Файл: Лабораторная работа дифракционная решетка цели работы исследование дифракции света на прозрачной дифракци онной решетке определение параметров решетки и спектрального состава излучения.pdf

24
Лабораторная работа 4.
ДИФРАКЦИОННАЯ РЕШЕТКА
Цели работы: исследование дифракции света на прозрачной дифракци- онной решетке; определение параметров решетки и спектрального состава излучения.
Экспериментальная установка (рис. 4.1) состоит из источника света 1
(ртутная лампа), гониометра 4 и дифракционной решетки 6. Излучение лам- пы освещает щель 2 коллиматора 3 гониометра и дифракционную решетку, установленную в держателе 5 перпендикулярно падающим лучам. Зритель- ная труба 9 гониометра может поворачи- ваться вокруг вертикальной оси гониомет- ра. В фокальной плоскости окуляра зри- тельной трубы наблюдается дифракцион- ный спектр. Угловое положение зритель- ной трубы определяется по шкале 7 и но- ниусу 8 лимба гониометра. Цена деления шкалы гониометра 30′, нониуса – 1′. По- скольку начало отсчета по шкале гонио- метра может не совпадать с направлением нормали к поверхности решетки, то угол дифракции m
φ
определяется разностью двух углов m
0
(
)
−


, где
0
 – угол, отве- чающий центральному
0
m =
дифракцион- ному максимуму.
Общие сведения
Дифракцией называется совокупность явлений, наблюдаемых при рас- пространении света в среде с резкими неоднородностями и связанных с от- клонением от законов геометрической оптики. Дифракция, в частности, при- водит к огибанию световыми волнами препятствий и проникновению света в область геометрической тени. Между интерференцией и дифракцией нет су- щественного физического различия. Оба явления заключаются в перераспре- делении светового потока в результате суперпозиции волн.
Рис. 4.1. Схема экспериментальной установки

25
Различают два вида дифракции. Если лучи света, падающие на препят- ствие, и лучи, идущие в точку наблюдения, образуют практически парал- лельные пучки, говорят о дифракции Фраунгофера, в противном случае – о дифракции Френеля. Дифракция Фраунгофера возникает, когда источник и точка наблюдения расположены от препятствия очень далеко или при соби- рании параллельных лучей линзой.
При дифракции на многих однотипных отверстиях в непрозрачном экране проявляется интерференционное взаимодействие дифрагировавших волн.
Прозрачная дифракционная решетка представляет собой пластину из про- зрачного материала, на поверхности которой нанесено большое число параллель- ных равноотстоящих штрихов. Ширина прозрачной полосы (щели) b, расстояние между серединами щелей d, общее число щелей N. Пусть на решетку нормально падает плоская монохроматическая волна и дифракционная картина наблюдается на экране Э, установленном в фокальной плоскости линзы Л (рис. 4.2).
Рис. 4.2. Дифракционная решетка
Строгий расчет дифракционной картины производится по принципу Гюй- генса–Френеля интегрированием излучения вторичных источников в пределах щелей решетки и затем суммирования колебаний, прошедших от всех щелей.
Окончательное выражение для интенсивности света, распространяюще- гося под углом φ к нормали после дифракции на правильной структуре из N
щелей, записывается в виде
2 2
0
sin sin δ
sin δ
u
N
I
I
u


 

=

 


 

(4.1)

26 где
(
)
π λ sin φ
u
b
=
,
(
)
δ
π λ sin φ
d
=
. Множитель
(
)
2
sin u u
характеризует распределение интенсивности в результате дифракции плоской волны на каждой щели и представляет собой функцию распределения интенсивности на экране от одной щели, а множитель
(
)
2
sin δ sinδ
N
учитывает интерферен- цию между пучками, исходящими от всех щелей.
Значение
0
I
определяет значение потока энергии, излучаемого в направлении φ = 0, т. е. потока энергии недифрагировавшего света.
Первый множитель в (4.1) обращается в нуль в точках, для которых sin φ=
λ
b
k

,
1, 2, 3, ...
k =
(4.2)
В этих точках интенсивность, создаваемая каждой из щелей в отдельно- сти, равна нулю. Распределение интенсивности, обусловленное дифракцией на каждой отдельной щели, изображено на рис. 4.3, б.
Второй множитель в (4.1) принимает значения
2
N в точках, удовлетво- ряющих условию sin φ=
λ
d
m

,
1, 2, 3, ...
m =
(4.3)
Условие (4.3) определяет положение максимумов интенсивности, назы- ваемых главными. Число m дает порядок главного максимума. Максимум ну- левого порядка только один, максимумов 1-го, 2-го и т. д. порядков имеется по два. При выполнении условия (4.3) амплитуда световой волны за системой из N щелей возрастает в N раз по сравнению с интенсивностью света, про- шедшего через каждую щель, а интенсивность – в
2
N .
Между двумя главными максимумами (при одновременном выполнении sin( δ)
0
N
=
и sin δ
0
=
) возникает N – 1 минимум, где sin( δ)
0
N
=
, но sin δ
0

Направление добавочных минимумов определяется условием sin φ = (
)λ
d
m
p N

(4.4)
Здесь
1, 2, 3, ...,
1
p
N
=
−
при
0,
, 2 , ...
p
N
N
=
условие (4.4) переходит в (4.3) и вместо минимума формируется максимум.
Если считать, что щели излучают по всем направлениям одинаково, то интенсивности главных максимумов будут одинаковыми и равными интен- сивности нулевого максимума (рис. 4.3, а). Ширина главных максимумов определяется числом щелей N, а интенсивность каждого из них пропорцио- нальна
2
N . Результирующее распределение интенсивности I представляет

27 собой распределение интенсивности главных максимумов, промодулирован- ное функцией интенсивности одной щели (рис. 4.3, в).

28
а
б
в
Рис. 4.3. Распределения интенсивностей при дифракции света на правильной структуре N щелей
Дисперсия и разрешающая способность дифракционной решетки. По- ложение главных максимумов на экране зависит от длины волны, поэтому если излучение содержит различные длины волн, все максимумы (кроме цен- трального) разложатся в спектр. Таким образом, дифракционная решетка представляет собой спектральный прибор. Важнейшими характеристиками спектральных приборов служат дисперсия и разрешающая сила.

29
Угловая дисперсия
φ
D
определяется как
φ
δφ δλ
D =
, где
δφ
– угол между направлениями на дифракционные максимумы m-го порядка, соответ- ствующие излучениям с близкими длинами волн
1
λ
и
2
λ
,
2 1
δλ= λ
λ
−
Угловую дисперсию принято выражать в угловых единицах (секундах или минутах) на ангстрем (или нанометр). Из основного уравнения для углов ди- фракции sin φ= λ
d
m
, переходя к дифференциалам (
cosφ φ=
λ
d
d
md
), получаем
φ
φ λ
cosφ
D
d
d
m d
=
=
(4.5)
Возможность разрешения (раздельного восприятия) двух близких спек- тральных линий зависит не только от расстояния между ними, но и от ширины спектрального максимума. На рис. 4.4 показана результирующая интенсив- ность, наблюдаемая при наложении двух близких максимумов. В случае а оба максимума воспринимаются как один. В случае б максимумы видны раздельно.
а
б
Рис. 4.4. Иллюстрация критерия Рэлея:
а – линии сливаются; б – линии можно разрешить
Критерий разрешения был введен Рэлеем, предложившим считать две спектральные линии разрешенными в том случае, когда максимум для одной длины волны
1
λ
совпадает с первым побочным минимумом для другой
2
λ
В этом случае (при равной интенсивности
0
I
исследуемых симметричных максимумов) глубина «провала» составляет
0 0, 2I
За меру разрешающей способности (разрешающей силы) Rпринимают безразмерную величину, равную отношению длины волны
λ
, около которой находятся разрешаемые линии, к наименьшему различию в длинах волн
2 1
δλ= λ
λ
−
, которое удовлетворяет критерию Рэлея:
= λ δλ
R
Для нахождения разрешающей силы дифракционной решетки необходимо учесть, что угловое положение главного максимума для спектральной линии с длиной волны
1
λ
должно совпадать с таковым для первого левого побочного минимума (в этом случае в (4.4)
1
p = −
) спектральной линии с длиной волны
2 1
λ
λ

:
1 2
sin φ =
λ
(
1
) λ
d
m
m
N
=
−
. Откуда
2 2
1
= λ
λ -λ
λ δλ=
R
mN
=

30
Указания по подготовке к работе
Создайте таблицы (по форме табл. 4.1, 4.2 и 4.3) для записи параметров установки и результатов наблюдений.
Таблица 4.1
Измерение углов дифракции для линий цвета*
*В протоколе наблюдений должно содержаться три таких таблицы для линий желтого, зеленого и синего цветов.
Таблица 4.2
Константы эксперимента
Длина волны зеленогоцвета
λ λ
λ
=  
нм
Постоянная решетки
d
d
d
=  
, мкм
Длина решетки
L, см
Число штрихов на решетке
N
L d
=
λ 546 5,нм с
95%
P
=

=
1,5 см
Таблица 4.3
Определение длины волны и характеристик дифракционной решетки
Цвет спектральной линии
Угловой коэффициент
a
a
a
=  
Длина волны
λ λ
λ
=  
нм
Порядок спектра, m
φ
cos φ
m
D
m d
=
мин/нм
R
mN
=
λ λ R
 =
, нм
Желтая
1 3
Зеленая
1 3
Синяя
1 3
Указания по проведению наблюдений
1. Включить ртутную лампу. Направить коллиматор на ртутную лампу.
Наблюдать в зрительную трубу дифракционную картину. Проверить, стоит
m
0 1
2 3
α
m
+
α
m
+
0
φ
α
α
m
m
+
+
=
−
sin φ
m
a
m
+
=
θ
cosφ
a
m
m
+
=
θ
cosφ
a
m
m
−
=
sin φ
m
a
m
−
=
0
φ
α
α
m
m
−
−
=
−
α
m
−
α
m
−

31 ли дифракционная решетка перпендикулярно выходящему из коллиматора пучку лучей.
2. Повернуть зрительную трубу против часовой стрелки вокруг оси гонио- метра, навести зрительную трубу на желтую спектральную линию 3-го порядка, определить угол
3
α
+
. Затем поворачивать зрительную трубу по часовой стрел- ке, последовательно совмещая нить окуляра зрительной трубы с яркими спек- тральными линиями (желтой, зеленой, синей, белой) порядков
3; 2; 1;0
m = + + +
(справаотцентральногомаксимумаивцентреего). Определить соответствующие углы
α
m
+
и записать их значения для каждого цвета в табл. 4.1.
Продолжать далее поворачивать зрительную трубу по часовойстрелке за центральный максимум, последовательно наводить нить зрительной трубы на синюю, зеленую, желтую линии спектра слева от центрального максимума для
3; 2; 1;0
m = − − −
. Определить соответствующие углы
α
m
−
. Результаты представить в табл. 4.1.
Наблюдения по пп. 2, 3 проделать 3 раза для последующей статистиче- ской обработки результатов.
Запишите длину решетки L с панели установки в табл 4.2.
Указания по обработке результатов
1. Выведите формулы погрешностей
θ
a
в табл.4.1 и
, λ
i
d
  в пп. 5 и 6.
2. Для каждого значения
3; 2; 1;0
m =   
в трех таблицах по форме 4.1 рассчитать средние значения углов
α
m

,
0
φ
α
α
m
m


=
−
и значения пара- метра sin φ
i
m
a
m

=
(где
λ
,
i
i
a
d
=
1,2,3
i =
). Индекс соответствует жел- тому,
2
i =
– зеленому,
3
i =
– синему цветам спектральных линий.
3. По полученным выборкам значений
i
a
объема
6
N =
по каждой из таблиц по форме 4.1 найти результат косвенного измерения
i
i
i
a
a
a
=
  вы- борочным методом обработки данных косвенных измерений с доверительной вероятностью
95%
P =
. Результаты расчетов занести в табл. 4.3.
4. В координатах
(
sin φ
;
)
m
i
y
a m x
m
=
=
=
отметить на миллиметровой бумаге положение совместных значений
(sin φ ; )
m
m
для синей, зеленой и желтой линий и через полученные совокупности точек провести аппрокси- мирующие прямые
i
y
a x
=
5. Используя значение длины волны для зеленой линии в табл. 4.2 рассчи- тать методом переноса погрешностей постоянную дифракционной решетки
d
d
d
=  
с
95 %
P =
. Здесь
i
i
d
a
= 
,
(
2)
i =
и
2 2
( λ λ)
(
)
d
d
a a
 =

+ 
Результаты расчетов занести в табл. 4.2.
1
i =

32 6. Используя метод переноса погрешностей, рассчитать длины волн
λ
λ
λ
i
i
i
=
  света, соответствующие желтому
1
i =
и синему
3
i =
участкам спектра ртутной лампы. Здесь λ
i
i
d a
=
,
2 2
λ
λ (
)
(
)
i
i
i
i
d d
a a
 =

+ 
. Ре- зультаты расчетов занести в табл. 4.3.
7. По экспериментальным данным трех таблиц по форме 4.1 и соотно- шению (4.5) определить угловую дисперсию
φ
D
дифракционной решетки для желтого, зеленого и синего участков спектра для m = 1; 3. Результаты рас- четов представить в табл. 4.3.
8. Используя значение длины L и постоянной решетки
d
(табл. 4.2), рассчи- тать число штрихов N на решетке. Результат расчета представить в табл. 4.2.
9. По данным табл. 4.2 рассчитать разрешающую способность R решетки для желтого, зеленого и синего участков спектра для m = 1; 3. Результаты расчетов представить в табл. 4.3.
10. Рассчитать минимальный интервал
λ

длин волн двух близких спек- тральных линий, которые может разрешить данная решетка, для желтого, зе- леного и синего участков спектра для m = 1; 3. Результаты расчетов предста- вить в табл. 4.3.
Контрольные вопросы
1. В чем сущность эффекта дифракции? При каких условиях дифракци- онные явления заметны?
2. В чем различие между эффектами интерференции идифракции?
3. Сформулируйте принцип Гюйгенса–Френеля.
4. В чем отличие дифракции Фраунгофера от дифракции Френеля? Ка- кой вид дифракции имеет место в данной работе?
5. В чем преимущество дифракционной решетки как спектрального при- бора по сравнению с отдельной щелью?
6. Сформулируйте условия наблюдения главных и добавочных дифракци- онных максимумов и минимумов для прозрачной дифракционной решетки.
7. Что характеризует угловая дисперсия спектрального прибора? Как определяется угловая дисперсия для решетки?
8. Сформулируйте критерий Рэлея разрешения двух спектральных линий.
9. Что такое разрешающая способность (сила) спектрального прибора?
Чем определяется разрешающая сила дифракционной решетки?
10. Как в данной работе определялись длины волн излучения?