных одного измерения. Прямые виды измерений бывают равно- точные и неравноточные.
1.1 Обработка результатов прямых равноточных видов измерений
Результаты равноточных измерений получаются при многократных измере- ниях одного и того же истинного значения
Xˆ
измеряемой физической величи- ны (ФВ), одним и тем же средством измерения, одним наблюдателем, при неиз- менных условиях измерения. Результат измерения при этом равен
si
i
i
x
x

+

+
=
0
ˆ
, (1.1) где
xˆ
- истинное значение;
i
0

и
si

- соответственно случайная и систематическая составляющие i - го результата.
Обычно величина
si

известная и в результат измерения вносится поправ- ка
si
i
C

−
=
, (1.2) т.е. получается исправленный результат
0 0
ˆ

+
= x
x
. (1.3)
Задача обработки результатов найти оценку (приближенная характеристика) истинного значения
xˆ
x
=
)
(
0
i
x
f
. (1.4)
Для оценки результата измерений, являющегося случайной величиной находят его характеристики: оценку математического ожидания
)
(

x
M
- среднее значение, вокруг которого группируются все результаты и оценку среднего квадратического отклонения (с. к. о.)
)
(
x

, которая является мерой рассеяния результатов относительно центра группирования.
А Точечная оценка
При обработке результатов измерений необходимо воспользоваться свой- ствами математического ожидания и дисперсии.
Оценка называется точечной, если ее значения можно представить на чис- ловой оси геометрически в виде точки.
1 Исправленный ряд результатов ранжируется
n
x
x
x



2 1
2 Находится среднее арифметическое
x
(оценка математического ожида- ния
)
(

x
M
)

6 1
)
(

1

=
=
=
n
i
i
x
n
x
x
M
(1.5)
3 Проверяется правильность вычислений
x

=
=
−
n
i
i
x
x
1
;
0
(
(1.6)

=
−
n
i
i
x
x
1 2
)
(
4 Определяется оценка среднего квадратического отклонения (с. к. о.) а) Оценка с. к. о. отдельного результата наблюдения (формула Бесселя)
)
(
1 1
)
(

1 2

=
−
−
=
=
n
i
i
x
x
n
S
x

(1.7)
Полученные точечные оценки по формулам (1.5) и (1.7) являются случай- ными, т.к. при повторных измерениях получим другую группу результатов, а для нее другие значения
x
и
)
(
x

. Поэтому для оценки полученного результа- та измерения величины
x
необходимо оценить с. к. о. среднего арифметиче- ского
x
б) Оценка с. к. о. среднего арифметического
x
)
(
)
1
(
1
)
(

1 2

=
−
−
=
=
=
n
i
i
x
x
x
n
n
n
S
S
x

(1.8)
В полученной группе результатов измерений один или два наблюдения
(обычно это крайние результаты в ряде) могут резко отличаться от остальных.
Поэтому их следует проверить на наличие в них грубых погрешностей с целью их исключения из ряда измерений, т.к. они могут сильно искажать
x
,
)
(
x

, за- кон распределения и доверительный интервал.
Б Критерии грубых погрешностей
Задача решается статистическими методами, основанными на том, что рас- пределение, к которому относится рассматриваемая группа наблюдений, можно считать нормальным. Существуют разные критерии. Рассмотрим один из них.
5 Критерий Грабса или  - критерий.
Определяются расчетные значения
)
(

max
x
x
x
t
i
i

−
=
(1.9) и сравниваются с табличными (
Таблица П3.shs
) t
Г
= f (q; k
), (1.10) где q = (1 – p
Д
) - уровень значимости, % p
Д
- принятая доверительная вероятность, % k = (n - 1) - число степеней свободы, n - число результатов измерений.

7
Обычно уровень значимости берется равным 5% или 10%.
Если выполняется критерий t
i
 t
Г
, (1.11) то в результате X
i грубых погрешностей нет и расчет продолжается.
Если критерий (1.11) не выполняется, то результат
i
x
- как промах отбрасы- вается и расчеты по п.1 – п.4 повторяют при новом числе наблюдений n
/
= n - 1.
6 Записываются результаты точечной оценки
x
=,
=
)
(
x

,
=
)
(
x

Следует отметить, что величины
)
(x

используются при оценке погреш- ности окончательного результата измерения, а
)
(
x

- при оценке погрешности метода измерения.
Точечные оценки результатов измерений указывают интервал значений из- меряемой величины, внутри которого находится истинное значение
)
(

ˆ
x
x
x


=
. (1.12)
Но т.к.
x
и
)
(
x

- величины случайные, то необходимо рассмотреть во- прос о точности и надежности этой оценки, т.е. проводится их интервальная ве- роятностная оценка.
В Интервальная оценка
При интервальной оценке определяется доверительный интервал, который накрывает истинное значение измеряемой величины (истинное значение оказы- вается внутри этого интервала) с заданной доверительной вероятностью p
Д
Д
p
x
x
x
P
=
+


−
)
ˆ
(


, (1.13) где
J (p
Д
) = 2
- доверительный интервал;
(


x
)- доверительные границы.
7 Оценка доверительного интервала математического ожидания
)
(

x
M
: а) при нормальном законе распределения погрешностей
)
(x
t




=
, (1.14) где t = f (p
Д
) - коэффициент стандартного нормального закона распределения находится по таблице функций Лапласа (
Таблица П1.shs
)

−
=
t
t
dt
e
t
Ф
0 2
2 2
1
)
(

, (1.15)
Ф(t) = 0,5p
Д
б) при распределении Стьюдента
)
(x
t
p




=
, (1.16)

8 где t p
= f(q; k) - коэффициент Стьюдента находится по таблице распределения
Стьюдента (
Таблица П4.shs
).
При оценке доверительного интервала случайной погрешности
0

по фор- мулам(1.14) и (1.16) необходимо знать закон распределения случайных резуль- татов. Приближенно это можно сделать по формуле Петерса

=
−
−
=
n
i
i
П
x
x
n
1
,
5
,
0 253
,
1

(1.17) если
П
x


=
)
(
, (1.18) то опытное распределение считается нормальным. В противном случае пользу- ются распределением Стьюдента.
В практике измерений доверительную вероятность при оценке доверитель- ного интервала
)
(

x
M
принимают равной p
Д
= 0.95.
8 Оценка доверительного интервала с. к. о.
)
(
x

),
(

)
(

)
(

x
x
x
В
Н





(1.19) где
);
(

1
)
(

);
(

1
)
(

x
n
x
x
n
x
В
Н
Н
В






−
=
−
=
(1.20)

2
В
= f (k; q
В
); 
2
Н
= f (k; q
Н
); q
В
= 1– p
В
; q
Н
= 1– p
Н
; p
В
= (1 + p
Д
)/2; p
Н
= (1 – p
Д
)/2; k = (n –1) – число степеней свободы ряда результатов измерений.
Значения

2
находят по таблице распределения Пирсона
)
,
(
2
k
q
f
=

, а доверительная вероятность берётся равной 0.9 (
Таблица П2.shs
).
9 Записываются результаты измерения


= x
xˆ
, при p
Д
= 0,95,
),
(

)
(

)
(

x
x
x
В
Н





при p
Д
= 0,9.
При расчёте погрешностей необходимо пользоваться следующими прави- лами округления:
1)погрешность результата измерения указывается двумя значащими цифра- ми, если первая из них равна 1 или 2; и одной - если первая цифра равна 3 и бо- лее;
2)результат измерения округляется до того же десятичного разряда, кото- рым оканчивается округленное значение абсолютной погрешности;
3)округление производится лишь в окончательном ответе, а все предвари- тельные вычисления проводят с одним - двумя лишними знаками.

9
1.2 Варианты заданий к разделу 1.1
(результаты измерений исправлены)
1 Результаты измерения тока амперметром (А):
0.111; 0.085; 0.091; 0.101; 0.109; 0.086; 0.102; 0.111; 0.098; 0.085; 0.105; 0.112;
0.098; 0.113; 0.087; 0.109; 0.115; 0.099;0.099; 0.094;0.105 2 Результаты измерения напряжения вольтметром (В):
1.07; 0.99; 1.25; 0.89; 1.04; 1.13; 0.96; 1.03; 1.45; 1.04;1.05; 0.88; 1.03; 0.97; 1.15;
1.09; 0.89; 1.08; 1.07; 0.97 3 Результаты измерения длины детали (мм):
10.6; 9.6; 10.9; 11.6; 10.9; 11.7; 10.8; 10.9; 11.7; 10.3;12.7; 11.9; 11.8; 12.5; 10.5;
11.6; 10.1; 11.3; 10.7; 10.5 4 Результаты измерения диаметра детали (мм):
12.205; 12.208; 12.212; 12.209; 12.204; 12.206; 12.209; 12.210;12.203; 12.208;
12.206; 12.213; 12.205; 12.207; 12.208; 12.209;12.208; 12.207; 12.209 5 Результаты измерения среднего диаметра резьбового калибра (мм):
8.911; 8.913; 8.915; 8.917; 8.919; 8.921; 8.923; 8.927; 8.925;8.923; 8.921; 8.919;
8.917; 8.915; 8.913; 8.925 6 В результате измерений получена следующая совокупность:
20.15; 20.20; 20.23; 20.26; 20.17; 20.21; 20.25; 20.27; 20.19;20.21; 20.25; 20.28;
20.19; 20.23; 20.25; 20.30; 20.20; 20.23;20.26 7 Измерение температуры объекта дало результаты (
0
C):
119; 107; 111; 112; 129; 113; 106; 104; 106; 98.0; 123; 108; 93.0; 105; 106; 139;
108; 107; 93.0; 117 8 Рассчитать характеристики погрешности следующего ряда:
20.42; 20.43; 20.40; 20.43; 20.42; 20.43; 20.39; 20.30;20.40;20.43; 20.42; 20.41;
20.39; 20.39; 20.40 9 Результаты измерения объемного расхода жидкости (м
3
/с):
10.7; 11.8; 9.9; 10.8; 11.9; 10.8; 10.1; 10.9; 12.8; 12.7; 12.1;11.8; 12.2; 11.6; 12.4;
12.5; 11.4; 12.6; 13.1; 14.3; 11.9; 11.3;12.5 10 Результаты измерения длины металлического стержня (мм):
358.52; 358.51; 358.49; 358.48; 358.46; 358.45; 358.42; 358.59; 358.55; 358.53 11 Результаты измерения длины детали (см):
18.305; 18.306; 18.309; 18.308; 18.306; 18.309; 18.313; 18.308; 18.312; 18.310;
18.305; 18.307; 18.309; 18.303; 18.307; 18.309; 18.304; 18.308; 18.308; 18.310

10 12 Результаты измерения индуктивности (Гн):
10.13; 10.12; 10.08; 10.07; 10.40; 10.20; 10.17; 10.16; 10.15 13 Результаты измерения напряжения милливольтметром (мВ):
31.56; 31.82; 31.73; 31.68; 31.49; 31.73; 31.74; 31.72 14 Результаты измерения ёмкости конденсатора (мкФ):
2.151; 2.132; 2.113; 2.165; 2.144; 2.157; 2.150; 2.148; 2.135; 2.145; 2.139 15 Результаты измерения уровня жидкости (м):
7.15; 7.19; 7.27; 7.18; 7.13; 7.14; 7.21; 7.11; 7.17; 7.20; 7.16 16 Измерение объёма жидкости дало результаты (м
3
):
3.05; 3.121; 3.172; 3.009; 3.117; 3.120; 3.140; 3.150; 3.161; 3.092; 3.112 17 Обработать следующий ряд результатов измерений:
1.112; 1.007; 1.117; 1.210; 1.021; 1.110; 1.112; 1.092; 1.104; 1.075; 1.107 18 Результаты измерения расстояния между двумя пунктами (км):
9.150; 9.290; 9.370; 9.272; 9.197; 9.159; 9.162; 9.251; 9.302; 9.501; 9.117 19 Результаты измерения проводимости материала (сименс):
4.720; 4.851; 4.757; 4.804; 4.791; 4.651; 4.712; 4.751; 4.792; 4.698; 4.582 20 Результаты измерения сопротивления резистора (кОм):
8.821; 8.795; 7.695; 8.751; 8.821; 8.797; 8.781; 8.807; 8.789; 8.731; 8.605 21 Результаты измерения уровня жидкости в резервуаре (м):
6.125; 6.178; 6.131; 6.271; 6.251; 6.171; 6.373; 6.291; 6.222; 6.198; 6.201 22 При измерении массы вещества получены следующие результаты (кг):
4.480; 4.521; 4.617; 4.555; 4.498; 4.432; 4.510; 4.518; 4.612; 4.595; 4.606; 4.189;
4.805 23 При поверке рабочего манометра получены следующие результаты из- мерения давления (МПа):
36.28; 36.59; 36.30; 36.12; 38.21; 35.96; 35.85; 35.98; 36.01; 35.97; 36.05; 36.13;
36.02; 35.87; 33.89; 36.04 24 Многократные измерения сопротивления терморезистора (Ом):
459.6; 460.2; 463.1; 460.8; 457.0; 458.5; 459.8; 445.7; 461.2; 460.7; 458.8; 458.4;
449.6; 458.9 25 Результаты измерения влажности воздуха (%):

11 78.64; 78.04; 79.12; 80.56; 78.97; 79.02; 78.54; 78.91; 79.48; 78.00; 78.09; 72.18;
79.02; 78.13; 79.04 26 Результаты измерения массы алмаза (караты):
1.956; 1.978; 1.975; 1.967; 1.985; 1.977; 1.972; 1.969; 1.978; 1.982; 1.985; 1.991;
1.976 27 При калибровке резервуара получены следующие данные (м
3
):
65.45; 65.54; 62.48; 65.47; 65.52; 65.53; 65.49; 65.52; 65.61; 65.58; 65.49; 65.50;
65.47; 63.08; 65.55; 65.59 28 Результаты измерения диаметра резервуара (м):
5.0678; 5.0669; 5.0638; 5.0645; 5.0642; 5.0655; 5.0645; 5.0652; 5.0657; 5.0644;
5.0648; 5.0651; 5.0653; 5.0612; 5.0661; 5.0601
Примечания: 1) обработку результатов измерений необходимо провести с учётом свойств математического ожидания M(x) и дисперсии D(x) /1/;
2) номер варианта задания соответствует порядковому номеру фамилии студента в списке группы по зачётной ведомости.

  1   2   3   4   5

---

1.3 Свойства математического ожидания и дисперсии
Математическое ожидание
)
(

M
случайной величины

– это среднее зна- чение, вокруг которого группируются все результаты измерения.
Дисперсией
)
(

D
случайной величины

называется математическое ожи- дание квадрата отклонения этой величины от её математического ожидания
)
(

M


).
(
)
(
)
(
)
(
2 2
2





M
M
M
M
D
−
=
−
=
В связи с тем, что единица дисперсии (единица ФВ возведённая в квадрат) неудобна для применения, на практике при точечной оценке случайной вели- чины используется среднее квадратическое отклонение (с. к. о.)
).
)
(
)
(



D
=
1 Если все значения случайной величины

, не меняя их вероятности уменьшить (увеличить) на некоторое число
a
, то: а) математическое ожидание
)
(

M
уменьшится (увеличится) на это же число


;
)
,....
,
(
)
),....(
(
),
(
2 1
2 1
a
X
X
X
M
a
X
a
X
a
X
M
n
n

=



б) дисперсия
)
(

D
не изменится


).
,....
,
(
)
),....(
(
),
(
2 1
2 1
n
n
X
X
X
D
a
X
a
X
a
X
D
=



2 Если все значения случайной величины

, не меняя их вероятности, умножить на некоторый множитель
b
( 1 или  1), то: а) математическое ожидание
)
(

M
умножится на этот же множитель

12
);
,....
,
(
)
,....
,
(
2 1
2 1
n
n
X
X
X
bM
bX
bX
bX
M
=
б) дисперсия D (

) умножится на квадрат этого множителя
).
,....
,
(
)
,....
,
(
2 1
2 2
1
n
n
X
X
X
D
b
bX
bX
bX
D
=
3 а) математическое ожидание
)
(

M
суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых
);
(
)
(
)
(
)
(
2 1
2 1
n
n
X
M
X
M
X
M
X
X
X
M
+
+
+
=
+
+
+
б) дисперсия
)
(

D
суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых
).
(
)
(
)
(
)
(
2 1
2 1
n
n
X
D
X
D
X
D
X
X
X
D
+
+
+
=
+
+
+
4 а) математическое ожидание
)
(

M
произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей
);
(
)
(
)
(
)
(
2 1
2 1
n
n
X
M
X
M
X
M
X
X
X
M



=



б) дисперсия постоянной величины a равна 0 0
)
(
=
a
D
Пример:
При измерении случайной величины

с математическим ожиданием
)
(

M
и дисперсией
)
(

D
получен следующий исправленный ряд результатов
n
X
X
X
,....
,
2 1
Каждый результат уменьшается на одно и то же постоянное число
a
и умножается на один и тот же постоянный множитель
b
. Получается случайная величина


b
a 
−
=

)
(


для другого ряда результатов
,....
,
2 1
n
X
X
X



По формулам раздела 1.1 находится математическое ожидание
)
(


M
и дис- персия
)
(


D
второго ряда.
Исходя из первого и второго свойств математического ожидания и диспер- сии, определяются
)
(

M
и
)
(

D
для исходного ряда результатов измерений: а)




a
M
b
b
a
M
M
−

=

−
=

)
(
)
(
)
(



;
;
)
(
1
)
(
a
M
b
M
+

=


б)


);
(
)
(
)
(
)
(
2 2




D
b
a
D
b
b
a
D
D

=
−

=

−
=

).
(
1
)
(
2


D
b
D
=
Величины
a
и
b выбираются исходя из максимального уменьшения разря- дов чисел первого ряда для получения второго ряда с целью упрощения вычис- лений.

13
1.4 Обработка результатов прямых неравноточных измерений
Результаты прямых неравноточных измерений получаются при повторных многократных измерениях одного и того же истинного значения измеряемой
ФВ, разными наблюдателями, разными СИ, в разное время. При этом получает- ся несколько серий таких результатов.
n
m
n
i
m
j
x
x
x
x
x
x
x
x
x
в
результато
серий
m
j
серии
в
измерений
в
результато
n
mn
m
m
n
n
n

−
=

=







−
−
;
1
;
1 2
1 2
22 21 1
12 11 2
1









Проводится точечная оценка результатов серий:

=
=
j
n
i
ji
j
j
x
n
x
1 1

=
−
−
=
j
n
i
j
ji
j
j
j
x
x
n
n
x
1 2
)
(
)
1
(
1
)
(


Записываются результаты их точечной оценки:



)
(

),...,
(

),
(

,...,
,
2 1
2 1
m
m
x
x
x
x
x
x



После точечной оценки неравноточные измерения приводят к результатам
;
,....
,
,
3 2
1
m
X
X
X
X
).
(

),....
(

),
(

),
(

3 2
1
m
x
x
x
x




Для оценки наиболее вероятного значения ФВ по результатам неравноточ- ных измерений вводится понятие “вес” для каждой серии результатов измере- ний в общей их совокупности, т. е. проводится оценка степени их доверия для получения значения измеряемой ФВ, наиболее близкого к истинному.
Таким образом, понятие “вес” отражает степень доверия к результату изме- рения. Чем больше степень доверия, тем больше число, выражающее этот
“вес”.
Среднее взвешенное значение
0
X
измеряемой ФВ, наиболее близкое к ис- тинному её значению
Xˆ
, определяется по формуле
,
1 1
3 2
1 3
3 2
2 1
1 0


=
=
=
+
+
+
+
+
+
+
+
=
m
j
j
m
j
j
j
m
m
m
g
X
g
g
g
g
g
g
X
g
X
g
X
g
X
X
(1.23)

14 где
m
X
X
X
X
,....
,
,
3 2
1
- средние значения для отдельных серий результатов, полученных тем или иным способом;
m
g
g
g
g
,....
,
,
3 2
1
- “веса” соответствующих серий результатов.
“Веса” серий результатов можно определить следующими способами: а) при известных
j
n
и
)
(

j
x

каждой серии результатов по формуле
;
)
(

2
j
j
j
x
n
g

=
(1.24) б) при неизвестных
j
n
;
)
(

1
:
:
)
(

1
:
)
(

1
:
)
(

1
:
:
:
:
2 3
2 2
2 1
2 3
2 1
m
m
x
x
x
x
g
g
g
g




=
(1.25) в) при
const
x
j
=
)
(


(одинаковые в каждой серии результатов)
m
m
n
n
n
n
g
g
g
g
:
:
:
:
:
:
:
:
3 2
1 3
2 1
=
. (1.26)
Среднее квадратическое отклонение
)
(

0
x

среднего взвешенного
0
X
вы- числяется по формуле
)
(

1 1
)
(

1 2
0 2

=
=
m
j
j
x
x


(1.27)
Окончательный результат записывается в виде
0 0
ˆ
X
X
X


=
, при
p
Д
=, где
0
X

- абсолютная погрешность (доверительный интервал) среднего взве- шенного
0
X
Доверительный интервал
0
X

определяется таким же образом, как и при равноточных измерениях (см. раздел 1.1):
)
(

0 0
x
t
X


=

- при нормальном законе распределения, где t находится по таблице функций Лапласа
Д
5
,
0
)
(
p
t
Ф
=
;
)
(

0 0
x
t
X
p


=

- при распределении Стьюдента, где
)
;
(
Д
p
k
f
t
P
=
находится по таблице Стьюдента

=
−
=
m
j
j
n
m
k
1 2
1 1

15
2 Методика обработки косвенных видов измерений
При косвенных видах измерений значение искомой величины
Y
получают на основании прямых видов измерений величин
j
X
, связанных с измеряемой известной функциональной зависимостью
)
,....,
,
,
(
3 2
1
m
X
X
X
X
f
Y =
, (2.1) где
j
X
- подлежащие прямым измерениям аргументы функции искомой вели- чины
Y
.
2.1 Общий случай
В уравнениях связи аргументы
j
X
представлены в виде результатов много- кратных прямых видов измерений
;
,....,
,
,
1 1
13 12 11
n
X
X
X
X
;
,....,
,
,
2 2
23 22 21
n
X
X
X
X
………………….;
;
,....,
,
,
3 2
1
k
kn
k
k
k
X
X
X
X
(2.2)
;
ln
3 2
1
,....,
,
,
l
X
X
X
X
l
l
l
………………….;
,
,....
,
,
3 2
1
m
mn
m
m
m
X
X
X
X
где
)
(
1
m
n
n 
- число результатов прямых видов измерений аргументов
j
X
;
)
1
(
m
j

=
- число аргументов в уравнении связи (2.1).
Исходя из уравнений связи (2.1) необходимо найти искомый результат
Y
1 На основании формул (1.5) и (1.8) раздела 1.1 проводится точечная оценка каждого аргумента, т. е. находятся значения
j
X
и
)
(

j
x

. Точечная оценка приводит к результатам
;
,....,
,
,
3 2
1
m
X
X
X
X
).
(

),....,
(

),
(

),
(

3 2
1
m
x
x
x
x




(2.3)
2 Исходя из уравнения связи (2.1) оценивается искомый результат
)
,....,
,
,
(
3 2
1
m
X
X
X
X
f
Y =
. (2.4)
3 Оценка дисперсии искомого результата


=





+

=
m
j
m
l
k
l
k
kl
l
k
j
j
x
x
r
b
b
x
b
y
1 2
2 2
)
(

)
(


2
)
(

)
(





, (2.5) где
j
j
X
Y
b


=
- частная производная аргумента
j
X
, которая называется коэф-
фициентом влияния.
Следует отметить, что при
%)
1
,
0
(
001
,
0

j
b
- такие коэффициенты влияния не учитываются.

16
Произведения частных производных уравнения связи на с. к. о. результатов измерения соответствующих аргументов называются частными погрешностя-
ми косвенного измерения
)
(

)
(
j
j
j
x
X
Y
E



=
. (2.6)
Оценка коэффициента корреляции между каждой парой аргументов опре- деляется по формуле
)
(

)
(

)
)(
(

1
l
k
h
i
l
li
k
ki
kl
x
x
h
X
X
X
X
r



=
−
−
=
, (2.7) где
)
;
min(
l
k
n
n
h =
- наименьшее из чисел наблюдений
n
k
и
n
l
соответственно аргументов
k
X
и
l
X
Коэффициент корреляции определяет степень связи между случайными вели- чинами. Возможные значения коэффициента корреляции лежат в интервале
1

1
+


−
kl
r
Коэффициент корреляции
1
=
kl
r
тогда и только тогда, когда между ре- зультатами наблюдений
ki
X
и
li
X
существует линейная функциональная за- висимость (погрешности измеряемых ФВ являются зависимыми).
Если
0
=
kl
r
, то погрешности измерения аргументов
k
X
и
l
X
некоррелиро- ваны (погрешности измеряемых ФВ являются независимыми). В этом случае формула (2.5) примет вид

=

=
m
j
j
j
x
b
y
1 2
2 2
)
(

)
(



. (2.8)
Формула (2.8) обычно справедлива, когда рассматриваемые аргументы
k
X
и
l
X
измеряют в разное время и для их измерения применяют разные по устрой- ству средства измерений.
Корреляция между погрешностями аргументов чаще всего возникает в тех случаях, когда измерения выполняются одновременно и изменения влияющих величин (температуры воздуха, напряжения питания и т.п.), хотя и допустимые сами по себе, оказывают некоторое влияние на результаты наблюдений.
Критерием отсутствия корреляции между рассматриваемой парой аргумен- тов
k
X
и
l
X
является выполнение неравенства
r
K


p
t
, (2.9) где
2


1

kl
kl
r
r
h
r
K
−
=
; (2.10)
))
1
(
;
(
−
=
h
q
f
t
p
- коэффициент Стьюдента находится по табл. П-4;
)
1
(
Д
p
q
−
=
- уровень значимости;

17
Д
p
- принятая доверительная вероятность.
4 Оценка погрешности искомого результата: а) Если число результатов, выполненных при измерении всех аргументов, превышает 25 – 30, то
),
(
y
t
Y



=

(2.11) где
t = f (р
Д
) - коэффициент стандартного нормального распределения нахо- дится по таблице П.1 функции Лапласа. б) При меньшем числе наблюдений пользуются распределением Стьюдента
(см. табл. П-4)
),
(
y
t
Y
p


=

(2.12) где
t
p
=f(q; k
эф
)
- коэффициент Стьюдента.
Эффективное число степеней свободы
k
эф
определяется по формуле
,
)
(

1 1
)
(

1 4
4 2
1 2
2


=
=


−







=
m
j
j
j
j
m
j
j
j
эф
x
b
n
x
b
k


(2.13) где
n
j
– число результатов прямых измерений аргумента
j
X
При равном числе наблюдений всех аргументов, т.е. при
n
1
= …= n
m
= n
)
(

)
(

)
1
(
1 4
4 2
1 2
2


=
=








−
=
m
j
j
j
m
j
j
j
эф
x
b
x
b
n
k


(2.14)
Эффективное число степеней свободы обычно получается дробным, поэто- му для отыскания величины
t
p
данные табл. П-4 приходиться интерполировать.
Окончательный результат записывается в виде
Y
Y
Y


=
, при
=
Д
p
. (2.15)

1   2   3   4   5

---

2.2 Частный случай
В уравнениях связи (2.1) значения аргументов заданы в виде
;
1 1
1
X
X
X


=
;
2 2
2
X
X
X


=
….;
,
m
m
m
X
X
X


=
(2.16) т. е. заданы своими доверительными интервалами
)
(

j
pj
j
x
t
X


=

, (2.17) где
pj
t
- коэффициент аргумента
j
X
, зависящий от принятого закона распреде- ления результатов измерения этого аргумента и принятой доверительной веро- ятности
Д
p
При отсутствии корреляционной зависимости между погрешностями изме- рений аргументов (коэффициент корреляции
0
=
r
) и при одинаковой довери-

---

4.1 Виды и типы схем автоматизации
При разработке схем автоматического управления и технологического кон- троля применяются различные приборы и средства автоматизации, соединяе- мые с объектом управления и между собой по определённым схемам. В зависи- мости от используемых приборов и средств автоматизации схемы автоматиза- ции различаются по видам и типам. По видам подразделяются на:
1) электрические;
2) пневматические;
3) гидравлические;
4) комбинированные.
Наиболее распространённым видом являются электрические схемы.
По типам подразделяются на:
1) структурные - отражают укрупненную структуру систем управления и взаимосвязи между пунктами контроля и управлением объектов и отдельными должностными лицами;
2) функциональные - отражают функциональную структуру отдельных уз- лов автоматического контроля, управления и регулирования технологическими процессами, и определяют оснащение объектов управления приборами и сред- ствами автоматизации;
3) принципиальные – определяют полный состав, входящих в отдельный узел автоматизации, элементов, модулей вспомогательной аппаратуры и связей между ними и дают детальное представление о принципе его работы;
4) монтажные - показывают соединения электрических и трубных проводок в пределах комплектных устройств, а также места их присоединения и ввода;
5) соединений - показывают внешние, электрические и трубные связи меж- ду измерительными устройствами и средствами получения измерительной ин- формации с одной стороны, со щитами и пультами автоматизации - с другой стороны.

---

---