Файл: Вариант 1 Какие задачи линейного программирования называются транспортными.doc
Добавлен: 09.12.2023
Просмотров: 42
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Практическое задание 2
Задания: Определить оптимальный план перевозок с минимальными затратами для исходных данных, приведенных ниже.
Вариант 1
Какие задачи линейного программирования называются транспортными?
Транспортная задача (ТЗ) является важнейшей частной задачей линейного программирования, имеющей обширные практические приложения не только к проблемам транспорта. Она выделяется в линейном программировании определённостью экономической характеристики, особенностями математической модели, наличием специфических методов решения.
К ЗЛП транспортного типа приходят при рассмотрении различных практических ситуаций, связанных с составлением наиболее экономичного плана перевозок продукции, управления запасами, назначением персонала на рабочие места, оборотом наличного капитала и многими другими.
На транспорте наиболее часто встречаются следующие задачи, относящиеся к транспортным:
- прикрепление потребителей ресурса к производителям;
- привязка пунктов отправления к пунктам назначения;
- взаимная привязка грузопотоков прямого и обратного направлений;
- отдельные задачи оптимальной загрузки промышленного оборудования;
- оптимальное распределение объемов выпуска промышленной продукции между заводами-изготовителями и др.
Каковы особенности математической модели транспортной задачи?
Особенности экономико-математической модели транспортной задачи:
• система ограничений есть система уравнений (т.е. транспортная задача задана в канонической форме);
• коэффициенты при переменных системы ограничений равны единице или нулю;
• каждая переменная входит в систему ограничений два раза.
Для математической формулировки транспортной задачи в общей постановке обозначим через cij коэффициенты затрат, через Мi — мощности поставщиков, через Nj — мощности потребителей, где
i= 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n; m — число поставщиков, n — число потребителей.
Какие транспортные задачи называются открытыми и закрытыми?
Начнем с определения транспортной задачи. Условно говоря, у вас есть товар, расположенный на нескольких складах. Необходимо доставить товар нескольким потребителям – это могут быть магазины, ларьки на рынке и т.д. – при этом у вас есть выбор из нескольких маршрутов. Каждый
потребитель имеет свою потребность в товаре, кому-то нужно получить, к примеру, 10 тонн груза, а кому-то хватит и 5 тонн товара.
Ясно, что стоимость перевозки будет различаться в зависимости от количества перевозимого груза и дальности пути. Минимизировать нужно суммарные затраты на перевозку груза. Введем нужные обозначения, пусть n
– количество складов, а m – количество точек назначения (потребителей). Через С(i,j)=cij обозначим стоимость перевозки одной единицы груза из i-го склада к j
-му потребителю.
При этом a(i)=ai
означает запас груза у i-го склада, а b(j)=bj – потребность соответствующего потребителя. Ясно, что общая стоимость перевозки вычисляется как сумма всех затрат на перевозку товара от каждого склада к каждому потребителю. Пусть вас не пугает такая общая постановка задачи, если из какого-то склада нельзя перевезти товар, например из-за невыгодного расположения, то соответствующий b
можно установить равным нулю.
Теперь можно перейти к математической формулировке задачи. На языке формул задача примет следующий вид:
∑i=1m∑j=1ncijxij→min
при следующих ограничениях:
∑nj=1xij=ai,∑mi=1xij=bj,xij≥0,cij≥0,ai≥0,bj≥0,i=1,2,...,m;j=1,2,...,n.
В такой постановке все ясно и дальнейших пояснений не требуется. Остается только решить транспортную задачу.
Существует две разновидности транспортной задачи – открытая и закрытая. Закрытая задача характеризуется тем, что суммарная потребность всех потребителей равна суммарным запасам всех складов. То есть, весь товар на всех складах будет реализован полностью. Математически это пишется как
∑i=1mai=∑j=1nbj.
В открытой задаче суммарная потребность и суммарные запасы не совпадают. Например, какой-то склад не реализуется товар полностью, появляются остатки продукции. В этом случае процесс решения транспортной задачи немного усложняется, потребуется ввести фиктивного поставщика или потребителя с нулевыми стоимостями перевозки.
Могут ли объемы перевозок быть отрицательными?
объем перевозимой продукции не может быть отрицательным и весь товар должен быть доставлен к пунктам назначения, так как модель сбалансирована, то вся продукция должна быть вывезена от производителя, а потребности всех центров распределения должны быть полностью удовлетворены.
В чем особенность целевой функции транспортной задачи?
Целевая функция выражается линейной формой. Матрица целевой функции — это матрица-строка, элементами которой могут быть расстояния, время или стоимость перевозки.
Ввиду особенностей математической формы и постановки транспортной задачи линейного программирования « для решения ее разработаны специальные методы, позволяющие из бесчисленного множества возможных решений найти оптимальное. Одним из таких методов является распределительный, имеющий несколько разновидностей, которые отличаются в основном способом выявления оптимального решения.
Практическое задание 1
Запишите вид парной линейной регрессии. Дайте определение всем входящим в нее элементам.
Парная регрессия характеризует связь между двумя признаками: результативным и факторным. Важным и нетривиальным этапом построения регрессионной модели является выбор уравнения регрессии. Этот выбор основывается на теоретических данных об изучаемом явлении и предварительном анализе имеющихся статистических данных.
Уравнение парной линейной регрессии имеет вид:
,где
- теоретические значения результативного признака, полученные по уравнению регрессии; 
- коэффициенты (параметры) уравнения регрессии.Модель регрессии строится на основании статистических данных, причем могут использоваться как индивидуальные значения признака, так и сгруппированные данные. Для выявления связи между признаками по достаточно большому числу наблюдений статистические данные предварительно группируют по обоим признакам и строят корреляционную таблицу. При помощи корреляционной таблицы отображается только парная корреляционная связь, т.е. связь результативного признака с одним фактором. Оценка параметров уравнения регрессии осуществляется методом наименьших квадратов, в основе которого лежит предположение о независимости наблюдений исследуемой совокупности и требование минимальности суммы квадратов отклонений эмпирических данных
от выровненных значений результативного фактора 
:
.Для линейного уравнения регрессии имеем:
Для нахождения минимума данной функции приравняем к нулю ее частные производные и получим систему двух линейных уравнений, которая называется системой нормальных уравнений:
где
- объем исследуемой совокупности (число единиц наблюдения).Решение системы нормальных уравнений позволяет найти параметры уравнения регрессии
.Коэффициент парной линейной регрессии
является средним значением в точке 
, поэтому его экономическая интерпретация затруднена. Смысл этого коэффициента можно трактовать как усредненное влияние на результативный признак неучтенных (не выделенных для исследования) факторов. Коэффициент 
показывает, на сколько в среднем изменяется значение результативного признака при изменении факторного признака на единицу.После получения уравнения регрессии необходимо проверить его адекватность, то есть соответствие фактическим статистическим данным. С этой целью производится проверка значимости коэффициентов регрессии: выясняется, насколько эти показатели характерны для всей генеральной совокупности, не являются ли они результатом случайного стечения обстоятельств.
В чем суть метода наименьших квадратов?
Задача заключается в нахождении коэффициентов линейной зависимости, при которых функция двух переменных
а и b принимает наименьшее значение. То есть, при данных а и b сумма квадратов отклонений экспериментальных данных от найденной прямой будет наименьшей. В этом вся суть метода наименьших квадратов.
Таким образом, решение примера сводится к нахождению экстремума функции двух переменных.
Приведите примеры нелинейных моделей по объясняющей переменной x.
Хотя во многих практических случаях моделирование экономических зависимостей линейными уравнениями дает вполне удовлетворительный результат, однако ограничиться рассмотрением лишь линейных регрессионных моделей невозможно. Так, близость линейного коэффициента корреляции к нулю еще не значит, что связь между соответствующими экономическими переменными отсутствует. При слабой линейной связи может быть очень тесной, например, не линейная связь. Поэтому необходимо рассмотреть и нелинейные регрессии, построение и анализ которых имеют свою специфику.
В случае, когда между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных эконометрических моделей.
Различают две группы нелинейных регрессионных моделей:
- модели, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;
- модели нелинейные по оцениваемым параметрам.
К первой группе относятся, например, следующие виды функций:
- полином 2-й степени;
- полином 3-й степени;
- гипербола.Ко второй группе относятся:
- степенная;
- показательная;
- экспоненциальная и др. виды функций.Классическим примером функций, относящихся к первой группе, являются кривые Филипса и Энгеля:
