Файл: 1. Источники и классификация погрешностей.ppt

- c


c


0


x


y


y = f(x)


Основная идея: Заменить подынтегральную функцию f(x) на многочлен, совпадающий с этой функцией в узлах интерполяции.


f(x) заменим многочленом нулевого порядка y = f(0):


f(x) заменим многочленом первого порядка, который совпадает с функцией f(x) в точках –с и с. Т.е. y = kx + b


(площадь трапеции (а + b)/2  h)


y


- c


c


0


x


y = f(x)


f(x) заменим многочленом второго порядка, который совпадает с функцией f(x) в точках –с, 0 и с. Т.е. y = ax2 + bx + c.


y


- c


c


0


x


y = f(x)


Метод прямоугольников


Пусть дан интеграл


Отрезок интегрирования [a, b] разобьем на n равных частей: a = x0 < x1 < x2 < x3 <…< xn = b, тогда длина каждого отрезка


, xk = x0 + kh.


Формулы прямоугольников имеют вид:


или


Однако для удобства вычислений поступают следующим образом:


Точку x1 выбирают таким образом, чтобы она являлась серединой первого отрезка, т.е. при разбивании отрезка на части таким образом:


a = x0 < x2 < x4 < x6 <…< x2n = b, точка


Остальные точки получаются прибавлением шага h к каждой предыдущей точке. В результате получается формула:


– обобщенная формула прямоугольников.


a


x2


x4


x6


b=x2n


x


y


y= f(x)


Оценка погрешности формулы прямоугольников:


, где


Метод трапеций


Пусть дан интеграл


Отрезок интегрирования [a, b] разобьем на n равных частей: a = x0 < x1 < x2 < x3 <…< xn = b, тогда длина каждого отрезка


, xk = x0 + kh.


Вывод:


– формула трапеций.


Оценка погрешности формулы трапеций.


, где


3) Метод парабол (Симпсона).


Пусть дан интеграл


Отрезок интегрирования [a, b] разобьем на 2n равных частей: a = x0 < x1 < x2 < x3 <…< x2n = b.


Заменим функцию f(x) на [x0, x2] интерполяционным многочленом Ньютона с узлами x0, x1, x2.


P2(x) = y0 + (x – x0) + (x – x0)(x – x1)


Где (x – x1) = x – x0 – h


Тогда (x – x0)(x – x1) = (x – x0)( x – x0 – h) =
=(x – x0)2 – h(x – x0)


= 2h y0 + 2hy0 + h2y0 – 2y0 h =


= h (2y0 +2(y1 – y0) + (y2 – 2y1 + y0)) =


= h ( y2 + y1 + y0) = ( y2 + 4y1 + y0)


тогда на промежутке [x0, x2] имеем:


( y2 + 4y1 + y0 + y4 + 4y3 + y2 + y6 + 4y5 + y4 + … + 4y2n–1 + y2n–2) =

---

= {f(a) + f(b)+ 2 + 4 }


Вывод:


{f(a) + f(b)+ 2 + 4 }


Оценка погрешности формулы парабол:


где

---

§2. Формулы Ньютона-Котеса

Необходимо вычислить


Делим отрезок [a, b] на n равных частей.


Шаг разбиения и x0 = a, x i = x i –1 + h (i=1,2,…,n–1), xn= b.


Тогда


(1)


– квадратурная формула Ньютона-Котеса,


где


(2)


– коэффициенты Котеса.


(значению x = a, соответствует значение q = 0, а x = b – значение q = n и dx = hdq)


Эти формулы определяют семейство квадратурных формул.


Параметром этого семейства является число n – степень интерполяционного многочлена, которым заменяется подынтегральная функция.


Рассмотрим несколько простейших частных случаев, соответствующих небольшим значениям n  N.


При этом конкретные формулы будем получать не на основе общих формул, а используя для этой цели вместо многочлена Лагранжа


Эквивалентный ему первый интерполяционный многочлен Ньютона:


Pn(x0 + qh) = y0 + qy0 + 2y0 + … +
+ ny0


Пусть n=1, т.е. имеется всего две точки x0 и x1=x0 + h, в которых известны значения функции (y0 = f(x0) и y1 = f(x1))


Этим точкам соответствуют значения 0 и 1 переменной q.


Следовательно


(4)
































2


0


1


0


y


y


y


h


(3)


Получена простейшая квадратурная формула трапеций, к которой можно прийти и из геометрических соображений:


x0


h


x1


y1


y0


y = L1(x)


y = f(x)


Остаточный член этой формулы:


(5)


где 1  (x0, x1) – некоторая точка.


Положим в (3) n = 2, т.е. проинтерполируем функцию f(x) по трем точкам: x0, x1 = x0 + h, x2 = x0 = 2h.


Тогда


= h [ 2y0 + 2(y1 – y0) + (y2 – 2y1 + y0)] =


= (y0 + 4y1 + y2)


(6)


Полученное приближенное равенство называется простейшей формулой Симпсона.


Ее остаточный член:


,   (x0, x2)


(7)


Предполагая теперь n = k, мы придем к частным формулам Ньютона-Котеса:

---

(6)


где xi = x0 + ih, а коэффициенты Bk, , и остаточные члены rk(h) задаются таблицей (точка (x0,xk), для каждого k своя).


Параметры некоторых частных формул Ньютона-Котеса вида (8)

k	Bk	a0(k)	a1(k)	a2(k)	a3(k)	a4(k)	a5(k)	…	rr(h)
1		1	1
2		1	4	1
3		1	3	3	1
4		7	32	12	32	7
5		19	75	50	50	75	19
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…

Общий вид линейной квадратурной формулы – это


(8)


где фиксированные аргументы xi называют узлами, а коэффициенты Ai – весами (весовыми коэффициентами) квадратурной формулы (определенный интеграл приближенно равен среднему взвешенному значений подынтегральной функции, вычисленных в определенных точках промежутка интегрирования).


Все рассмотренные выше квадратурные формулы характерны тем, что узла в них брались равноотстоящими с шагом h, а веса находились в результате подмены подынтегральной функции f(x) кусочно-постоянной в случае формул прямоугольников, кусочно-линейной в случае формул трапеций, кусочно-квадратичной в случае формулы Симпсона и т.д.


Например, у составной формулы трапеций набор весов получился следующий:


, h, h, …, h,


а у составной формулы Симпсона –


Далее откажемся от равномерного распределения узлов xi на промежутке интегрирования [a, b].


В таком случае целесообразно предварительно сделать линейную замену


и преобразовать исходный интеграл к интегралу со стандартным промежутком интегрирования [–1, 1]:


(9)


Это равенство позволяет рассматривать вычисление интеграла

---

т.е. строить квадратурные формулы вида


(10)


от которых на основе (9) легко перейти к квадратурным формулам (8).


Формула (10) имеет 2n параметров: n узлов ti и n весов Ai.


Если считать, что мы свободны в выборе как узлов, так и весов, можно попытаться подобрать их такими, чтобы равенство


(11)


было точным для многочленов степени 2n – 1 или, что тоже, для 2n степенных функций (t) = 1, t, t2, …, t 2n – 1.


Формула (11) называется квадратурной формулой Гаусса.


Ее решение упирается в решение нелинейной системы:


Однако, решение этой системы затруднительно, но его не сложно обойти, если знать конечный результат. Но мы рассматривать их не будем.

---