ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.12.2023
Просмотров: 297
Скачиваний: 3
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
направлен к заряду q2, так как заряд q2 отрицателен.
Модуль вектора E найдем по теореме косинусов: (2)где α - угол между векторами и , который может быть найден из треугольника со сторонами r1, r2, d: .Подставляя данные, получаем:Подставляя выражения E1 и E2 из формул (1) в (2), получим (3)Подставим значения величин в формулу (3) и произведем вычисления: = 3,58·103 В/м = 3,58 кВ/м.В соответствии с принципом суперпозиции электрических полей потенциал φ результирующего поля, создаваемого двумя зарядами q1 и q2 равен алгебраической сумме потенциалов, т. е.φ = φ1 + φ2 (4) Потенциал электрического поля, создаваемого в вакууме точечным зарядом q на расстоянии r от него, выражается формулой (5)Согласно формулам (4) и (5) получим ,или .Подставив в это выражение значения физических величин, получимПример 2. Точечный заряд q = 25·10-9 Кл находятся в поле, создаваемом прямым бесконечным цилиндром радиусом R=10-2м, равномерно заряженным с поверхностной плотностью заряда σ =25·10-6 Кл/м2. Определить силу, действующую на заряд, помещенный от оси цилиндра на расстоянии r= 0,1 м. Решение. Сила, действующая на заряд q, находящийся в электрическом поле поле
F= qE (1)где E - напряженность поля в точке, в которой находится заряд. Напряженность поля бесконечно длинного равномерно заряженного цилиндра равна (2) Выразим линейную плотность заряда τ через поверхностную плотность σ. Для этого выделим элемент цилиндра длиной l и выразим находящийся на нем заряд q1 двумя способами:q1 = σS =σ2πRl и q1 = τl. Приравняв прямые части этих равенств, получимτl = 2πRlσ τ = 2πRσ С учетом этого формула (2) примет вид Подставив это выражение E в формулу (2) получим искомую силу: (3)F =25 ·10-9· 2· 10-6 ·10-2/(8,85· 10-12 ·1·0 10-12) = 565 ·10-6 ННаправление силы совпадает с направлением вектора , а последний в силу симметрии направлен перпендикулярно цилиндру.Примеp 3. По тонкой нити, изогнутойпо дуге окружности, равномерно распределен заряд с линейной плотностью τ=10нКл/м. Определить напряженность Е и потенциал φэлектрического поля, создаваемого таким распределенным зарядом в точке, совпадавшей с центром кривизны дуги. Длина нити l составляет одну треть длины окружности и равна 15 см.Решение. Выберем оси координат X и Y так, чтобы начало координат совпадало с центром кривизны дуги, а ось Y была бы симметрично расположена, относительно концов дуги (рис.2). Выделим элемент нити длиной dl.
Заряд dq =τ·dl, находящийся на выделенном участке, можно считать точеч-ным. Определим на-пряженность электрического поля в точке О. Для этого, най-дем напряжен-ность поля, создаваемого зарядом dq: ,где - радиус-вектор, направленный от элемента dl к точке, в которой вычисляется напряженность.
Напряженность поля, создаваемого всей нитью в соответствии с принципом суперпозиции равнаИнтегрирование ведется вдоль дуги, образованной нитью.Выразим вектор через составляющие и на оси координат:Тогда В силу симметрии интеграл равен нулю, тогда , или , (1)где .Так как r=const, dl=rdα, тоОтсюда Здесь принято во внимание симметричное расположение дуги относительно оси У, и поэтому интегрирование проводится по половине дуги (от α1=0 до α2=π/6) а результат удваивается. Подставив пределы и выразив через длину дуги (3·l=2πr), получим Подставим значение τ и l в полученную формулу и вычислим:Найдем потенциал электрического поля вточке. Сначала найдем потенциал dφ , создаваемый точечным зарядом dQв точке O:Интегрируя, получим:Так как l=2 πr/3, то Произведем вычисления: В.Пример 4. Два бесконечных тонкостенных коаксиальных цилиндра радиусами R
1=5см и R2=10см равномерно заряжены с поверхностными плотностями зарядов равными, соответственно, σ1=10-8Кл/м2 и σ2= -3·10-8 Кл/м2 (рис.3). Пространство между цилиндрами заполнено парафином (ε=2). Определить напряженность поля в точках, находящихся на расстояниях: r1=2 см; r2=6см; r3=15 см от оси цилиндра.Решение. Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса для индукции электрического поля и связью индукции и напряженности электрического поля: , .
Легко видеть, что индукция в точке А (на расстоянии r1=2 см от оси) равна 0 (заряды внут-ри цилин-дрической поверхности S1, проходя-щей через точку А, отсутствуют). Индукция в точке B определяется только зарядами, находящимися на внутреннем цилиндре. Ее можно найти по формуле: , (1)где τ1 – линейная плотность заряда внутреннего цилиндра: . Отсюда Подставляя численные данные, получим E2 = 4,7 102В/м.Для точки С находим индукцию D3 по принципу суперпозиции:D3 = D1(r3)-D2(r3), (2)где D1(r3) – индукция поля, создаваемого внутренним цилиндром, D2(r3) – индукция поля, создаваемого внешним цилиндром в точке С. Находя D1 и D2, аналогично (1), и подставляя в (2) получим ,отсюда .Подставляя численные данные, получим Е3= 1,5 102 В/м.Пример 5. Электрическая цепь состоит из двух гальванических элементов, трех сопротивлений и гальванометра (рис.4).
Вэтой цепи r1= 100 Ом, r2=50 Ом, r3=20 Ом, Э.Д.С. элемента E1=2 В Гальванометр регулирует ток I3=50 мА, идущий в направлении, указанном стрелкой. Определить Э.Д.С. E2 второго элемента. Сопротивлением гальванометра и внутренним сопротивлением элементов пренебречь.Решение. Применим правила Кирхгофа. Выберем направления токов, как они показаны на рис.4, и условимся обходить контуры по часовой стрелке.По первому правилу Кирхгофа для узла F имеемI1-I2-I3=0По второму правилу Кирхгофа имеем для контура ABCDFA-I1r1-I2r2=-E1 ,или после умножения обеих частей равенства на -1.I1r1 + I2r2=E1Соответственно, для контура AFGHAI1r1+I3r3=E2После подстановки числовых значений в формулы получим: I1-I2-0,05=0;50I1+25I2=1;100I1+0,05·20=E2Перенеся в этих уравнениях неизвестные величины в левые части, а известные - в правые, получим следующую систему уравнений: I1-I2=0,0550I1+25I2=1100I1-E2= -1Эту систему с тремя неизвестными можно решить обычными приемами алгебры, но так как по условию задачи требуется определить только одно неизвестное E2их трех, то воспользуемся методом определителей.Составим и вычислим определитель системы: Составим и вычислим определитель ΔE2: Разделив определитель ΔE2 на определитель Δ, найдем числовое значение Э.Д.С. E2: E2= -300 -75=4В.Заряды.Закон Кулона.
 |
| Рис. 1 |
F= qE (1)где E - напряженность поля в точке, в которой находится заряд. Напряженность поля бесконечно длинного равномерно заряженного цилиндра равна (2) Выразим линейную плотность заряда τ через поверхностную плотность σ. Для этого выделим элемент цилиндра длиной l и выразим находящийся на нем заряд q1 двумя способами:q1 = σS =σ2πRl и q1 = τl. Приравняв прямые части этих равенств, получимτl = 2πRlσ τ = 2πRσ С учетом этого формула (2) примет вид Подставив это выражение E в формулу (2) получим искомую силу: (3)F =25 ·10-9· 2· 10-6 ·10-2/(8,85· 10-12 ·1·0 10-12) = 565 ·10-6 ННаправление силы совпадает с направлением вектора , а последний в силу симметрии направлен перпендикулярно цилиндру.Примеp 3. По тонкой нити, изогнутойпо дуге окружности, равномерно распределен заряд с линейной плотностью τ=10нКл/м. Определить напряженность Е и потенциал φэлектрического поля, создаваемого таким распределенным зарядом в точке, совпадавшей с центром кривизны дуги. Длина нити l составляет одну треть длины окружности и равна 15 см.Решение. Выберем оси координат X и Y так, чтобы начало координат совпадало с центром кривизны дуги, а ось Y была бы симметрично расположена, относительно концов дуги (рис.2). Выделим элемент нити длиной dl.
 |
| Рис.2. |
Напряженность поля, создаваемого всей нитью в соответствии с принципом суперпозиции равнаИнтегрирование ведется вдоль дуги, образованной нитью.Выразим вектор через составляющие и на оси координат:Тогда В силу симметрии интеграл равен нулю, тогда , или , (1)где .Так как r=const, dl=rdα, тоОтсюда Здесь принято во внимание симметричное расположение дуги относительно оси У, и поэтому интегрирование проводится по половине дуги (от α1=0 до α2=π/6) а результат удваивается. Подставив пределы и выразив через длину дуги (3·l=2πr), получим Подставим значение τ и l в полученную формулу и вычислим:Найдем потенциал электрического поля вточке. Сначала найдем потенциал dφ , создаваемый точечным зарядом dQв точке O:Интегрируя, получим:Так как l=2 πr/3, то Произведем вычисления: В.Пример 4. Два бесконечных тонкостенных коаксиальных цилиндра радиусами R
1=5см и R2=10см равномерно заряжены с поверхностными плотностями зарядов равными, соответственно, σ1=10-8Кл/м2 и σ2= -3·10-8 Кл/м2 (рис.3). Пространство между цилиндрами заполнено парафином (ε=2). Определить напряженность поля в точках, находящихся на расстояниях: r1=2 см; r2=6см; r3=15 см от оси цилиндра.Решение. Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса для индукции электрического поля и связью индукции и напряженности электрического поля: , .
 |
| Рис.3 |
 |
| Рис.4 |
Вэтой цепи r1= 100 Ом, r2=50 Ом, r3=20 Ом, Э.Д.С. элемента E1=2 В Гальванометр регулирует ток I3=50 мА, идущий в направлении, указанном стрелкой. Определить Э.Д.С. E2 второго элемента. Сопротивлением гальванометра и внутренним сопротивлением элементов пренебречь.Решение. Применим правила Кирхгофа. Выберем направления токов, как они показаны на рис.4, и условимся обходить контуры по часовой стрелке.По первому правилу Кирхгофа для узла F имеемI1-I2-I3=0По второму правилу Кирхгофа имеем для контура ABCDFA-I1r1-I2r2=-E1 ,или после умножения обеих частей равенства на -1.I1r1 + I2r2=E1Соответственно, для контура AFGHAI1r1+I3r3=E2После подстановки числовых значений в формулы получим: I1-I2-0,05=0;50I1+25I2=1;100I1+0,05·20=E2Перенеся в этих уравнениях неизвестные величины в левые части, а известные - в правые, получим следующую систему уравнений: I1-I2=0,0550I1+25I2=1100I1-E2= -1Эту систему с тремя неизвестными можно решить обычными приемами алгебры, но так как по условию задачи требуется определить только одно неизвестное E2их трех, то воспользуемся методом определителей.Составим и вычислим определитель системы: Составим и вычислим определитель ΔE2: Разделив определитель ΔE2 на определитель Δ, найдем числовое значение Э.Д.С. E2: E2= -300 -75=4В.Заряды.Закон Кулона.
-
Какой заряд приобрел бы медный шар с радиусом 10 см, если бы удалось удалить все электроны проводимости? Плотность меди 8,9 г/см3, относительная атомная масса равна 64. Заряд электрона 1,6 10-19 Кл, число Авогадро 6·1023 моль-1. Считать, что на каждый атом меди приходится один электрон проводимости. -
С какой силой будут притягиваться два одинаковых свинцовых шарика радиусом 1 см, расположенные на расстоянии 1 м друг от друга, если у каждого атома первого шарика отнять по одному электрону и все эти электроны перенести на второй шарик? Относительная атомная масса свинца А=207, плотность 11,3 г/см3. -
На двух одинаковых капельках воды находятся по одному лишнему электрону, причем сила электрического отталкивания капелек уравновешивает силу их взаимного тяготения. Каковы радиусы капелек? -
Три точечных заряда, расположенные на расстоянии 10 см друг от друга, взаимодействуют друг с другом с силами 5 Н, 8 Н, 12 Н, соответственно. Найти величину каждого из зарядов. -
Найти силу взаимодействия двух точечных зарядов 2 10-7 Кл и 3 10-7 Кл в вакууме и в керосине на расстоянии 20 см, если диэлектрическая проницаемость керосина равна 2. -
Два маленьких шарика обладают зарядами 2·10-7 Кл и 4,5·10-7 Кл и, находясь в вакууме, взаимодействуют с силой 0,1 Н. Вычислить расстояние между шариками. -
Два шарика, массой 1 г каждый, подвешены на нитях, верхние концы которых соединены вместе. Длина каждой нити 10 см. Какие одинаковые заряды надо сообщить шарикам, чтобы нити разошлись на угол 60°? -
Три точечных заряда 1 нКл расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд нужно поместить в центре треугольника, чтобы указанная система зарядов находилась в равновесии? -
Вокруг неподвижного точечного заряда +10-9 Кл равномерно вращается под действием электростатической силы притяжения маленький шарик, заряженный отрицательно. Чему равно отношение заряда шарика к его массе, если радиус орбиты 2см, а, угловая скорость вращения 3 рад/с? -
Два маленьких одинаковых проводящих шарика, с зарядами q1=-3,5·10-9 и q2=2,5·10-9 Кл соединили а затем поместили нарасстоянии 5 см друг от друга. Определить заряды каждого из шариков и силу электрического взаимодействия между ними после соприкосновения. -
Шарик массой 2 г, имеющий заряд 2·20-7 Кл, подвешен в воздухе на тонкой изолированной нити. Определить натяжение нити, если снизу на расстоянии 15 см расположен такой же заряд. -
Электрические заряды двух туч соответственно равны 20 Кл и 30 Кл. Среднее расстояние между тучами 30 км. С какой силой взаимодействуют тучи? -
С какой силой отталкиваются два электрона, находящиеся друг от друга на расстоянии 2·10-8 см? -
Три одинаковых точечных тела с зарядами по 2 нКл находятся в вершинах равностороннего треугольника со сторонами 10 см. Определить модуль и направление силы, действующей на один из зарядов со стороны двух других. -
Два положительных точечных заряда Q и 9Qзакреплены на расстоянии 100 см друг от друга. Определить, в какой точке на прямой, проходящей через заряды, следует поместить третий заряд так, чтобы он находился в равновесии. Указать, какой знак должен иметь этот заряд для того, чтобы равновесие было устойчивым, если перемещения зарядов возможны только вдоль прямой, проходящей через закрепленные заряды. -
Два одинаково заряженных шарика подвешены в одной точке на нитях одинаковой длины. При этом нити разошлись на определенный угол. Шарики погружают в масло. Какова плотность масла, если угол расхождения нитей при погружении в масло остается неизменным? Плотность материала шариков 1,5 г/см3, диэлектрическая проницаемость масла 2,2. -
Четыре одинаковых точечных тела с зарядами по 40 нКл каждое, закреплены в вершинах квадрата со стороной 10 см. Найти силу, действующую на одно из этих тел со стороны трех остальных. -
Каждый из двух шариков массой по 1г несет электрический заряд 10-9 Кл. Во сколько раз сила электрического взаимодействия больше силы гравитационного притяжения? -
Два точечных заряда находятся на некотором расстоянии друг от друга. Если расстояние между ними уменьшается на 50 см, то сила взаимодействия увеличивается в два раза. Найти это расстояние. -
Отрицательный заряд расположен на прямой, соединяющей два одинаковых положительных точечных заряда. Расстояние между отрицательным зарядом и каждым из положительных относятся между собой как 1:3. Во сколько paз изменится сила, действующая на отрицательный заряд, если его поменять местами с ближайшим положительным.