Файл: 1. Источники и классификация погрешностей.ppt

1. Источники и классификация погрешностей


Часто точное численное решение математических задач бывает достаточно сложным, поэтому используют приближённые вычисления. Однако при вычислении вручную некоторые выкладки могут привести к ошибкам.


Типы ошибок приближенных вычислений:


вычислительные ошибки;


ошибки округления;


проблемы устойчивости вычислительной схемы.


Определение. Численные методы это методы решения задач, сводящиеся к арифметическим и некоторым логическим действиям над ними, т.е. к действиям которые выполняет ЭВМ.


При численном решении математических и прикладных задач на том или ином этапе возможно появление погрешностей следующих типов:


Погрешность задачи. Она связана с приближенным характером исходной содержательной модели (невозможно учесть все факторы в процессе изучения моделируемого явления) и ее математического описания, параметрами которого служат обычно приближенные числа.


Погрешность округлений. При выполнении арифметических операций над числами, при вводе и выводе данных производится округление.


Погрешность метода. При выборе способа решения поставленной математической задачи выбирают наиболее удобный приближенный способ, который не всегда является точным.


Погрешности, соответствующие этим причинам называют:

Неустранимая погрешность;

Устранимая погрешность;

Вычислительная погрешность.

2. Погрешность численного решения задачи


Введем некоторые переменные.


x*  точное значение вычисляемого параметра;


 значение этого параметра соответствующее принятому математическому описанию;


 решение задачи, получаемое при реализации численного метода в предположении отсутствия округлений;


 приближенное решение задачи, получаемое при реальных вычислениях;


 неустранимая погрешность;


 погрешность метода;


 вычислительная погрешность;


 полная погрешность;


Чтобы численный метод считался

---

удачно выбранным, необходимо выполнение некоторых условий:


А также должно выполняться условие: 0  1 +2 +3.


Рассмотрим некоторые возможные подходы к учету погрешностей действий.


Пусть А и а  два близких числа.


А  точное значение некоторой величины;


a  приближенное значение этой величины.


его погрешность должна быть в несколько раз меньше неустранимой погрешности (0 < 1);


вычислительная погрешность в несколько раз меньше погрешности метода (3 < 2).


Определение. Число а называется приближенным значением по недостатку, если оно меньше истинного значения, и по избытку, если больше.


Например, число 3,14 является приближенным значением числа  по недостатку, а 2,72 – приближенным значением числа е по избытку.


Величина a = |А  a| называется абсолютной погрешностью приближенного числа a,


 его относительная погрешность;


А =   n  n1  0,  1  2 …  любое число (общий вид);


Определение. Значащими цифрами числа a называют все цифры его записи, начиная с первой ненулевой цифры слева. (27,076  пять значащих цифр, 0,000560  три значащих цифры).


Определение. Значащую цифру называют верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре:


Пусть a = 27,01768  a = 0,003


а) a = 27,01(7)68; «7»: единица ее разряда 0,001; 0,003  0,001  цифра неверная;


б) a = 27,017(6)8; «6»: единица ее разряда 0,0001; 0,003  0,0001  цифра неверная;


в) a = 27,0(1)768; «1»: единица ее разряда 0,01; 0,003  0,01  цифра верная;


Теорема: Погрешность, возникающая при округлении не превосходит ½ единицы (по абсолютной величине) меньшего из оставленных разрядов.


А = 3,1415926  округляют до двух знаков после запятой: а = 3,14.


 a = |А  а| = 0,0015926 (3,1415926 – 3,14 = 0,0015926).


Единица меньшего из оставленных разрядов −


0,01 


0,0015926  0,005  теорема верна.


Повторное округление не рекомендуется, т.к. приводит к увеличению погрешности.


Например: Пусть число А = 34,24463, тогда


а) а = 34,25;


Рассмотрим абсолютные погрешности пунктов а) и b):


В случае а) погрешность  a = |А  а| = |34,24463 – 34,25| = 0,00537, больше погрешности пункта б)  a = |А  а| = |34,24463 – 34,24| = 0,00463, т.е. 0,00537  0,00463.

---

б) а = 34,24


Следовательно, приближенное значение числа А в пункте b) является более точным.


При сложении и вычитании приближенных чисел с различным числом верных значащих цифр после запятой результат округляется по минимальному числу верных цифр после запятой у исходных чисел.


При умножении и делении приближенных чисел с различным числом верных значащих цифр производится округление результата с числом значащих цифр, совпадающим с минимальным числом верных значащих цифр у исходных чисел.


1. Общая постановка задачи


Пусть дано уравнение f(x) = 0, где f(x)  непрерывная функция.


Требуется вычислить действительные корни этого уравнения с заданной точностью.


Отделение корней уравнения.


Отделить корни  значит указать отрезки [ai, bi], на каждом из которых содержится ровно один корень уравнения.


а) Обозначим y = f(x) и построим график этой функции, корнями уравнения являются точки пересечения графика функции с осью (ох).


y


x


б) Если уравнение задано в виде g(x) = h(x) (или g(x)  h(x) = 0)


Введем обозначения y = g(x), y = h(x) и построим эти графики в одной системе координат.


Абсциссы точек пересечения и являются корнями уравнения f(x) = 0.


y


x


0


y = h(x)


y = g(x)


II. Определение отрезка.


На выбранном отрезке [a, b] находится один корень уравнения f(x) = 0.


Рассмотрим несколько методов решения уравнений с одной переменной.


а) Метод половинного деления (метод вилки)


Вилка это любой отрезок, на концах которого функция имеет различные знаки.


Пусть функция y = f(x) определена и непрерывна при всех x на отрезке [a,b] и имеет на концах этого отрезка значения разных знаков, т.е. f(а)f(b)0, то существует по крайней мере одна точка С из этого отрезка, значение функции в которой равна нулю. (f(с) = 0)


Будем называть отрезок [a, b] промежутком существования корня, а точку с  пробной точкой.


Обозначим a

---

= a0, b = b0.


В результате возможны два случая:


1) f(с0) = 0  с0  точное значение корня;


2) f(с0)  0 (  0)  данный отрезок разбивается на два отрезка [a0, с0] и [с0, b0].


Найдём середину этого отрезка:


(Соответственно, если знак функции в т.С совпадает со знаком функции в т. а0, то вместо f(а0) будем использовать f(с0))


Найдем значение функции в этой точке f(с0).


Если знак функции в т.С совпадает со знаком функции в т. b0, то в дальнейшем вместо f(b0) будем использовать f(с0).


Таким образом из этих двух отрезков выбирают тот, на концах которого функция имеет значения разных знаков. Получается новый отрезок  [a1, b1].


Т.е. f(а1)  f(b1)  0, и, определив точку с1  [a1, b1] как середину этого отрезка производим те же операции.


В результате:


Длина отрезка [a1, b1] равна половине длины отрезка [a0, b0]:


|[a1, b1]| = ½ |[a0, b0]|;


Длина отрезка [a2, b2] равна ¼ длины отрезка [a0, b0]:


|[a2, b2]| = ¼ |[a0, b0]| и т.д.


Вывод:


В качестве приближенного значения корня берем середину отрезка [an, bn]


x*  точное значение корня


cn  приближенное значение корня


Метод половинного деления позволяет вычислять искомый корень с любой наперед заданной точностью. Он особенно удобен для проведения вычислений на ЭВМ.


− число шагов алгоритма


−


б) метод касательных (метод Ньютона)


Пусть действительный корень уравнения f(x) = 0 изолирован на отрезке [a, b], где f(x) – непрерывная функция, а значения f(a) и f(b) на концах отрезка имеют разные знаки и обе производные f ’(x) и f ’’(x) сохраняют знак на всем отрезке [a, b].


Возьмем на [a, b] такое число x0, при котором f(x0) имеет тот же знак, что и f(x0), т.е. такое, что f(x0) f(x0)  0 (в частности за x0 можно принять тот из концов отрезка [a, b], в котором соблюдено это условие).


Проведем в точке М0(x0, f(x0)) касательную к кривой f(x). За приближенное значение корня берется абсцисса точки пересечения этой касательной с осью (ох), т.е. точка М1(х1, 0).


Рассмотрим случай, когда f(x) и f(x) имеют одинаковые знаки.


Пусть у = f(x). Напишем уравнение касательной в точке М0(x0, f(x0))


y = f(x0) + f (x0)(x – x0) – общее уравнение касательной.


f (x)  0

---

f (x)  0


y


a


b


x1


x*


A


B


x


f (x) < 0
f (x) < 0


y


x


a


b


x1


x*


A


B


Подставим точку М1(x1, 0) в уравнение касательной:


0 = f(x0) + f(x0)(x1 – x0)


f(x0)(x1 – x0) = – f(x0)


Проведем теперь касательную в точке М1(x1, f(x1))


y = f(x1) + f(x1)(x – x1)


и подставим точку М2(х2, 0).


0 = f(x1) + f (x1)(x2 – x1)


f (x1)(x2 – x1) = – f(x1)


Полученная таким образом последовательность x0, x1, x2, … имеет своим пределом искомый корень.


Вывод:


где xn  xn+1


Замечание: В случае, когда f (x) и f (x) имеют разные знаки, формулы для нахождения xn+1 имеют тот же вид. (Доказать самостоятельно)


Правила выбора исходной точки x0:


За исходную точку х0 следует выбирать тот конец отрезка [a, b], в котором знак функции совпадает со знаком f (x).


Оценка погрешности (имеет место не только для метода касательных).


y = f(x) – дифференцируема на [a, b]


x* – точное значение корня уравнения f(x) = 0.


x*  [a, b],


с [a, b],


с  x*


Рассмотрим отрезок с концами x* и с и к этому отрезку применим теорему Лагранжа:


Существует такая точка  из отрезка с концами x* и с для которой выполняется равенство


f(с) – f(x*) = f ’()(с – x*),


так как x* – точное значение корня уравнения f(x) = 0,


то f(x*) = 0


 f(с) = f ()(с – x*).


Т.к. точка с не является корнем этого уравнения, то можем записать


f(с)  0


 f ’()  0.


Выразим (с – x*):


Отсюда можем написать


где











– условие окончания вычислений.


в) метод хорд


Метод заключается в том, что дуга графика функции f(x) = 0 на отрезке [a,b] заменяется стягивающей ее хордой.


В качестве приближенного значения корня берется точка пересечения хорды с осью (ох).


Пусть функция f(x) определена и непрерывна при всех x [a, b] и на [a, b] меняет знак, т.е. f(а)  f(b)  0. Тогда данное уравнение имеет хотя бы один корень.


I случай:


f (x) и f (x) имеют одинаковые знаки.


a


b


B


A


f (x)  0
f (x)  0


x1

---